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高考模拟测试题(八)
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 . 若 ,则
A. 2 B. -1 C. 2 或 -1 D. 3
4. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 清乾隆云龙纹双螭龙耳方形炉摆件,是乾隆时期玉雕工艺的杰出代表. 它玉质细腻,古韵十足,线条流畅,造型规整,雕刻着精美的云龙纹与螭龙耳,底部落“乾隆年制”款,尽显皇家气派. 这件方形炉摆件可近似看作台体,高约 ,上底面与下底面为相似长方形,上底面的长约 ,宽约 ,若下底面的长和宽均为上底面长和宽的 0.8 倍,则该方形炉摆件主体体积约为 ( )
(参考数据: ,结果保留一位小数)
A. B. C. D.
6. 已知函数 ,其最小正周期为 ,将 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象, 的图象关于点 对称,则当 时, 的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. D.
7. 已知函数 在 上单调递减,且 在 上恒成立,则 的取值范围为 ( )
A.(0,1) B.(1,3) C. D.
8. 在平面直角坐标系中,圆 的方程为 ,斜率为 的直线 过点 且与圆 相交于 两点. 若 ,则所有满足条件的直线 的斜率 之和为
A. B. C. DIL D.
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对但不全的得部分分, 有选错或不选的得 0 分.
9. 在生物制药行业,药品的有效成分含量(单位:毫克/毫升)直接关系到药品的疗效. 经过对生产的药品进行检测分析,某款药品的有效成分含量 服从正态分布 ,已知 . 为了控制药品质量,从一批生产的药品中随机抽取 3 盒,记有效成分含量在区间(108,132)的药品盒数为 ,则下列说法中正确的是 ( )
A. B.
C. D.
10. 在 中,内角 的对边分别为 ,已知 ,且 ,则下列结论中正确的是 ( )
A. B.
C. D. 若 ,则 的面积为
11. 设函数 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 在 和 处取得极值
B. 当 时,
C. 当 时, 的取值范围是(-2,1)
D.(2,3)为曲线 的对称中心
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 对于 个不同的正整数,依次排列后若第一个数能整除最后一个数,则称这样的排列为 “首末整除排列”. 现有2,3,4,6,8,则它们的“首末整除排列”共有_____种.
13. 已知数列 ,设 ,函数 在区间 上的最大值比最小值大 1,则 _____.
14. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与双曲线的左、右两支分别交于点 . 若 ,且 的面积为 的面积为 ,且 ,则双曲线的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知递增等比数列 中, ,设 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 .
16. (15分)《哪吒 2:魔童闹海》作为 2025 年备受瞩目的动画电影,一经上映便迅速火爆全球,影片在特效制作、角色设计、音乐制作等方面都做到了极致. 假设其电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责. 在音乐录制过程中,由于各种因素,部分录制片段会因不符合要求而不被采用. 甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为 ,音乐片段可用率(能被采用的片段数占录制片段总数的比例)分别为0.8,0.6,0.6. 现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取,且每个音乐片段被抽到的可能是相同的, 用频率估计概率.
(1)若只取 1 个音乐片段,求它是由乙工作室录制的概率；
(2)若抽取 2 个音乐片段,其中由甲工作室录制的音乐片段数记为 ,求 的分布列和数学期望；
(3)假设以往电影原声音乐片段的平均可用率为 0.65 ,计算此次《哪吒 2:魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率,并判断此次音乐片段的可用率是否高于以往平均可用率.
17. (15 分) 已知函数 .
(1) 当 时,求曲线 在 处的切线方程;
(2)当 时,讨论函数 的单调性；
(3)若 ,求证:当 时, .
18.(17分)如图,在四棱锥 中,底面 是矩形, 底面 , , , 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)若点 在棱 上运动,当点 到平面 的距离为 时,求 的长度.
19. (17分)在平面直角坐标系 中,椭圆 的离心率 ,短轴长为 4 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与椭圆 交于两个不同的点 ,且 ,求 的值；
(3)定义:对于椭圆 上的点 ,若点 满足 ,则称点 为椭圆 的“特殊点”, 求椭圆 的 “特殊点” 的个数.
答案速查及评分标准
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每 小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
B C C A A B D B
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对但不全的得部分分, 有选错或不选的得 0 分.
