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第05讲 绝对值与相反数（6种题型）
1.理解绝对值的概念及性质，借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点称.
2.会求一个有理数的绝对值及有理数的相反数.
重点：理解绝对值的概念及性质. 会求有理数的相反数.
难点：会求一个有理数的绝对值. 借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.
一、相反数
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
二、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .
要点诠释：
　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.
　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.
三、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
题型一、相反数的概念
例1.下列各组数互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.
【答案】C
【解析】的相反数是，而不是；的相反数是，而不是，－6的相反数就是，所以C正确；的相反数是，不是.
【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.
【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
【变式2】填空：
(1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 是 的相反数；
(4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数.（6）a和 互为相反数 .
（7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身．
【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数， 0 .
【变式3】下列说法中正确的有( )
①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多
【答案】B
【变式4】已知互为相反数，则 ．
【答案】2
【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：.
【总结升华】若互为相反数，则或.
题型二、多重符号的化简
例2.化简下列各数中的符号．
（1） （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）
（5）-[-(+1)] （6）-(-a)
【答案】 (1) （2）-(+5)＝-5 （3）-(-0.25)＝0.25
（4） （5）-[-(+1)]＝-(-1)＝1 (6)-(-a)＝a
【解析】
(1) 表示的相反数，而的相反数是，所以 ；
（2）-(+5)表示+5的相反数，即-5， 所以-(+5)=-5；
（3）-(-0.25)表示-0.25的相反数，而-0.25的相反数是0.25，所以-(-0.25)＝0.25；
（4）负数前面的“+”号可以省略，所以；
（5）先看中括号内-(+1)表示1的相反数，即-1，因此-[-(+1)]＝-(-1)而-(-1)表示-1的相反数，即1，所以-[-(+1)]＝-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a的相反数，即a．
所以-(-a)= a
【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．
【变式1】（2023·全国·七年级假期作业）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相反数，去绝对值法则判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相反数，去绝对值法，熟记运算法则是解答本题的关键．
【变式2】将下列各数：，表示在数轴上，并用“<”连接各数．
【答案】数轴表示见解析，
【分析】先化简绝对值和多重符号，然后在数轴上表示出各数，再根据数轴上右边的数大于左边的数用小于号将各数连接起来即可．
【详解】解：，
数轴表示如下：
∴．
【点睛】本题主要考查了化简多重符号和绝对值，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，正确在数轴上表示出各数是解题的关键．
题型三、绝对值的概念
例3．求下列各数的绝对值．
，-0.3，0，
【思路点拨】，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．
【答案与解析】
解法一：因为到原点距离是个单位长度，所以．
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．
因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．
因为到原点的距离是个单位长度，所以．
解法二：因为，所以．
因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．
因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0．
因为，所以．
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．
【变式1】计算：（1） （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)|
【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.
解：(1) ，
(2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，
(3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．
例4.（2023·浙江·七年级假期作业）的绝对值是______．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义解答即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值，熟知绝对值的性质是解本题的关键．
【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．
【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．
【变式2】已知一个数的绝对值是4，则这个数是　　．
【答案】±4.
【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为 ．
【答案】6或-6
【变式4】（2022秋·山西临汾·七年级统考阶段练习）
（1）绝对值是1的数有几个？各是什么？
（2）绝对值是0的数有几个？各是什么？
（3）绝对值是的数是否存在？若存在，请写出来．
【答案】（1）有2个，分别是1，．（2）有1个，是0．（3）不存在．
【分析】直接根据绝对值的定义作答即可．
【详解】解：（1）绝对值是1的数有2个，分别是1和；
（2）绝对值是0的数有1个，是0；
（3）绝对值是的数不存在．
【点睛】本题考查了绝对值的定义，绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
例5．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．
【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．
【答案与解析】
解：因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；
因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；
由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．
【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4.
