资源简介 高考模拟测试题(八)一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.1. 已知集合 ,则 ( )A. B. C. D.2. 已知复数 满足 ,则 ( )A. B. C. D.3. 已知向量 . 若 ,则A. 2 B. -1 C. 2 或 -1 D. 34. 已知 ,则 ( )A. B. C. D.5. 清乾隆云龙纹双螭龙耳方形炉摆件,是乾隆时期玉雕工艺的杰出代表. 它玉质细腻,古韵十足,线条流畅,造型规整,雕刻着精美的云龙纹与螭龙耳,底部落“乾隆年制”款,尽显皇家气派. 这件方形炉摆件可近似看作台体,高约 ,上底面与下底面为相似长方形,上底面的长约 ,宽约 ,若下底面的长和宽均为上底面长和宽的 0.8 倍,则该方形炉摆件主体体积约为 ( )(参考数据: ,结果保留一位小数)A. B. C. D.6. 已知函数 ,其最小正周期为 ,将 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象, 的图象关于点 对称,则当 时, 的最大值为( )A. 1 B. 2 C. D.7. 已知函数 在 上单调递减,且 在 上恒成立,则 的取值范围为 ( )A.(0,1) B.(1,3) C. D.8. 在平面直角坐标系中,圆 的方程为 ,斜率为 的直线 过点 且与圆 相交于 两点. 若 ,则所有满足条件的直线 的斜率 之和为A. B. C. DIL D.二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对但不全的得部分分, 有选错或不选的得 0 分.9. 在生物制药行业,药品的有效成分含量(单位:毫克/毫升)直接关系到药品的疗效. 经过对生产的药品进行检测分析,某款药品的有效成分含量 服从正态分布 ,已知 . 为了控制药品质量,从一批生产的药品中随机抽取 3 盒,记有效成分含量在区间(108,132)的药品盒数为 ,则下列说法中正确的是 ( )A. B.C. D.10. 在 中,内角 的对边分别为 ,已知 ,且 ,则下列结论中正确的是 ( )A. B.C. D. 若 ,则 的面积为11. 设函数 ,则下列结论正确的是 ( )A. 在 和 处取得极值B. 当 时,C. 当 时, 的取值范围是(-2,1)D.(2,3)为曲线 的对称中心三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.12. 对于 个不同的正整数,依次排列后若第一个数能整除最后一个数,则称这样的排列为 “首末整除排列”. 现有2,3,4,6,8,则它们的“首末整除排列”共有_____种.13. 已知数列 ,设 ,函数 在区间 上的最大值比最小值大 1,则 _____.14. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与双曲线的左、右两支分别交于点 . 若 ,且 的面积为 的面积为 ,且 ,则双曲线的离心率为_____.四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (13 分) 已知递增等比数列 中, ,设 .(1)求 的通项公式;(2)求 的前 项和 .16. (15分)《哪吒 2:魔童闹海》作为 2025 年备受瞩目的动画电影,一经上映便迅速火爆全球,影片在特效制作、角色设计、音乐制作等方面都做到了极致. 假设其电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责. 在音乐录制过程中,由于各种因素,部分录制片段会因不符合要求而不被采用. 甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为 ,音乐片段可用率(能被采用的片段数占录制片段总数的比例)分别为0.8,0.6,0.6. 现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取,且每个音乐片段被抽到的可能是相同的, 用频率估计概率.(1)若只取 1 个音乐片段,求它是由乙工作室录制的概率;(2)若抽取 2 个音乐片段,其中由甲工作室录制的音乐片段数记为 ,求 的分布列和数学期望;(3)假设以往电影原声音乐片段的平均可用率为 0.65 ,计算此次《哪吒 2:魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率,并判断此次音乐片段的可用率是否高于以往平均可用率.17. (15 分) 已知函数 .(1) 当 时,求曲线 在 处的切线方程;(2)当 时,讨论函数 的单调性;(3)若 ,求证:当 时, .18.