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北师大版2024—2025学年八年级下册数学期末考试调研检测卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中，是中心对称的图形是（　　）
A． B． C． D．
2．三角形的三边长分别为a、b、c，且满足等式：（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
3．已知关于x的不等式＞1的解都是不等式＞0的解，则a的范围是（　　）
A．a＝5 B．a≥5 C．a≤5 D．a＜5
4．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，在△ABC中，DE，FG分别是线段AB，BC的垂直平分线，若∠ABC＝100°，则∠DBF的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．18
7．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于45° B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45° D．每一个内角都大于等于45°
8．△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（　　）
A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对
9．关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2且m≠3 B．m＞2 C．m≥2且m≠3 D．m≥2
10．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．分解因式：ma2﹣2ma+m＝　 　．
12．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为　 　．
13．直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　 　 ．
15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P，O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为　 　 ．
16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 　 　 ．
第II卷
北师大版2024—2025学年八年级下册数学期末考试调研检测卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．（1）解不等式组，并将其解集表示在所给数轴上．
（2）解分式方程：．（要求写出检验过程）
18．先化简，再求值：，其中x＝3．
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若第一象限内存在点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 　 　 ；
（4）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，那么旋转中心的坐标为 　 　 ．
21．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，交AC于点E，连接BE，过点C作CF∥BE，交ED延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形EBFC是平行四边形；
（2）若BC＝4，EF＝8，，求AE的长度．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝BE；
（2）若AC＝6，AB＝10，求AF的长．
23．定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程．例如：方程4x﹣16＝0的解为x＝4，不等式组的解集为2＜x＜5，因2＜4＜5，故方程4x﹣16＝0是不等式组的子方程．
（1）在方程①5x+2＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组的子方程是 　 　 （填序号）；
（2）若不等式组的一个子方程的解为整数，则此子方程的解是 　 　 ；
（3）若方程2x+3＝x+6，2x+5（x+4）都是关于x的不等式组的子方程，求m的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B两点，∠OAB＝45°，点A的坐标为（4，0）．点C（m，n）是线段AB上一点，连接OC并延长至D，使DC＝OC，连接BD．
（1）求直线AB的表达式；
（2）若△BCD是直角三角形，求点C的坐标；
（3）若直线y＝mx+2n﹣18与△BCD的边有两个交点，求m的取值范围．
25．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣x+4分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线l2：y＝kx+2k（k≠0）与x轴相交于点C，与直线l1相交于点D，连接BC．
（1）分别求点A，B，C的坐标；
（2）设△BCD的面积为S1，△ACD的面积为S2，若，求直线l2的函数表达式；
（3）以BC，CD为边作 BCDE，连接CE，交BD于点F，分别取DE的中点M，BE的中点N，连接FM，FN，当FM+FN取得最小值时，求此时 BCDE的面积．
参考答案
一、选择题
1—10：BCCDA CDCAB
二、填空题
11．【解答】解：ma2﹣2ma+m
＝m（a2﹣2a+1）
＝m（a﹣1）2，
故答案为：m（a﹣1）2．
12．【解答】解：∵52+122＝132，
∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，
∴此三角形的面积为5×12＝30．
13．【解答】解：将点P（a，2）坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，
从图中直接看出，当x≥1时，x+1≥mx+n，
故答案为：x≥1．
14．【解答】解：如图，连接BP，
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，
∴BD＝DC，
∴BP＝PC，
∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，
∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，
∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小，
令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，
∵BQ'⊥AC，
∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，