【变式1】（2023春·天津南开·七年级天津大学附属中学校考开学考试）若，那么_____．
【答案】7
【分析】首先根据a的取值范围确定和的符号，然后去绝对值计算即可．
【详解】解：，
，，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号．
【变式2】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．
【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，
由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .
题型四、绝对值非负性的应用
例6. 已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．
【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．
【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0
且|2-m|≥0，|n-3|≥0
所以|2-m|＝0，|n-3|＝0
即2-m＝0，n-3＝0
所以m＝2，n＝3
故m-2n＝2-2×3＝-4．
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．
【变式1】（2022秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知，求x，y的值分别是多少？
【答案】
【分析】根据绝对值的非负数的性质即可求出x、y的值．
【详解】解：∵，而，
∴ ，
解得．
【点睛】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个非负数也必为零．
【变式2】（1）若，则__；
（2）若，则__；
（3）若，则__，__；
（4）若，则__，__；
（5）若，则__，__；
（6）若，则__，__．
【答案】 0 1 0 0 1 0 0 3
【分析】根据绝对值的非负性分别计算即可．
【详解】（1）若，则；
故答案为：0；
（2）若，则，解得；
故答案为：1；
（3）若，则，；
故答案为：0，0；
（4）若，则，，解得，；
故答案为：1，0；
（5）若，则，，解得，；
故答案为：0，；
（6）若，则，，解得，．
故答案为：3，．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．
题型五、绝对值的实际应用
例7．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢 请说明理由．
【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．
【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．
【点评】绝对值越小，越接近标准.
【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：
+0.0018 -0.0023 +0.0025
-0.0015 +0.0012 +0.0010
请用绝对值知识说明：
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶．
(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．
【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻
【答案】小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) ．
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) ．
题型六、数轴与绝对值综合
例8.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_____；
(2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值；
(3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【答案】(1)3，5，1或
(2)6
(3)当时，式子的值最小，最小值是9，理由见解析
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可；
（2）先确定a+4、a-2的正负，然后再化简绝对值，最后再合并同类项即可；
（3）根据表示一点到-5，1，4三点的距离的和．即可求解．
【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是4-1=3；
表示-3和2两点之间的距离是2-（-3）=5；
依题意有|a-（-2）|=3，
∴a-（-2）=3或a-（-2）=-3
解得a=1或-5．
故答案为：3，5，1或-5．
（2）解：∵数a的点位于-4与2之间，
∴a+4＞0，a-2＜0
∴|a+4|+|a-2|=a+4-a+2=6．
（3）解：∵表示一点到-5，1，4三点的距离的和．
∴当a=1时，式子的值最小，
∴的最小值是9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义、数轴、数轴上两点之间的距离等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
【变式1】探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系：
(1)观察数轴，填空：
点A与点B的距离是　　；点C与点B的距离是　　；
点E与点F的距离是　　；点D与点G的距离是　　．
我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为m，点N对应的数为n，那么点M与点N之间的距离可表示为　　（用m、n表示）．
(2)利用你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则x＝　　．
(3)利用你发现的规律，逆向思维解决下列问题：
①，则x＝　　．
