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2024-2025学年高一下学期人教A版2019必修第二册数学期数学期末模拟试卷（适用于湖南省）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若数据，，，，的方差为9，则数据，，，，的方差为（ ）
A．2007 B．1989 C．36 D．18
2．设三个事件A，B，C两两相互独立，且事件A发生的概率是，事件A，B，C同时发生的概率是，事件A，B，C都不发生的概率是，则事件A，B，C中只有一个发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．在，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则角的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角、、所对的边分别为、、，则的面积.已知在中，，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．在复平面内，复数 （为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，是复数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知圆台的高为3，上 下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某高中学校对一次高二联考物理成绩进行统计分析，记录了学生的分数，其中分组的区间为，画出频率分布直方图，已知随机抽取的成绩不低于80分的有300人，若从样本中随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（ ）
A．学生成绩众数估计为75分 B．学生成绩的平均数大于中位数
C．此次成绩在的学生人数为120人 D．学生成绩的第45百分位数为70
10．在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是锐角三角形
C．若，则外接圆的半径为 D．若，则 内切圆的半径为
11．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为 B．
C．在复平面内对应的点位于第三象限 D．
12．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量的夹角为，且，，则 .
14．已知正三棱台，，，，则该正三棱台的体积为 ．
15．数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有，，，，，，，八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中在图示中①的位置，在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知与除以外的运动员比赛胜率为，与除以外的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员夺得冠军的概率为 ．
16．如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本数据的第62百分位数；
(3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差.
18．（12分）某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；
(2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率；
(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1）
19．（12分）如图，在棱长为6的正方体中.
(1)求证：；
(2)若平面，求证：点为的中心；
(3)若点是平面内一个动点，且，求直线与平面所成角正切值.
20．（12分）将连续正整数、、、、从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到的概率.
(1)求；
(2)当时，求的表达式；
(3)令为这个数中数字的个数，为这个数中数字的个数，，，求当时，的最大值.
21．（12分）已知点是锐角的外心，分别为角的对边，，
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若，求x的取值范围．
22．（12分）已知向量令.
(1)求函数的对称轴方程；
(2)设，当时，求函数的最小值；
(3)在（2）的条件下，若对任意的实数且，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】因数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差应是.
故选：C.
2．B
【详解】设事件B发生的概率为，事件C发生的概率为，则．又，得解得或故事件A，B，C中只有一个发生的概率是．
3．A
【详解】由正弦定理，，
又，则，所以.
故选：A.
4．C
【详解】因为，
又，则，
所以（当且仅当时取等号）.
则，
所以面积的最大值为.
故选：C.
5．D
【详解】由题意可得：.
所以其共轭复数为
故选：D.
6．B
【详解】当时，，此时，
当，若，则成立，同理也成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
7．D
【详解】记侧面水平放置时，液面与分别交于，
的中点为，连接交于点，的面积为，
由题可知，，则，
所以，则梯形的面积为，
所以直棱柱的体积为，
又底面水平放置时，液面高为3，所以液体体积为，
所以，解得.
故选：D.
8．A
【详解】作出圆台及外接球的轴截面图，如图.
易得球心在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为，
则球心到下底面圆的距离为，由勾股定理得，解得，
则外接球的半径，表面积为.
故选：A.
9．ACD
【详解】由频率分布直方图得，成绩在的频率最高，
所以学生成绩众数估计为分，故A正确；
学生成绩的平均数为，
∵，
，
∴学生成绩的中位数在内，设中位数为，
由，得到，
∵，∴学生成绩的平均数小于中位数，故B错误；
∵成绩不低于80分的频率为，
又随机抽取的成绩不低于80分的有300人，∴学生总人数为，
∵成绩在的频率为，
∴此次成绩在的学生人数为人，故C正确；
∵，
∴学生成绩的第45百分位数为70，故D正确，
故选：ACD.
10．AD
11．ABD
【详解】根据三角函数诱导公式化简，，所以.
对于A选项，的虚部为，所以A选项正确.
对于B选项，已知，则.
所以，B选项正确.
对于C选项，在复平面内， 对应的点为，该点位于第一象限，而不是第三象限，所以C选项错误.
对于D选项，
则，所以D选项正确.
故选：ABD.
12．BD
【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径.