9 10 11
AB ABC AD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.30 13.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
15. (13 分) (1) (5 分,按步给分,具体见详细解析)
(2) (8 分,按步给分,具体见详细解析)
16. (15 分) (1) (2 分,具体见详细解析)
(2)分布列见解析, 分,按步给分,具体见详细解析)
(3)0.67,高于(5 分,按步给分,具体见详细解析)
17. 分,按步给分,具体见详细解析)
(2)答案见解析(4 分,按步给分,具体见详细解析)
(3)证明见解析(7 分,按步给分,具体见详细解析)
18. (17 分) (1) 证明见解析 (5 分, 按步给分, 具体见详细解析)
(2) (7 分,按步给分,具体见详细解析)
(3) (5 分,按步给分,具体见详细解析)
19. (17 分) (1) (4 分,按步给分,具体见详细解析)
(2) (6 分,按步给分,具体见详细解析)
(3)8 个(7 分,按步给分,具体见详细解析)
详细解析
1.B 90 分必答 (集合交集的运算与指数不等式求解)
因为 ,即 ,解得 ,
所以 ,又 ,
所以 ,故选 B.
2. C 90 分必答 (复数的运算)
因为 ,所以 ,
即 ,
所以 ,又 ,
所以 ,故选 C.
3. C 90 分必答 (向量模的问题)
因为 ,所以 .
因为 ,
所以 .
因为 ,所以 ,
解得 或 ,故选 C.
4. A 90 分必答 (同角三角函数关系与和差角公式应用)
由 得 ,即 .
根据两角和与差的正弦公式 ,因为 ,所以 ,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,故选 A.
5. A 90 分必答 (传统文化与台体体积的计算)
上底面面积 ,下底面的长为 ,宽为 ,下底面面积 ,高 . 根据台体的体积公式 ,
得
446. ,故选 A.
空间几何体的表面积和体积
几何体 表面积 体积
柱体 (棱柱和圆柱)
锥体 (棱锥和圆锥)
台体 (棱台和圆台)
球
6. B 120 分必答 (三角函数的图象与性质)
由题意可得, ,所以 ,
所以 .
将 的图象向左平移 个单位长度得 的图象,
则 .
因为 的图象关于点 对称,
所以 ,解得 .
又 ,当 时, ,
所以 .
当 时, ,
根据正弦函数性质, 在 上单调递增,
在 上单调递减,
所以当 ,即 时, 取得最大值 2,故选 B.
7. D 120 分必答 (分段函数的单调性与不等式恒成立问题)
因为 在 上单调递减,
所以 解得 .
又 在 上恒成立,
所以不等式 在 上恒成立
令 ,所以 ,
因为 ,所以 在 上单调递减,
即 ,解得 ,故选 D.
技巧点拨
若分段函数在定义域上具有一种单调性, 则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致, 还要对分界处的函数值的大小有要求. 若是增函数, 则在分界处左边的函数值 右边的函数值; 若是减函数,则在分界处左边的函数值 右边的函数值.
8. B 120 分必答 (直线与圆的位置关系)
如图,由题意得,圆心 ,半径 .
因为 ,
且 ,
所以 ,解得 ,
所以 .
设圆心 到直线 的距离为 ,由垂径定理可得
,即 ,所以 .
由题意知直线 的方程为 ,即 , 所以圆心 到直线 的距离
即 ,
两边平方,得 ,
展开,得 ,
化简,得 .
设方程的两根分别为 ,
由根与系数关系,得 ,故选 B.
9. AB 90 分必答 正态分布的应用与二项分布的期望和方差的计算)
已知 服从正态分布 ,则正态曲线的对称轴为直线 ,
因为 ,
所以 ,
那么 ,故选项 正确;
从一批药品中随机抽取 3 盒, 每盒药品有效成分含量在区间(108,132)的概率为 0.8,且各盒之间相互独立,所以 ,所以 ,所以 ,故选项 正确;
所以 ,则 ,故选项 错误; ,故选项 错误.
故选 AB.
10. ABC 90 分必答 (正弦定理、辅助角公式、两角和与差公式及三角形面积的计算)
由 ,可得
,即 ,
所以 ,
即 ,因为 ,
所以 ,所以 ,即 ,
又 ,所以 ,故选项 正确;
因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,
则 ,解得 ,故选项 正确；
因为 ,
所以 ,故选项 C 正确;
若 ,则由正弦定理,可得 , 所以
,故选项 错误.