②，则x＝　　．
【答案】(1)2；5；1；5；
(2)5或﹣1
(3)①7或；②或
【分析】（1）直接根据数轴上两点间距离的定义解答即可；
（2）根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可．
（3）根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可．
【详解】（1）解：由数轴可得：点A与点B的距离是2，点C与点B的距离是5，点E与点F的距离是1，点D与点G的距离是5．
点M与点N之间的距离可表示为．
故答案为：2，5，1，5，．
（2）若数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则，
即或，
解得或．
故答案为：5或．
（3）①，即或，
解得或，
故答案为：7或．
②，即或，
解得或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
【变式2】【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点，表示的数分别为，2，则_______，在数轴上可以理解为______；
(2)若，则_________，若，则________；
【应用】
(3)如图，数轴上表示点的点位于和2之间，求的值；
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)9，与的距离
(2)或7.1，
(3)5
(4)有最小值，7
【分析】（1）根据数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为9，根据两点间距离的定义将转化为即可得到结论；
（2）根据数轴上与3.1相距4个单位的点为7.1或，数轴上表示的点和到表示3的点距离相等的点所表示的数为；
（3）根据题意，表示a到的距离加上到2的距离，由于位于和2之间，即和2的两点距离之和，即可得到结论；
（4）结合数轴分析，分析出几何意义，即可得到当时取得最小值，求出具体结果即可．
【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为9，
，即可表示为到的距离，
故答案为：9；与的距离；
（2）解：，
到3.1的距离为4，
，，
，
到的距离和到3的距离相同，
，
故答案为：或7.1；；
（3）解：可表示a到的距离加上到2的距离且位于和2之间，
原式可看作与2之间的距离，
；
（4）解：可表示为到的距离加上到的距离加上到1的距离，
当时，该式取得最小值，此时．
【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键．
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋 苏州期末）若a与5互为相反数，则a的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：若a与5互为相反数，则a的值是﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（2022秋 江阴市期中）对于任意有理数a，下列结论正确的是（　　）
A．|a|是正数 B．﹣a是负数 C．﹣|a|是负数 D．﹣|a|不是正数
【分析】根据绝对值非负数对各选项举反例分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a＝0时|a|＝0，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
B、a是负数时，﹣a是正数，故本选项错误；
C、a＝0时，﹣|a|＝0，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
D、﹣|a|不是正数，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值非负数的性质，举反例排除更简便．
3．（2022秋 泗阳县期中）式子|x﹣2|+1的最小值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】当绝对值有最小值时，式子有最小值，进而得出答案．
【解答】解：当绝对值最小时，式子有最小值，
即|x﹣2|＝0时，式子最小值为0+1＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的性质，任意数的绝对值为非负数，即绝对值最小为0，进而求得式子的最小值．
4．（2023春 泰兴市月考）﹣2023的相反数是（　　）
A．2023 B． C． D．﹣2023
【分析】利用相反数的定义判断．
【解答】解：﹣2023的相反数是2023．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
5．（2022秋 邗江区校级月考）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3
【分析】根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，
∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，
又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
a+b＝1+2＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数互为相反数得出这两个数为零0是解题关键．
二．填空题（共7小题）
6．（2022秋 亭湖区月考）化简符号：﹣{+[﹣（﹣2022）]}＝　﹣2022　．
【分析】多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．据此判断即可．
【解答】解：﹣{+[﹣（﹣2022）]}＝﹣2022．
故答案为：﹣2022．
【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．
7．（2022春 嘉鱼县期末）﹣2π的相反数是 　2π　．
【分析】直接根据相反数的意义进行解答．
【解答】解：∵﹣（﹣2π）＝2π．
∴﹣2π的相反数是2π．