(17分)如图,在四棱锥 中,底面 是矩形, 底面 , , , 是 的中点.(1)求证: 平面 ;(2)求直线 与平面 所成角的正弦值;(3)若点 在棱 上运动,当点 到平面 的距离为 时,求 的长度.19. (17分)在平面直角坐标系 中,椭圆 的离心率 ,短轴长为 4 .(1)求椭圆 的方程;(2)设直线 与椭圆 交于两个不同的点 ,且 ,求 的值;(3)定义:对于椭圆 上的点 ,若点 满足 ,则称点 为椭圆 的“特殊点”, 求椭圆 的 “特殊点” 的个数.答案速查及评分标准一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每 小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8B C C A A B D B二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对但不全的得部分分, 有选错或不选的得 0 分.9 10 11AB ABC AD三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.12.30 13.四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.15. (13 分) (1) (5 分,按步给分,具体见详细解析)(2) (8 分,按步给分,具体见详细解析)16. (15 分) (1) (2 分,具体见详细解析)(2)分布列见解析, 分,按步给分,具体见详细解析)(3)0.67,高于(5 分,按步给分,具体见详细解析)17. 分,按步给分,具体见详细解析)(2)答案见解析(4 分,按步给分,具体见详细解析)(3)证明见解析(7 分,按步给分,具体见详细解析)18. (17 分) (1) 证明见解析 (5 分, 按步给分, 具体见详细解析)(2) (7 分,按步给分,具体见详细解析)(3) (5 分,按步给分,具体见详细解析)19. (17 分) (1) (4 分,按步给分,具体见详细解析)(2) (6 分,按步给分,具体见详细解析)(3)8 个(7 分,按步给分,具体见详细解析)详细解析1.B 90 分必答 (集合交集的运算与指数不等式求解)因为 ,即 ,解得 ,所以 ,又 ,所以 ,故选 B.2. C 90 分必答 (复数的运算)因为 ,所以 ,即 ,所以 ,又 ,所以 ,故选 C.3. C 90 分必答 (向量模的问题)因为 ,所以 .因为 ,所以 .因为 ,所以 ,解得 或 ,故选 C.4. A 90 分必答 (同角三角函数关系与和差角公式应用)由 得 ,即 .根据两角和与差的正弦公式 ,因为 ,所以 ,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,故选 A.5. A 90 分必答 (传统文化与台体体积的计算)上底面面积 ,下底面的长为 ,宽为 ,下底面面积 ,高 . 根据台体的体积公式 ,得446. ,故选 A.空间几何体的表面积和体积几何体 表面积 体积柱体 (棱柱和圆柱)锥体 (棱锥和圆锥)台体 (棱台和圆台)球6. B 120 分必答 (三角函数的图象与性质)由题意可得, ,所以 ,所以 .将 的图象向左平移 个单位长度得 的图象,则 .因为 的图象关于点 对称,所以 ,解得 .又 ,当 时, ,所以 .当 时, ,根据正弦函数性质, 在 上单调递增,在 上单调递减,所以当 ,即 时, 取得最大值 2,故选 B.7. D 120 分必答 (分段函数的单调性与不等式恒成立问题)因为 在 上单调递减,所以 解得 .又 在 上恒成立,所以不等式 在 上恒成立令 ,所以 ,因为 ,所以 在 上单调递减,即 ,解得 ,故选 D.技巧点拨若分段函数在定义域上具有一种单调性, 则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致, 还要对分界处的函数值的大小有要求. 若是增函数, 则在分界处左边的函数值 右边的函数值; 若是减函数,则在分界处左边的函数值 右边的函数值.8. B 120 分必答 (直线与圆的位置关系)如图,由题意得,圆心 ,半径 .因为 ,且 ,所以 ,解得 ,所以 .设圆心 到直线 的距离为 ,由垂径定理可得,即 ,所以 .由题意知直线 的方程为 ,即 , 所以圆心 到直线 的距离即 ,两边平方,得 ,展开,得 ,化简,得 .设方程的两根分别为 ,由根与系数关系,得 ,故选 B.9. AB 90 分必答 正态分布的应用与二项分布的期望和方差的计算)已知 服从正态分布 ,则正态曲线的对称轴为直线 ,因为 ,所以 ,那么 ,故选项 正确;从一批药品中随机抽取 3 盒, 每盒药品有效成分含量在区间(108,132)的概率为 0.8,且各盒之间相互独立,所以 ,所以 ,所以 ,故选项 正确;所以 ,则 ,故选项 错误; ,故选项 错误.