对于选项A：圆锥的侧面积为，故选项A错误；
对于选项B：由圆的几何性质可知，由勾股定理可得，
由基本不等式可得，可得，
即，当且仅当时，等号成立，
则三棱锥体积为：，
即三棱锥体积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：因为，故，
当点与点重合时，；当点与点重合时，，
又因为点与、不重合，则，
又，可得，故选项C错误；
对于选项D：因为，，，
由可得.
又，所以为等边三角形，则.
将以为轴旋转到与共面，
得到，则为等边三角形，.
如图，当、、三点共线时，取最小值.
因为，，
所以，
，故选项D正确.
故选：BD.
13．4
【详解】由题意知向量的夹角为，且，
故，∴，即，则.
故答案为：.
14．
【详解】将正三棱台补成正三棱锥，
设点在平面的射影点为点，则为正的中心，如下图所示：

由棱台的性质可知，所以，故，
所以为的中点，所以，
由正弦定理可得，故，
所以，
又因为，所以，
同理可知，点到平面的距离为，
故，
因此正三棱台的体积为.
故答案为：.
15．
【详解】进入决赛的概率为，进入决赛的概率为，
夺冠有两种情况，进入决赛和没进入决赛，所以夺冠的概率为，
夺冠有两种情况，进入决赛和没进入决赛，所以夺冠的概率为，
所以或夺冠的概率为，由概率的对称性可得，夺冠的概率为.
故答案为：.
16．
17.【详解】（1）由，解得；
（2）因为，，
所以样本数据的第62百分位数在内，可得，
所以样本数据的第62百分位数为分；
（3）样本数据落在的个数为，落在的个数为，
，总方差.
18.【详解】（1）依题意，设区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人，得
成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：；
成绩在[90,100]区间样本中的学生人数为：；
所以，解得，
所以区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人.
（2）由（1）得，不妨记区间[80,90)中人为，区间[90,100]中人为，
则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件，
其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为共8件，
故，即第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率为.
（3）由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为，
所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为，
故，解得，
所以成绩良好的最低分数线为.
19.【详解】（1）如图，连接，因为四边形为正方形，则，
∵平面，平面，则，
因为，平面，，
∴平面，∵平面，∴，
（2）如图，由（1）知，，同理可证，
∵，平面，平面.
则平面，∵，
∴，∴，
∴E为的外心，∵，
∴是正三角形，∴E为正的中心.
（3）如图，由（2）知E为正的中心，，
在中，由正弦定理得，，
，
∵，∴，
∵平面，平面，∴，
即，，∵，
即，
∵，解得：，
所以，点P的轨迹是以点E为圆心，半径为1的圆，
∵平面，所以，与平面所成的角为，
而，∵，
故直线与平面所成角正切值为.
20.【详解】（1）当时，一位数有，二位数个，三位数个，
这个数中总共有个数字，
其中数字的数有、、、、、，数字的个数为，
所以恰好取到的概率为.
（2）当时，全是一位数，；
当时，一位数个数为，二位数的个数为，；
当时，一位数的个数为，二位数的个数为，三位数的个数为，
；
当时，一位数的个数为，二位数的个数为，三位数的个数为，
四位数的个数为，.
综上所述，.
（3）当时，；
当时，；
当时，，
所以，，
同理可得，
由可知，
所以当时，，
当时，，
当时，；
当时，，
由随着的增大而增大，故当时，的最大值为，
又，所以当时，的最大值为.
21.【详解】（1）因为，则，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）因为，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
（3）分别取AB，BC的中点D，E，连接OD，OE，
可得，
同理可得，
由得，，
所以，
即，
在中，由正弦定理得：，（为的外接圆的半径）
代入上式得，
则，
由正弦定理得，，
代入上式得，；所以，
所以，即，
因为，且为锐角三角形，，所以，
所以，所以，
即的取值范围．
22.【详解】（1）因为向量
所以，
由，得，
所以函数对称轴方程为
（2）由（1）得，
因为
所以
令，因为，
所以 ，
则，
对称轴为，
当，即，可得在上单调递增，
所以，
当，即时，，
当，即时，在上单调递减，
所以
所以
（3）当时，由（2）可得
所以
而，当且仅当时取等号，
，当且仅当时，取等号，
所以
所以 ，
即实数的取值范围为
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