故答案为：2π．
【点评】本题考查了一个数相反数的求法，求一个数的相反数就是在这个数的前面添加一个负号．
8．（2022秋 泗阳县期末）|﹣2023|＝　2023　．
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
【解答】解：﹣2023的相反数是2023，
故|﹣2023|＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
9．（2022秋 江阴市期末）﹣2的绝对值是 　2　．
【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案．
【解答】解：﹣2的绝对值是：2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
10．（2022秋 崇川区月考）式子|x﹣1|+2取最小值为 　2　．
【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．
【解答】解：∵|x﹣1|≥0，其最小值为0，
∴式子|x﹣1|+2取最小值为2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
11．（2022秋 涟水县校级月考）化简﹣（﹣3.6）的结果是 　3.6　．
【分析】根据相反数的定义直接解答即可．
【解答】解：﹣（﹣3.6）＝3.6．
故答案为：3.6．
【点评】本题考查了相反数，解题的关键是熟练掌握相反数的概念．只有符号不同的两个数互为相反数．
12．（2022秋 宝应县期末）﹣|﹣2|＝　﹣2　．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解|﹣2|，然后根据相反数的性质得出结果．
【解答】解：﹣|﹣2|表示﹣2的绝对值的相反数，|﹣2|＝2，所以﹣|﹣2|＝﹣2．
【点评】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
三．解答题（共4小题）
13．（2021秋 相城区校级月考）在数轴上表示下列各数：0，﹣2.5，﹣3，+5，，4.5及它们的相反数．
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0，可写出已知六个数的相反数；再根据一对相反数在数轴上的位置特点，分别在原点的左右两边，并且与原点的距离相等，可把各数与其相反数在数轴上依次表示出来．
【解答】解：0的相反数是0，
﹣2.5的相反数是2.5，
﹣3的相反数是3，
+5的相反数是﹣5，
1的相反数是﹣1，
4.5的相反数是﹣4.5．
在数轴上可表示为：
【点评】本题主要考查了相反数的定义及在数轴上表示数的方法，比较简单，体现了数形结合的思想．
14．（2022秋 射阳县月考）若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．
计算：（1）x，y，z的值．
（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．
【分析】（1）根据非负数的性质“三个非负数相加，和为0，这三个非负数的值都为0”列出三元一次方程组，即可解出x、y、z的值；
（2）将（1）中求出的x、y、z的值分别代入，先根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再运用有理数加法法则计算即可．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得．
即x＝2，y＝﹣3，z＝5；
（2）当x＝2，y＝﹣3，z＝5时，
|x|+|y|﹣|z|＝|2|+|﹣3|﹣|5|＝2+3﹣5＝0，
即|x|+|y|﹣|z|的值是0．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质．
初中阶段有三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．
当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
15．（2022秋 句容市月考）若|x|＝x，并且|x﹣3|＝3﹣x，请求出所有符合条件的整数x的值，并计算这些值的和．
【分析】根据|x|＝x，并且|x﹣3|＝3﹣x，可以求得x的取值范围，从而可以写出所有符合条件的整数x的值，并计算这些值的和．
【解答】解：∵|x|＝x，并且|x﹣3|＝3﹣x，
∴x≥0且x﹣3≤0，
∴0≤x≤3，
∴所有符合条件的整数x的值是0，1，2，3，
∴这些值的和是：0+1+2+3＝6．
【点评】本题考查绝对值，解答本题的关键是明确题意，求出符合条件的x的值．
16．（2022秋 灌南县校级月考）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|．
【分析】先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数的正负，再根据有理数的加减法法则，判断a+c、b﹣c、a﹣b的正负，利用绝对值的意义化去绝对值号，加减得结论．
【解答】解：由数轴知：b＜a＜0＜c，c＞|a|，
∴a+c＞0，b﹣c＜0，a﹣b＞0，
所以|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|
＝a+c﹣b+c﹣a+b
＝2c．
【点评】本题考查了绝对值的意义、有理数的加减法法则及整式的加减．解决本题的关键是利用有理数的加减法法则，判断出a+c、b﹣c、a﹣b的正负．
一、单选题
1．（2022秋·江苏泰州·七年级统考期中）在，，0，2四个数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】C
【分析】根据有理数比较大小即可得到答案．
【详解】解：∵正数大于0，负数小于0，两个负数绝对值大的反而小，
∴，
∴最大的数是2，
故选：C
【点睛】此题考查了有理数比较大小，熟练掌握比较有理数大小的方法是解题的关键．
2．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）如果，则下列判断成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值的知识，掌握去绝对值的方法是解答本题的关键．