故选 AB.10. ABC 90 分必答 (正弦定理、辅助角公式、两角和与差公式及三角形面积的计算)由 ,可得,即 ,所以 ,即 ,因为 ,所以 ,所以 ,即 ,又 ,所以 ,故选项 正确;因为 ,所以 ,所以 ,即 ,因为 ,所以 ,则 ,解得 ,故选项 正确;因为 ,所以 ,故选项 C 正确;若 ,则由正弦定理,可得 , 所以,故选项 错误.故选 ABC.知识链接三角形面积公式(1) ;(2) .11. AD 150 分必答 (函数极值、对称性及导数的应用)对于 ,由 ,可得令 ,即 ,化简为 , 即 ,解得 或 ,当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减;当 时, 单调递增. 所以 是极大值点, 是极小值点,故选项 正确.对于 ,当 时, , 即 在同一个区间(1,2)内. 又 在(1,2)上单调递减,所以当 ,即 时, ; 当 ,即 时, ; 当 ,即 时, ,故选项B 错误.对于 ,令 ,当 时, , 由 知当 时, 单调递减, 当 时, , 当 时, , 所以当 时, , 即当 时, ,故选项 错误. 对于 为三次函数,故其图象的对称中心为 ,即 ,又 ,所以(2,3)为曲线 的对称中心,故选项 D 正确.故选 AD.知识链接对于三次函数 ,其图象的对称中心为 .12.30 90 分必答 (排列与组合)当第一个数为 2 时,最后一个数可以是4,6,8,其余 3 个数全排列,有 (种); 当第一个数为 3 时,最后一个数只能是 6,其余 3 个数全排列,有 (种); 当第一个数为 4 时, 最后一个数只能是 8 , 其余 3 个数全排列, 有 (种);当第一个数为 6 时,2,3,4,8这些数中无满足条件的;当第一个数为 8 时,2,3,4,6这些数中无满足条件的. 所以共有 (种).13. 分必答 (周期数列与对数函数性质的综合) 已知 ,根据 ,可得 ,所以数列 是以 3 为周期的周期数列,即 . 因为 ,所以 , ,数列 也是以 3 为周期的周期数列,且 .因为函数 在 上单调递增,所以 在区间 上的最大值为 ,最小值为 ,所以 ,可得 ,所以 ,所以 .技巧点拨解周期数列题时, 关键在于确定周期. 可通过计算数列前几项, 依据定义判断周期; 或对递推公式变形推导. 求数列项的值时, 把项数表示为 “周期倍数 + 余数” 的形式, 利用周期的性质求解. 求和时, 按周期分组, 算出每组和与组数及剩余项, 进而得出总和.14. 分必答 (双曲线定义与几何性质、离心率的计算)因为 与 有相同的高 (点 到直线 的距离),且 ,所以可得 ,即设 ,则 .根据双曲线的定义,点 在双曲线右支上,则 ,点 在双曲线左支上,则 ,所以 .又因为 ,所以 ,解得 ,所以 ,进而可得 .因为 ,所以 .在 中, ,即 ,所以 ,所以 .15. (1)90 分必答 (等比数列的通项公式及裂项相消法求和)解:(1)设递增等比数列 的公比为 ,则 .因为 ,所以 ,所以 . (3 分)所以 ,解得 , (4 分)所以 . (5 分)(2) 因为 ,所以 (9 分). (13 分)技巧点拨裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解, 然后重新组合, 使之能消去一些项, 最终达到求和的目的, 其解题的关键就是准确裂项和消项.(1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止;(2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.16. (1) (2)分布列见解析, (3)0.67,高于 (1)(2)问 90 分必答,(3)问 120 分必答(概率、二项分布的分布列和数学期望及数据推断) 解:(1)由题意知,每个音乐片段被抽到的可能是相同的. 因为甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为所以若只取 1 个音乐片段,它是由乙工作室录制的概率为 . (2 分)(2)设事件 分别表示随机抽取的 1 个音乐片段分别是由甲、乙、丙工作室录制的,若只取 1 个音乐片段,则所以由乙或丙工作室录制的概率为 . (4 分)依题意可知, 的可能取值为0,1,2,且 . (5 分)所以 , (8 分)所以 的分布列为0 1 2数学期望 (10 分)(3)设事件 表示音乐片段被录用,由(1)(2)知 . (11 分)所以 .