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2024-2025学年北京市西城区第十五中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，且，则是
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.已知，且是第四象限角，那么的值是( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.已知向量，且，则
A. B. C. D.
5.已知，，，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.下列函数中，最小正周期为的奇函数是( )
A. B.
C. D.
7.若，则
A. B. C. D.
8.在中，，则( )
A. B. C. D.
9.已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象( )
A. 关于直线对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于点对称
10.已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则 ．
12.已知，则 ．
13.已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为，则 ； ．
14.在中，，．
若，则 ；
面积的最大值为 ．
15.已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论：
函数的最小正周期是；
函数在区间上单调递增；
函数的图象过点；
直线为函数的图象的一条对称轴．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知均为锐角，，．
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知向量，设函数．
求的最小正周期；
求在上的零点．
18.本小题分
在中，．
求的值；
若，且的面积，求的值．
19.本小题分
已知函数，函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，求：
的值及的单调递增区间；
在区间上的最大值和最小值．
20.本小题分
在中，．
求；
若的面积为，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21.本小题分
设为正整数，若满足：；对于，均有；则称具有性质对于和，定义集合．
设，若具有性质，写出一个及相应的；
设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13. ；
14. ；
15.
16.因为为锐角，，又因为，所以，
所以因此；
因为为锐角，，，
所以，同理，又因为，，
所以，所以，
所以．

17.
最小正周期．
所以最小正周期为．
方法一：，当时，，
令，
则或，
所以或
所以函数在上的零点为和
方法二：
令，则，
所以，
因为，所以或
所以函数在上的零点为和．

18.解：Ⅰ在中，
因为，
所以由余弦定理得：．
因为，
所以，
Ⅱ因为，
由正弦定理得，
即．
又因为的面积，
即，
所以，
故．
19.
．
因为函数图象的相邻两个对称中心间的距离为，
所以，故，
因为，所以，
因为，
令，
即，
所以的单调递增区间为．
方法一：
因为，所以，
所以，
当，即时，取最大值，最大值为；
当，即时，取最小值，最小值为
方法二：
由知的单调递增区间为，
同理的单调递减区间为，
又因为，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以的最大值为，
又有，所以的最小值为．

20.解：因为，由正弦定理得，，
又，所以，得到，
又，所以，
又，所以，得到，
所以．
选条件
由知，，根据正弦定理知，，即，
所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件．
选条件
因为，所以，
又，得到，代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，
所以．
选条件
因为，所以，
由，得到，
又，由知，
所以
又由正弦定理得，，得到，
代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，
所以．
21.，；，；，；；，．
假设存在和均具有性质，且，
则，
因为与同奇同偶，所以与同奇同偶，
又因为为奇数，为偶数，
这与与同奇同偶矛盾，所以假设不成立．
综上所述：不存在具有性质的和，满足．
不妨设与构成一个数表，
交换数表中的两行，可得数表，
调整数表各列的顺序，使第一行变为，
设第二行变为，
令，则具有性质，且，
假设与相同，
则，
不妨设，，则有，故，
因为，所以，
因为，所以，与矛盾．
故对于具有性质的，若具有性质，且，则存在一个具有性质的，使得，且与不同，并且由的构造过程可以知道，当，确定时，唯一确定，由也仅能构造出．
所以满足的有偶数个．

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