3．（2023·江苏·七年级假期作业）2022年卡塔尔世界杯比赛用球由中国制造，如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近．
【详解】解：∵，，，且．
∴ 离标准最近．
故选：C．
【点睛】本题考查了正、负数和绝对值，理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．要注意从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．
4．（2022秋·江苏盐城·七年级校考期中）已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，再根据有理数的运算法则对各选项进行判断即可．
【详解】由图可知，，且，
A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的特点并判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．
5．（2022秋·江苏连云港·七年级统考期中）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
6．（2021秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相反数及绝对值的意义，进行判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算不正确，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了相反数和绝对值，解题的关键是掌握相反数、绝对值的意义．
7．（2022秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）下列各对数中，互为相反数的有 （ ）
与；与；与；与；与
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】各数能化简的先进行化简，然后根据相反数的概念进行判断．
【详解】解：与互为相反数；
∵，，
∴与互为相反数；
∵，，
∴与相等，不互为相反数；
∵，，
∴与相等，不互为相反数；
∵，，
∴与互为相反数；
即互为相反数的有3对．
故选：C．
【点睛】本题考查了化简多重符号，相反数，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答本题的关键．
8．（2022秋·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考阶段练习）下列互为相反数的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与2
【答案】A
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此判断即可．
【详解】解：A、，，∴与互为相反数，故本选项符合题意；
B、，∴与不是相反数，故本选项不符合题意；
C、，∴与不是相反数，故本选项不符合题意；
D．，∴与2不是相反数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，绝对值，掌握相关定义是解答本题的关键．
9．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期末）已知、、的大致位置如图所示：化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴得到、、与0的大小关系，根据有理数加减法法则判断与的符号，去绝对值运算即可得到答案；
【详解】解：由数轴可得，
，
∴，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查根据数轴上点的关系判断式子的符号及去绝对值，解题的关键是正确根据数轴上点的关系判断式子的符号．
10．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）计算的最小值（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】因为x为有理数，所以要分类讨论与的正负，再去掉绝对值符号再计算．
【详解】解：因为为有理数，就是说可以为正数，也可以为负数，也可以为0，所以要分情况讨论．
（1）当时，，，所以；
（2）当时，，，所以；
（3）当时，，，所以；
综上所述，所以的最小值是3，
故选D．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，注意绝对值的运算，应先判断绝对值里面的数是负数还是非负数，再去绝对值，最后进行运算．解答此题时要注意分类讨论不要漏解．
二、填空题
11．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）的绝对值为______，相反数为______．
【答案】 3 3
【分析】负数的绝对值是它的相反数，绝对值相同、符号不同的两个数互为相反数，由此可解．
【详解】解：的绝对值为3，相反数为3．
故答案为：3，3．
【点睛】本题考查绝对值和相反数，解题的关键是掌握绝对值和相反数的概念．
12．（2022秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）已知a 的相反数是最大的负整数，则a＝_____．
【答案】1
【分析】根据有理数的分类得到最大的负整数为﹣1，然后根据相反数的定义确定a的值．
【详解】解：∵最大的负整数为﹣1，
∴a＝﹣（﹣1）＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了有理数，相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
13．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）若，则_______．
【答案】0
【分析】一个数的相反数等于它本身，则这个数为0.
【详解】解：因为与互为相反数，，
所以m的相反数等于它本身，
所以，
故答案为：0.