(12 分)又,即 《哪吒 2: 魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率约为 0.67 . (14分)又 ,所以此次音乐片段的可用率高于以往平均可用率. (15 分)技巧点拨区别超几何分布与二项分布的六个方面(1)看总体数是否给出, 若未给出或给出总体数较大, 则一般考查二项分布, 此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”;(2)看一次抽取抽中“次品”概率是否给出, 若给出或可求出, 则一般考查二项分布;(3)看一次抽取的结果是否只有两个结果,若只有两个对立的结果, 则一般考查二项分布;(4)看抽样方法,若是有放回抽样,则一定是二项分布;若是不放回抽样,则需要考虑总体数再确定;(5)看每一次抽样试验中,事件是否相互独立,事件发生的概率是否不变, 若事件相互独立且概率不变, 则一定考查二项分布,这也是判断二项分布的最根本依据;(6)把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别, 超几何分布多与分层抽样结合, 会出现“先抽, 再抽”的题千信息.17. (1) 答案见解析(3)证明见解析(1) 问 90 分必答, (2) 问 120 分必答, (3) 问 150 分必答 (导数的几何意义、利用导数研究函数单调性及证明不等式)(1) 解: 当 时,(2 分)所以曲线 在 处的切线方程为 (x - 0),即 . (4 分)(2)解: . (5 分)若 ,令 ,即 ,因为 ,所以 ,解得 .当 时, 单调递减;当 时, 单调递增. (6 分)若 ,令 ,解得 .当 时, 单调递减;当 时, 单调递增. (7 分)综上所述,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增. (8 分)(3) 证明: 当 时,要证 ,即证 . (10 分)令 ,所以 , (11 分)令 ,所以 . (12 分)因为 ,所以 ,所以 在 上单调递增, (13 分)则 ,即 ,所以 在 上单调递增.所以 , (14 分)即 .所以当 时, . (15 分)18.(1)证明见解析(1) 问 90 分必答, (2) 问 120 分必答, (3) 问 150 分必答(线面平行的判定、用向量法求解线面角及点面距离)(1)证明:连接 交 于点 ,连接 ,如图 1 所示.(1 分)因为底面 是矩形,所以 是 的中点.因为 是 的中点,所以在 中,是中位线,所以 . (3 分)因为 平面 平面 , (4 分)所以 平面 . (5 分)图 1(2) 解: 如图 2,因为 底面 ,所以 , ,又在矩形 中, ,所以 两两垂直. 以点 为原点,分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,则 ,. (7 分)因为 是 的中点,所以 .图2所以 .设平面 的法向量为 ,则令 ,则 ,所以 . (9分)设直线 与平面 所成的角为 ,则 ,所以 .即直线 与平面 所成角的正弦值为 . (12分) (3) 解:由(2)知平面 的一个法向量为 , 设 ,又 ,则 . (15 分)令点 到平面 的距离为 .由 ,得 ,解得 或 (舍去). (16 分)又 ,故 ,所以 的长度为 . (17 分)知识链接1. 空间角的向量求法角的分类 向量求法 范围两异面直 线 与 所成的角 设 与 的方向向量分别为 , ,则直线 与 平面 所 成的角 设 的方向向量为 ,平面 的 法向量为 ,则平面 与 平面 的 夹角 设平面 的法向量分别为 , ,则2. 空间距离的向量求法分类 向量求法两点距 设 为空间中的任 意两点,则距离点线距 设直线 的单位方向向量为 , ,则点 到直线 的距离点面距 已知平面 的法向量为 ,则点 到平面 的距离19. (1) (2) (3)8个(1)问 90 分必答,(2)问 120 分必答,(3)问 150 分必答 (椭圆方程求解、直线与椭圆的位置关系及新定义 “特殊点”问题)解:(1)已知短轴长 ,则 .由离心率 ,得 .又 ,所以 ,解得 . (3 分)所以椭圆 的方程为 . (4 分)(2)设 ,联立直线与椭圆方程,得 消去 ,得所以 . (6 分)所以 .因为 ,所以 , (7 分)则 .所以 ,即 ,化简,得 ,所以 . (10 分)(3)因为点 在椭圆 上,所以 ,变形得 .将 代入 ,得 ,即 ,所以 ,化简,得 . (12 分)令 ,方程变为即 ,解得 . (14 分)当 时, ,此时 ;当 时, ,此时 . (15 分)所以椭圆 的 “特殊点” 有 8 个. (17 分) 展开更多...... 收起↑ 资源预览