故选 ABC.
知识链接
三角形面积公式
(1) ；
(2) .
11. AD 150 分必答 (函数极值、对称性及导数的应用)
对于 ,由 ,可得
令 ,即 ,化简为 , 即 ,解得 或 ,
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减；当 时, 单调递增. 所以 是极大值点, 是极小值点,故选项 正确.
对于 ,当 时, , 即 在同一个区间(1,2)内. 又 在(1,2)上单调递减,所以当 ,即 时, ; 当 ,即 时, ; 当 ,即 时, ,故选项
B 错误.
对于 ,令 ,当 时, , 由 知当 时, 单调递减, 当 时, , 当 时, , 所以当 时, , 即当 时, ,故选项 错误. 对于 为三次函数,故其图象的对称中心为 ,即 ,又 ,所以(2,3)为曲线 的对称中心,故选项 D 正确.
故选 AD.
知识链接
对于三次函数 ,其图象的对称中心为 .
12.30 90 分必答 (排列与组合)
当第一个数为 2 时,最后一个数可以是4,6,8,其余 3 个数全排列,有 (种); 当第一个数为 3 时,最后一个数只能是 6,其余 3 个数全排列,有 (种); 当第一个数为 4 时, 最后一个数只能是 8 , 其余 3 个数全排列, 有 (种)；当第一个数为 6 时,2,3,4,8这些数中无满足条件的；当第一个数为 8 时,2,3,4,6这些数中无满足条件的. 所以共有 (种).
13. 分必答 (周期数列与对数函数性质的综合) 已知 ,根据 ,可得 ,
所以数列 是以 3 为周期的周期数列,即 . 因为 ,所以 , ,数列 也是以 3 为周期的周期数列,且 .
因为函数 在 上单调递增,所以 在区间 上的最大值为 ,最小值为 ,
所以 ,可得 ,所以 ,
所以 .
技巧点拨
解周期数列题时, 关键在于确定周期. 可通过计算数列前几项, 依据定义判断周期; 或对递推公式变形推导. 求数列项的值时, 把项数表示为 “周期倍数 + 余数” 的形式, 利用周期的性质求解. 求和时, 按周期分组, 算出每组和与组数及剩余项, 进而得出总和.
14. 分必答 (双曲线定义与几何性质、离心率的计算)
因为 与 有相同的高 (点 到直线 的距离),且 ,所以可得 ,即
设 ,则 .
根据双曲线的定义,点 在双曲线右支上,则 ,
点 在双曲线左支上,则 ,
所以 .
又因为 ,所以 ,
解得 ,所以 ,
进而可得 .
因为 ,所以 .
在 中, ,
即 ,所以 ,所以 .
15. (1)
90 分必答 (等比数列的通项公式及裂项相消法求和)
解:(1)设递增等比数列 的公比为 ,则 .
因为 ,
所以 ,
所以 . (3 分)
所以 ,解得 , (4 分)
所以 . (5 分)
(2) 因为 ,
所以 (9 分)
. (13 分)
技巧点拨
裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解, 然后重新组合, 使之能消去一些项, 最终达到求和的目的, 其解题的关键就是准确裂项和消项.
(1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止;
(2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
16. (1) (2)分布列见解析, (3)0.67,高于 (1)(2)问 90 分必答,(3)问 120 分必答(概率、二项分布的分布列和数学期望及数据推断) 解:(1)由题意知,每个音乐片段被抽到的可能是相同的. 因为甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为
所以若只取 1 个音乐片段,它是由乙工作室录制的概率为 . (2 分)
(2)设事件 分别表示随机抽取的 1 个音乐片段分别是由甲、乙、丙工作室录制的,
若只取 1 个音乐片段,则
所以由乙或丙工作室录制的概率为 . (4 分)
依题意可知, 的可能取值为0,1,2,且 . (5 分)
所以 , (8 分)
所以 的分布列为
0 1 2
数学期望 (10 分)
(3)设事件 表示音乐片段被录用,由(1)(2)知 . (11 分)
所以 .