【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
14．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期中）比较大小：_______（填“”、“”、“”）
【答案】
【分析】先将绝对值及括号去掉，再比较大小即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查有理数的大小比较，绝对值的化简及多符号的化简，熟练掌握绝对值及去括号法则是解题关键．
15．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）若，则的值为_______．
【答案】
【分析】根据绝对值的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，解题的关键是熟知绝对值的定义．
16．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）式子的最小值为 ___________．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负数性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
即式子的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了 绝对值的非负数性质，掌握绝对值的性质是解答本题的关键．
17．（2022秋·江苏·七年级校考周测）数轴上，若点A、B表示互为相反数的两个数，A在B的右侧，并且这两点的距离是8，则点B表示的数是___________．
【答案】
【分析】数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等求出即可．
【详解】解：∵点A，B表示互为相反数的两个数，A在B的右侧，并且这两点的距离为8，
∴这两个数一个为4，另一个则为﹣4，
∵A在B的右侧，
∴点B表示的数为．
故答案为：﹣4．
【点睛】本题主要考查了相反数在数轴上的几何特征，能熟记这个几何特征（数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等）是解此题的关键．
18．（2023秋·江苏扬州·七年级校考期末）在数轴上，点A表示的数是，与点A距离4个单位长度的点所表示的数是_______
【答案】或/或3
【分析】先设与点A距离4个单位长度的点所表示的数为，然后列出方程、解方程即可．
【详解】解：设与点A距离4个单位长度的点所表示的数为，
则，
去掉绝对值得到：或，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了数轴上两点间距离、绝对值的含义与应用，掌握绝对值的意义是解题关键．
三、解答题
19．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期中）（1）在数轴上分别画出表示下列3个数的点：．
（2）有理数x、y在数轴上对应点如图所示：
①在数轴上表示；
②试把这四个数从小到大用“”号连接．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）先将各数化简，然后在数轴上表示即可；
（2）①表示关于原点对称的点，在数轴上表示即可；②根据①中数轴可直接判断各式子的大小．
【详解】解：（1），，，
在数轴上表示如下：
（2）①表示关于原点对称的点，
在数轴上表示如下：
②根据①得：．
【点睛】题目主要考查多重符号的化简及有理数在数轴上的表示与利用数轴比较大小，熟练掌握数轴与有理数的关系是解题关键．
20．（2022秋·江苏扬州·七年级校考期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并将这些数按照从小到大的顺序用“<”号连接起来：
、、0、、
【答案】在数轴上表示各数见解析，
【分析】先化简多重符号，化简绝对值，进而即可在数轴上表示各数，最后根据数轴比较大小即可．
【详解】∵，，，
∴在数轴上画出表示下列各数的点如下，
将这些数按照从小到大的顺序用“<”号连接起来为：．
【点睛】本题考查化简多重符号，化简绝对值，用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小．利用数形结合的思想是解题关键．
21．（2022·江苏·七年级专题练习）数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如下图，线段；线段；线段则：
(1)数轴上点、代表的数分别为和1，则线段______；
(2)数轴上点、代表的数分别为和，则线段______；
(3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为______．
【答案】(1)10
(2)3
(3)7或
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离解答；
（2）根据数轴上两点间的距离解答；
（3）根据题意、结合数轴、方程解答．
【详解】（1）解：∵点代表的数分别为和，
∴线段；
故答案为：；
（2）∵点代表的数分别为和，
∴线段；
故答案为：；
（3）由题可得，，
解得 或，
∴值为或．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离、解绝对值方程等知识，涉及数形结合方法，是重要考点，解题的关键是理解题意，掌握相关知识．
22．（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）数在数轴上对应点如图所示，化简：．
【答案】
【分析】根据数轴得出的符号，再根据绝对值的定义即可化简得出答案．
【详解】解：观察数轴可知：，
，
．
【点睛】此题考查了数轴以及绝对值，观察数轴找出是解答此题的关键．
23．（2022秋·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）有理数,,在数轴上的位置如图所示．
(1)用“＜”连接：,,,,,；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把，，，，，分别表示在数轴上可得答案；
（2）根据数轴确定出，， 的正负，再根据绝对值的性质化简．
【详解】（1）解：如图，
；
（2）解：由（1）得：，，，
．
【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，数轴，绝对值的意义，利用理数，，在数轴上的位置确定，，的符号以及三个数的绝对值的大小是解题的关键．
24．（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）【定义新知】
我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题：
(1)式子在数轴上的意义是 ；
(2)当取最小值时，x可以取整数 ；
(3)最大值为 ；
(4)的最小值为 ；
【解决问题】
(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．
【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数－2的点之间的距离
(2)-1，0，1，2，3
(3)4
(4)7
(5)便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是
【分析】（1）根据题意即可得出结论；
（2）的最小值表示有理数x的点到的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在和3之间的线段上，即可求出结果；