即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，
解得a，
∴BQ'，
∴PC+PQ的最小值为，
故答案为：．
15．【解答】解：如图：
如图，当OA＝OP时，可得P1、P2满足条件；
当PA＝PO时，可得P3满足条件；
当AO＝AP时，可得P4满足条件．
满足条件的点P有四个．
故答案为：4．
16．【解答】解：如图，连接AC，
∵S1＝8，S2＝11，S3＝15，
∴AD2＝8，AB2＝11，BC2＝15，
在Rt△ABC与Rt△ADC中，由勾股定理得，
AC2＝AB2+BC2＝26，
∴CD2＝AC2﹣AD2，
∴CD2＝26﹣8＝18，
∴S4＝18，
故答案为：18．
三、解答题
17.【解答】解：（1）解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≥﹣4，
故原不等式组的解集为x＞1，
将其解集在数轴上表示如图所示：
；
（2）原方程去分母得：4﹣2x＝x+3+4，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，2（x+3）≠0，
故原方程的解为x＝﹣1．
18.【解答】解：
＝[]
＝（）

，
当x＝3时，原式．
19.【解答】解：解不等式①，得：x≥﹣2，
解不等式②，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
20.【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求．
（2）如图1，△A2B2C2即为所求．
（3）如图2，
故点D的坐标为（5，6）；
（4）如图1，连接AA2，BB2，CC2，交于点M，
则△ABC绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，
∴旋转中心M的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
21.【解答】（1）证明：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵CF∥BE，
∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD，
∴△EBD≌△FCD（AAS），
∴BE＝CF，
∴四边形EBFC是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形EBFC是平行四边形，
∴DCBC＝2，DE＝DFEF＝4，
∵DE垂直平分BC，
∴∠CDE＝90°，
∴CE2，
∴AE＝AC﹣CE＝42，
即AE的长为42．
22.【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，∠BED＝∠C＝90°．
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝BE．
（2）在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
∴AC＝AE．
∵AC＝6，AB＝10，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AC＝4．
∴AF＝AC﹣CF＝AC﹣BE＝2．
23.【解答】解：（1）解不等式组，得：1＜x＜4，
∵方程①5x﹣2＝0的解为x；方程②x+1＝0的解为x；方程③x﹣（3x+1）＝﹣5的解为x＝2，
∴不等式组的子方程是是③，
故答案为：③；
（2）解不等式组得：x，
所以不等式组的整数解为﹣1，0，
则此子方程的解是﹣1或0，
故答案为：﹣1或0；
（3），
解不等式①，得：x＞m，
解不等式②，得：x≤m+2，
所以不等式组的解集为m＜x≤m+2．
方程2x+3＝x+6的解为x＝3，
方程2x+5（x+4）的解为x＝2，
所以m的取值范围是1≤m＜2．
24.【解答】解：（1）∵∠OAB＝45°，点A的坐标为（4，0），则点B（0，4），即b＝4，
则AB的表达式为：y＝kx+4，
将点A的坐标代入上式得：0＝4k+4，则k＝﹣1，
故直线AB的表达式为：y＝﹣x+4；
（2）设点C（m，﹣m+4），
∵DC＝OC，则点D（2m，8﹣2m），
由B、C、D的坐标得，CD2＝2m2﹣8m+16，BD2＝8m2﹣16m+16，BC2＝2m2，
当CD为斜边时，
则2m2﹣8m+16＝8m2﹣16m+16+2m2，
解得：m＝0（舍去）或1，即点C（1，3）；
当BD或BC为斜边时，
同理可得：8m2﹣16m+16＝2m2+2m2﹣8m+16或2m2﹣8m+16+8m2﹣16m+16＝2m2，
解得：m＝0（舍去）或2，即点C（2，2）；
综上，点C（1，3）或（2，2）；
（3）∵点C（m，n）是线段AB上一点，直线AB的表达式为y＝﹣x+4，
∴n＝﹣m+4，0≤m≤4，
∴y＝mx+2n﹣18＝m（x﹣2）﹣10，即直线过点（2，﹣10），
∵由（2）可知C是OD的中点，
∴D点坐标为（2m，2n），
∴D点坐标为（2m，8﹣2m），代入函数表达式得：8﹣2m＝m （2m）+2（﹣m+4）﹣18，
解得：m＝﹣3（舍去）或3，
∵0≤m≤4，
∴3＜m≤4．
25.【解答】解：（1）对于直线l：y＝﹣x+4，
当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，﹣x+4＝0，
解得x＝4，
∴A（4，0），B（0，4），
对于直线 l2：y＝kx+2k（k≠0），
当y＝0时，kx+2k＝0，
解得：x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
故A（4，0），B（0，4），C（﹣2，0）；
（2）∵，
∴S1＞S2
①当点D在线段BA上时，
AC＝4﹣（﹣2）＝6，OB＝4，
∴12，
∴S2AC×yD＝3yD，
∴S1＝S△ABC﹣S2＝12﹣3yD，
∵，
∴，
解得yD＝1，
经检验：yD＝1是方程的解，
∴﹣x+4＝1，
解得x＝3，
∴D（3，1），
∴3k+2k＝1，
解得，
∴直线l2的函数表达式为：；
②当点D在线段BA的延长线上时，
3yD，
∴S1＝S△ABC+S2＝12﹣3yD，
∵，
∴3，
解得yD＝﹣2，
经检验yD＝﹣2是方程的解，
∴﹣x+4＝﹣2，
解得x＝6，
∴D（6，﹣2），
∴6k+2k＝﹣2，
解得，
∴直线l2的函数表达式为：；
综上所述：直线l2的函数表达式为：或；
（3）如图，作DH⊥x轴交于H，
由（1）得，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴CF＝EF，
∵N是BE的中点，M是DE的中点，
∴，，
∴FM+FN，
∴CD取最小值时，FM+FN取得最小值，当CD⊥AB时，CD取最小值，
∵OA＝OB＝4，
∴∠OAB＝45°，
∴，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴CD＝AD，
∴，
∴AH＝DH＝3，
∴，，
∴BD，
∴6；
∴S BCDE＝2S△BDC＝6；
故 BCDE的面积为6．
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