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山东省烟台市2025年中考数学试题
注意事项：
1.本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上.
3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.
5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效.
6.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）
1.的倒数是（ ）
A.3 B. C.-3 D.
2.2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝.下列航天图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.如图是社团小组运用3D打印技术制作的模型，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
5.如图是一款儿童小推车的示意图，若，∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数为（ ）
A.40° B.35° C.30° D.20°
6.求一组数据方差的算式为：.由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A.的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
7.某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为（ ）
A.350元 B.320元 C.270元 D.220元
8.如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ）
A.4 B. C.2 D.
9.如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于（-2，0）和（-1，0）之间，顶点的坐标为.下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则.其中所有正确结论的序号是（ ）
A.①② B.①③ C.①④ D.①③④
10.如图，在中，，，是角平分线.点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且.设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11.2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”.国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上.将数据56350000用科学记数法表示为________.
12.实数的整数部分为________.
13.因式分解：________.
14.如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为______.
15.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为（4，3）.以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______.
16.如图，在菱形中，，对角线.点M从点A出发，沿方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P.在此过程中，点P的运动路径长为_________m.
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17.（本题满分6分）
先化简，再求值：，其中.
18.（本题满分7分）
2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕.某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力.活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10.
②乙社团的平均成绩为（分）.
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动.请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率.
19.（本题满分7分）
如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题：
（1）利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若交于点，，，求的长.
20.（本题满分8分）
2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
（1）求甲、乙两种路灯的单价；
（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.
21.（本题满分9分）
【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范.
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）.
22.（本题满分10分）
如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接.
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求的长及的半径.
23.（本题满分11分）
【问题呈现】
如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系.
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系；
思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系.
（1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________；
【类比探究】
（2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到0.1，参考数据：，，，）；
【拓展延伸】
（3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）.
24.（本题满分14分）
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形 若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转90°得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值.
2025年烟台市初中学业水平考试
数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）
1．．
2．．
3．．
4．．
5．．
6．．
7．．
8．．
9．．
10．．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11.
12.
13.
14.
15.##
16.
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17.原式
．
，
原式．
18.（1）由统计数据知，甲社团满分人数为3人，乙社团7分的有12人，补全图形如下：
（2）甲社团成绩的中位数为（分，乙社团成绩的中位数为（分，
所以成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前；
（3）男生用表示，两名女生分别用和表示．
由图可知共有6种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到一名男生和一名女生有4种结果，
所以所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为．
19.解：（1）如图，△即为所求作的三角形；
由作图可得：，，，、
△△，
△即为所求作的三角形；
（2）如图，矩形，
，，，，
，
，
，
，设，则，，
解得：，
．
20.解：（1）设甲种路灯的单价是元，乙种路灯的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元；
（2）设购买盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费元，则购买盏乙种路灯，
根据题意得：，
，
随的增大而减小，
又，
，
当时，取得最小值，此时（盏．
答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少．
21.解：（1）如图，过点作于点，
设，
依题意，，，，
，，
，
在△中，，
，
解得：，
渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为15海里；
（2）在△中，，，
，
，
小时分钟，
从，经过142.5分钟是，在之前到达，
不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头．
22.【解答】（1）证明：作直径，连接，如图，
，
，
，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，
即，
，
为直径，
是的切线；
（2）解：，
，
，，
△△，
，
即，
解得，
；
，，
，
在△中，，，
，
为直径，
，
，，
△△，
，
即，
解得
的半径为．
23.解：（1），
如图，在射线上截取，连接，
，，
，
又四边形是正方形，
，
△△，
，，
又四边形是正方形，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
故答案为：；
（2）正五边形的一个内角为，
如图，在射线上截取，连接，过点作于点，
同理可得△△，
，，
，
，，
，
，
；
（3）如图，在射线上截取，连接过点作于点，
同理可得，
，
，
，
，
，即，
故答案为：．
24.解：（1）抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，
，，
，
解得：，
抛物线表达式为；
（2）①对于抛物线表达式，
当，，
，
设直线表达式为：，
则，
解得：，
直线，
，
，，
，
；
②存在，
，而，
当时，，
解得：或（舍，
，
，
当时，，
整理得：，
解得：或（舍，
，
，
当时，，
整理得：，
解得：或（舍或（舍，
，
，
综上：△是等腰三角形时，或或；
（3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，
由旋转得：，，
，
，
，
，
△△，
，
点在线段上运动（不包括端点），
当时，最小，
，，，
△△，
，
，
当时，
，
，
线段长度的最小值．

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