（3）根据的几何意义是表示x的点到的距离减去x到3的距离，可得时取得最大值，
即可求出结果；
（4）的几何意义是表示x的点到的点和到的点和到1的点的距离之和，由题意即可求出结果；
（5）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即，求出最小值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；
故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离．
（2）解：根据题意可得，
的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和，
∴当时，取最小值，
即当x可以取整数，0，1，2，3；
故答案为：，0，1，2，3．
（3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离，
时取得最大值，
的最大值是：．
（4）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示x的点到表示的点和到表示的点和表示1的点的距离之和，
当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即，
当时，的值最小，最小值为7；
故答案为：7．
（5）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处，
根据题意可得，便民服务点到四点的距离为，
当表示x的点在表示的点到表示3的点的线段上，有最小值，即，
当时，
取得最小值，此时，
答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是．
【点睛】本题考查了数轴表示数的意义和绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第05讲 绝对值与相反数（6种题型）
1.理解绝对值的概念及性质，借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点称.
2.会求一个有理数的绝对值及有理数的相反数.
重点：理解绝对值的概念及性质. 会求有理数的相反数.
难点：会求一个有理数的绝对值. 借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.
一、相反数
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
二、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .
要点诠释：
　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.
　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.
三、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
题型一、相反数的概念
例1.下列各组数互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】填空：
(1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 是 的相反数；
(4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数.（6）a和 互为相反数 .
（7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身．
【变式3】下列说法中正确的有( )
①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多
【变式4】已知互为相反数，则 ．
题型二、多重符号的化简
例2.化简下列各数中的符号．
（1） （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）
（5）-[-(+1)] （6）-(-a)
【变式1】（2023·全国·七年级假期作业）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】将下列各数：，表示在数轴上，并用“<”连接各数．
题型三、绝对值的概念
例3．求下列各数的绝对值．
，-0.3，0，
【变式1】计算：（1） （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)|
例4.（2023·浙江·七年级假期作业）的绝对值是______．
【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．
【变式2】已知一个数的绝对值是4，则这个数是　　．
【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为 ．
【变式4】（2022秋·山西临汾·七年级统考阶段练习）
（1）绝对值是1的数有几个？各是什么？
（2）绝对值是0的数有几个？各是什么？
（3）绝对值是的数是否存在？若存在，请写出来．
例5．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．
【变式1】（2023春·天津南开·七年级天津大学附属中学校考开学考试）若，那么_____．
【变式2】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．
题型四、绝对值非负性的应用
例6. 已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．
【变式1】（2022秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知，求x，y的值分别是多少？
【变式2】（1）若，则__；
（2）若，则__；
（3）若，则__，__；
（4）若，则__，__；
（5）若，则__，__；
（6）若，则__，__．
题型五、绝对值的实际应用
例7．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢 请说明理由．
【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：
+0.0018 -0.0023 +0.0025
-0.0015 +0.0012 +0.0010
请用绝对值知识说明：
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻
题型六、数轴与绝对值综合
例8.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_____；
(2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值；
(3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【变式1】探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系：
(1)观察数轴，填空：
点A与点B的距离是　　；点C与点B的距离是　　；
点E与点F的距离是　　；点D与点G的距离是　　．
我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为m，点N对应的数为n，那么点M与点N之间的距离可表示为　　（用m、n表示）．
(2)利用你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则x＝　　．
(3)利用你发现的规律，逆向思维解决下列问题：
①，则x＝　　．
②，则x＝　　．
