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福建省厦门双十中学2026届高二下第二次月考
数 学 试 题
本试卷共4页。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数，则（ ）
A．1 B． C． D．2
2．已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ）
A． B． C．16 D．9
3．展开式中项系数为（ ）
A．32 B．64 C．96 D．128
4．10名同学合影，站成了前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．168 B．630 C．252 D．420
5．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，若是以为直角的等腰直角三角形，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
6．在长方体中，已知，，点是四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离为1，则点的轨迹的长度为（ ）
A． B． C．1 D．
7．已知数列是公比为（且）的等比数列，点在圆：上，且满足，若是圆的切线，则（ ）
A． B． C．2 D．3
8．函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则＝ （ ）
A． B．－ C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．对于事件A，B，若，且，，则
B．若随机变量，，则
C．若甲乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强
D．在一元线性回归模型中，若，则两个变量正相关
10．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的一动点，且满足平面，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹是一条长为的线段
B．平面截正方体所得截面的面积为
C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D．过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为
11．已知函数的定义域为，当时，取得极大值；当时取极小值，且满足，，实数可能取值（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了组观察值．计算知，，，，则关于的经验线性回归方程是 ．
附：，
已知为等差数列的前项和，若，则 .
14．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上位于第一象限的动点，延长与交于点，若时，，则当时， ．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本小题13分)如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形， ，且 底面 ，点 分别在棱 上.
(1)若 是 的中点，证明: ；
(2)若 平面 ，求二面角 的余弦值.
16. (本小题15分)已知数列的首项，．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)令，求数列的最大项．
17. (本小题15分)为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组在本校某年级学生中随机抽取了200名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表：
数学成绩总评优秀的人数 数学成绩总评非优秀的人数 合计
每天都整理数学错题的人数 90
不是每天都整理数学错题的人数 40 100
合计 200
(1)完成上述样本数据的列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析学生的数学成绩总评优秀是否与每天都整理数学错题有关；
(2)按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取5名学生，再从这5名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中数学成绩总评非优秀的人数为，求的分布列和期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18. (本小题17分)已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)记的极小值为，证明：
19. (本小题17分)已知点，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若是椭圆上的一个动点，点经过第次变动（各次变动之间相互独立）后落在的位置（异于椭圆的左、右顶点，且时，允许），点是的内心（即内切圆的圆心），满足，其中，为坐标原点.
①证明：；
②若，且对任意都有的面积为，求对任意都有的概率.
试卷第1页，共3页
福建省厦门双十中学2026届高二下第二次月考
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．C 3．D 4．D 5．C 6．D 7．D 8．B
二、多选题：本题共3小题，每小题8分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．ACD 10．ACD 11．ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．8
第7题详解如图，设点分别为圆的圆心，依题意不妨设，
由题意知，因为是圆的切线，
根据勾股定理可得，，
所以，因为点在圆上,
故可设点，又，，
代入化简得，整理得，
则，解得或（舍去）.
第8题解析由已知可得，，即，
即.
令，则，
当且仅当，即时等号成立.所以恒成立，所以在上单调递增.
所以有可得，，则，所以.
第14题解析解法一：因为当时，可设，代入，
得，解得（负值舍去），则，
当时，可得直线的方程为，与联立得，可设，，
所以，，则由抛物线的定义可得，
，所以．
解法二 因为当时，可设，代入，
得，解得（负值舍去），则，
当时，由抛物线中焦半径与直线倾斜角的关系可得，
，即，，所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 1分
则，，，，
设，其中，， 2分
若是的中点，则，，
，∴， 3分
∴，即． 4分
（2）因为，，，
，则，故，
设，其中，， 5分
由于平面 的法向量为，
故，故，因此, 6分
则，,
设平面的一个法向量为，
故，取，则， 8分
由于平面的一个法向量为 9分
故, 11分
结合图形可知二面角的平面角为锐角， 12分
∴二面角的余弦值为． 13分
16.（1）因为，所以， 2分
又，所以， 3分
所以是以为首项，为公比的等比数列； 4分
（2）由（1）可得， 5分
所以， 6分
所以
7分
. 9分
（3）由（2）可得， 10分
则， 12分
所以当时，当时， 14分
即，
所以数列的最大项为； 15分
17.（1）
数学成绩总评优秀的人数 数学成绩总评非优秀的人数 合计
每天都整理数学错题的人数 90 10 100
不是每天都整理数学错题的人数 60 40 100
合计 150 50 200
完善列联表，如上 1分
零假设为：：学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题相互独立，即学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关， 2分
根据列联表数据计算可得， 4分
根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关，此推断犯错误的概率不大于0.001． 6分
（2）由分层随机抽样可知，抽取的5名学生中有2名数学成绩总评非优秀． 7分
所有可能的取值为0，1，2， 8分
知，，， 11分
所以的分布列为：
0 1 2
13分
故． 15分
（1）当时，，求导得， 1分
则，而， 2分
所以曲线在点处的切线方程的为. 4分
（2）函数的定义域为，求导得， 5分
当时，，函数在上单调递增； 6分
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，上单调递增， 8分
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，上单调递增. 9分
（3）由（2）知，若有极小值，则，极小值， 10分
令函数，求导得， 11分
函数在上单调递增，且， 13分
则当时，，当时，， 14分
函数在上单调递减，上单调递增，则，即， 16分
所以. 17分
19.（1）由题可知，，解得， ，， 2分
所以椭圆的标准方程为； 3分
（2）①由内心定义可知内切圆半径， 4分
对任意，， 5分
即， 6分
由于点和点在轴的同一侧，故，同号，
故，所以， 7分
②由①可知，，因为，所以， 8分
对任意，在中，设与轴的相切于点，
则，同理， 9分
，
，
结合，故，又，
于是，结合，代入得， 11分
又，取等条件为，
故点只能在椭圆的上、下顶点位置. 12分
当时，表示点中恰有个在上顶点，恰有个在下顶点，故总的情况有种. 13分
对任意都有表明，任意前个点中，上顶点个数不少于下顶点个数.
将前个点中上顶点的个数减去下顶点的个数记作，将所有的点连接起来，形成一条折线，
因为每次要么减少，要么增加，所以折线相当于从出发，
每次沿向量向右上方移动，或者沿向量向右下方移动，最终到结束. 14分
目标事件为折线始终落在轴及轴上方，其对立事件为折线与有公共点.
考虑对立事件，若折线与有公共点，记第一个公共点为，
则点左侧的折线均在上方，
将这部分折线关于对称到下方，得到点到点的新折线，且与总是一一对应，种数相同.
对于，共移动次，其中向右上方移动次，向右下方移动次，共有种. 16分
故概率为. 17分

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