(12 分)
又
,即 《哪吒 2: 魔童
闹海》电影原声音乐片段的可用率约为 0.67 . (14分)
又 ,所以此次音乐片段的可用率高于以往平均可用率. (15 分)
技巧点拨
区别超几何分布与二项分布的六个方面
(1)看总体数是否给出, 若未给出或给出总体数较大, 则
一般考查二项分布, 此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”；
(2)看一次抽取抽中“次品”概率是否给出, 若给出或可求
出, 则一般考查二项分布;
(3)看一次抽取的结果是否只有两个结果,若只有两个对立的结果, 则一般考查二项分布;
(4)看抽样方法,若是有放回抽样,则一定是二项分布；若是不放回抽样,则需要考虑总体数再确定;
(5)看每一次抽样试验中,事件是否相互独立,事件发生的概率是否不变, 若事件相互独立且概率不变, 则一定考查二项分布,这也是判断二项分布的最根本依据；
(6)把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别, 超几何分布多与分层抽样结合, 会出现“先抽, 再抽”的题千信息.
17. (1) 答案见解析(3)证明见解析
(1) 问 90 分必答, (2) 问 120 分必答, (3) 问 150 分必答 (导数的几何意义、利用导数研究函数单调性及证明不等式)
(1) 解: 当 时,
(2 分)
所以曲线 在 处的切线方程为 (x - 0),即 . (4 分)
(2)解: . (5 分)
若 ,令 ,即 ,
因为 ,所以 ,解得 .
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增. (6 分)
若 ,令 ,解得 .
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增. (7 分)
综上所述,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增. (8 分)
(3) 证明: 当 时,要证 ,
即证 . (10 分)
令 ,
所以 , (11 分)
令 ,
所以 . (12 分)
因为 ,所以 ,
所以 在 上单调递增, (13 分)
则 ,即 ,
所以 在 上单调递增.
所以 , (14 分)
即 .
所以当 时, . (15 分)
18.(1)证明见解析
(1) 问 90 分必答, (2) 问 120 分必答, (3) 问 150 分必答
(线面平行的判定、用向量法求解线面角及点面距离)
(1)证明:连接 交 于点 ,连接 ,如图 1 所示.
(1 分)
因为底面 是矩形,所以 是 的中点.
因为 是 的中点,所以在 中,
是中位线,所以 . (3 分)
因为 平面 平面 , (4 分)
所以 平面 . (5 分)
图 1
(2) 解: 如图 2,因为 底面 ,所以 , ,
又在矩形 中, ,所以 两两垂直. 以点 为原点,分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,则 ,
. (7 分)
因为 是 的中点,所以 .
图2
所以 .
设平面 的法向量为 ,则
令 ,则 ,所以 . (9分)
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
所以 .
即直线 与平面 所成角的正弦值为 . (12分) (3) 解:由(2)知平面 的一个法向量为 , 设 ,
又 ,
则 . (15 分)
令点 到平面 的距离为 .
由 ,得 ,
解得 或 (舍去). (16 分)
又 ,故 ,
所以 的长度为 . (17 分)
知识链接
1. 空间角的向量求法
角的分类 向量求法 范围
两异面直 线 与 所成的角 设 与 的方向向量分别为 , ,则
直线 与 平面 所 成的角 设 的方向向量为 ,平面 的 法向量为 ,则
平面 与 平面 的 夹角 设平面 的法向量分别为 , ,则
2. 空间距离的向量求法
分类 向量求法
两点距 设 为空间中的任 意两点,则距离
点线距 设直线 的单位方向向量为 , ,则点 到直线 的距离
点面距 已知平面 的法向量为 ,则点 到平面 的距离
19. (1) (2) (3)8个
(1)问 90 分必答,(2)问 120 分必答,(3)问 150 分必答 (椭圆方程求解、直线与椭圆的位置关系及新定义 “特殊点”问题)
解:(1)已知短轴长 ,则 .
由离心率 ,得 .
又 ,
所以 ,解得 . (3 分)
所以椭圆 的方程为 . (4 分)
(2)设 ,
联立直线与椭圆方程,得 消去 ,得
所以 . (6 分)
所以 .
因为 ,所以 , (7 分)
则 .
所以 ,
即 ,
化简,得 ,所以 . (10 分)
(3)因为点 在椭圆 上,
所以 ,变形得 .
将 代入 ,
得 ,即 ,
所以 ,
化简,得 . (12 分)
令 ,方程变为
即 ,解得 . (14 分)
当 时, ,此时 ;
当 时, ,此时 . (15 分)
所以椭圆 的 “特殊点” 有 8 个. (17 分)

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