【变式2】【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点，表示的数分别为，2，则_______，在数轴上可以理解为______；
(2)若，则_________，若，则________；
【应用】
(3)如图，数轴上表示点的点位于和2之间，求的值；
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋 苏州期末）若a与5互为相反数，则a的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．
2．（2022秋 江阴市期中）对于任意有理数a，下列结论正确的是（　　）
A．|a|是正数 B．﹣a是负数 C．﹣|a|是负数 D．﹣|a|不是正数
3．（2022秋 泗阳县期中）式子|x﹣2|+1的最小值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2023春 泰兴市月考）﹣2023的相反数是（　　）
A．2023 B． C． D．﹣2023
5．（2022秋 邗江区校级月考）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3
二．填空题（共7小题）
6．（2022秋 亭湖区月考）化简符号：﹣{+[﹣（﹣2022）]}＝　 　．
7．（2022春 嘉鱼县期末）﹣2π的相反数是 　 　．
8．（2022秋 泗阳县期末）|﹣2023|＝　 　．
9．（2022秋 江阴市期末）﹣2的绝对值是 　 　．
10．（2022秋 崇川区月考）式子|x﹣1|+2取最小值为 　 　．
11．（2022秋 涟水县校级月考）化简﹣（﹣3.6）的结果是 　 　．
12．（2022秋 宝应县期末）﹣|﹣2|＝　 　．
三．解答题（共4小题）
13．（2021秋 相城区校级月考）在数轴上表示下列各数：0，﹣2.5，﹣3，+5，，4.5及它们的相反数．
14．（2022秋 射阳县月考）若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．
计算：（1）x，y，z的值．
（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．
15．（2022秋 句容市月考）若|x|＝x，并且|x﹣3|＝3﹣x，请求出所有符合条件的整数x的值，并计算这些值的和．
16．（2022秋 灌南县校级月考）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|．
一、单选题
1．（2022秋·江苏泰州·七年级统考期中）在，，0，2四个数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
2．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）如果，则下列判断成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏·七年级假期作业）2022年卡塔尔世界杯比赛用球由中国制造，如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·江苏盐城·七年级校考期中）已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·江苏连云港·七年级统考期中）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）下列各对数中，互为相反数的有 （ ）
与；与；与；与；与
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．（2022秋·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考阶段练习）下列互为相反数的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与2
9．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期末）已知、、的大致位置如图所示：化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）计算的最小值（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）的绝对值为______，相反数为______．
12．（2022秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）已知a 的相反数是最大的负整数，则a＝_____．
13．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）若，则_______．
14．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期中）比较大小：_______（填“”、“”、“”）
15．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）若，则的值为_______．
16．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）式子的最小值为 ___________．
17．（2022秋·江苏·七年级校考周测）数轴上，若点A、B表示互为相反数的两个数，A在B的右侧，并且这两点的距离是8，则点B表示的数是___________．
18．（2023秋·江苏扬州·七年级校考期末）在数轴上，点A表示的数是，与点A距离4个单位长度的点所表示的数是_______
三、解答题
19．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期中）（1）在数轴上分别画出表示下列3个数的点：．
（2）有理数x、y在数轴上对应点如图所示：
①在数轴上表示；
②试把这四个数从小到大用“”号连接．
20．（2022秋·江苏扬州·七年级校考期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并将这些数按照从小到大的顺序用“<”号连接起来：
、、0、、
21．（2022·江苏·七年级专题练习）数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如下图，线段；线段；线段则：
(1)数轴上点、代表的数分别为和1，则线段______；
(2)数轴上点、代表的数分别为和，则线段______；
(3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为______．
22．（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）数在数轴上对应点如图所示，化简：．
23．（2022秋·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）有理数,,在数轴上的位置如图所示．
(1)用“＜”连接：,,,,,；
(2)化简：．
24．（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）【定义新知】
我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题：
(1)式子在数轴上的意义是 ；
(2)当取最小值时，x可以取整数 ；
(3)最大值为 ；
(4)的最小值为 ；
【解决问题】
(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．
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