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2024-2025学年北京市通州区高一下学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
2.如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和大于的概率为( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，，则“或”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则( )
A. ，，三点共线 B. ，，三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
8.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为、；红球有两个，编号为，从盒中不放回的依次取出两个球，表示事件“第一次取出的是红球”，表示事件“取出的两球同色”，表示事件“取出的两球不同色”，则下列说法正确的是( )
A. 与互斥 B. 与互斥 C. D.
9.在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的个数为( )
若，则一定为等腰三角形
若，则一定为锐角三角形
若，，则面积的最大值为
A. B. C. D.
10.在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则 ．
12.已知复数，，若为纯虚数，则实数 ．
13.为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙两名同学回答一道有关团史的问题，每名同学回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、乙两人都回答正确的概率是若甲、乙同学都回答这个问题，则乙回答正确的概率为 ；甲、乙两名同学中至少有名同学回答正确的概率为 ．
14.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．若，，则向量在上的投影向量的模为 ；设，，若，则 ．
15.在锐角中，，，且，若点为平面内一点，且，给出下列四个结论：
；
的面积为；
的最小值为；
若，则的值为或．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，，，所对的边分别为，，，已知，．
若，求及的面积；
若，求．
17.本小题分
已知平面向量，，其中，，且与的夹角为．
求的值；
求的值；
若向量与互相垂直，求实数的个数．
18.本小题分
甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，甲、乙射击中靶与否互不影响．甲、乙每次射击中靶与否也互不影响．
甲、乙各射击次，两人都脱靶的概率；
甲射击次恰有次中靶的概率；
甲、乙各射击次，记“次射击中至少有次中靶”为事件，记“次射击中至多有次中靶”为事件判断与是否相互独立．结论不要求证明
19.本小题分
设复数．
若，求、的值．
若与复数是互为共轭复数，求；
当时，若，求．
20.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，．
再从下面给出的条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积；
条件：；
条件：；
条件：．
若，求周长的取值范围．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21.本小题分
如图，已知正方形的边长为，圆内切于正方形，点，为切点，点为劣弧上的一点，过作，垂足为，过作，交于，交圆于，设为．
若，求的值；
设，．
求的最小值；
求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. ；
14.
15.
16.因为，，所以，
由余弦定理可得，
所以，所以，
所以的面积为；
由，可得，
又因为，所以，所以，
又，所以或．
17.由，，且与的夹角为，得，
所以．
．
由向量与互相垂直，
得，
解得，所以的值有个．
18.设甲次中靶为事件，乙次中靶为事件，
设甲次脱靶为事件，乙次脱靶为事件，
两人都脱靶为事件，且相互独立，
由题意得，，
则甲次脱靶的概率为，
乙次脱靶的概率为，
故两人都脱靶的概率为．
由题意得甲射击次恰有次中靶可以分类如下，
第一次中靶，第二次脱靶，第一次脱靶，第二次中靶，
而第一次中靶，第二次脱靶的概率为，
第一次脱靶，第二次中靶的概率为，
由分类加法计数原理得恰有次中靶的概率为．
不独立，证明如下，
由题意得记“次射击中至少有次中靶”为事件，
则事件的对立事件为“次射击中全部脱靶”，
得到，
故，
而记“次射击中至多有次中靶”为事件，
可分类为次射击中全部脱靶，甲次中靶，乙全部脱靶或甲全部脱靶，乙次中靶，
而次射击中全部脱靶的概率为，
甲次中靶，乙全部脱靶的概率为，
乙次中靶，甲全部脱靶的概率为，
由分类加法计数原理得，
而表示次射击中恰好次中靶，可分类如下，
为甲次中靶，乙全部脱靶或甲全部脱靶，乙次中靶，
得到，
则，不满足独立事件的定义，故与不独立．
19.因为，故，．
因为与复数是互为共轭复数，则，故．
因为，，
则，
故，
因为，故，所以．
20.选条件：，由正弦定理得，
即，解得，
故无解，所以不存在；
选条件：，由余弦定理得，
则，解得或，
当时，；
当时，．
选条件：，则，
由正弦定理得，则，
又
，
所以．
由，则，则为钝角，
因为，所以，
又，
则的周长为
，
因为，所以，则，
所以，
即周长的取值范围为．
21.
因为正方形边长为，则内切圆的半径为，如图所示，以圆心为原点，以为轴，以为轴，建立平面直角坐标系．
当时，则，
可得，则．
如建立坐标系，则此时，
可得，
可知，．
，
由辅助角公式可得，
因为点为劣弧上的一点，所以，即，则，所以的最小值为．
，
令，变形得，当时，，可得，
可得，，解得，换元可得，
对于二次函数是开口向上，对称轴为的图像，在上的最大值为时的函数值，此时，此时的最大值为．

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