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2024-2025 学年天津市河北区高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列说法正确的是( )
A.两个单位向量一定相等
B.若 与 不共线，则 与 都是非零向量
C.共线的单位向量必相等
D.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
2.已知 为虚数单位，如果复数 满足 3 = 4 ，则 的虚部为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 4
3.在空间中，若两条直线 与 没有公共点，则 与 ( )
A.相交 B.平行
C.是异面直线 D.可能平行，也可能是异面直线
4.已知向量 = (3, 6)，且点 (2, 4)，则点 的坐标为( )
A. ( 1,2) B. (1, 2) C. (5, 10) D. ( 5,10)
5.如图所示，△ ′ ′ ′表示水平放置的△ 的直观图，则△
的面积是( )
A. 2 2
B. 4
C. 2
D. 2
6.在△ 中， = 1， = 4， = 21，则△ 的最大内角为( )
A. B. 2 3 3 C.
3 5
4 D. 6
7.如图所示，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，则三棱锥 1 的体积是( )
A. 16 B.
1 1
3 C. 2 D. 1
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8.如图，在复平面内，复数 1， 2对应的点分别为 1， 2，则| 1 2|的值是( )
A. 5
B. 1
C. 5
D. 3
2 2 2
9. 中， 、 、 分别是内角 、 、 的对边，若 =
+ ( 且 + ) 4 = 0，则 | | | |
的形状是( )
A. 有一个角是6的等腰三角形 B.等边三角形
C.三边均不相等的直角三角形 D.等腰直角三角形
10.如图，测量河对岸的塔高 时，选取与塔底 在同一水平面内的两个观测点 与 ， 垂直于平面 .
现测得∠ = 15°，∠ = 120°， = 20 ，并在点 测得塔顶 的仰角为 45°，则塔高 =( )
A. 20 63
B. 10 3
C. 10 6
D. 20 3
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11 5.已知 是虚数单位，复数 2的共轭复数是______．
12.已知△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 = 4 3， = 12， = 60°，则 = ______．
13.一个底面积为 1 的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为 20 ，则该四棱柱的高为______．
14.已知 ， 是夹角为 120°的两个单位向量，若向量 + 在 上的投影向量为 2 ，则实数 = ______．
15.在平面四边形 中， = = = = 1, = 1，则 2 = ；
= ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 45 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 10 分)
已知复数 = ( 2 5 + 6) + ( 2 3 ) ，其中 ∈ ．
(Ⅰ)若 是实数，求实数 的值；
(Ⅱ)若 是纯虚数，求实数 的值；
(Ⅲ)若 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
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17.(本小题 11 分)
已知向量 = ( 3,1)， = (1, 2)， = + ，其中 ∈ ．
(Ⅰ)求 及向量 ， 夹角的余弦值；
(Ⅱ)若向量 与向量 2 垂直，求实数 的值；
(Ⅲ)若向量 = (1, 1)，且向量 与向量 + 平行，求实数 的值．
18.(本小题 12 分)
如图，在△ 中，| | = 4, | | = 2， 为 边上一点，且 = 2 ．
(1)设 = + ，求实数 、 的值；
(2)若 , = 3，求
的值．
19.(本小题 12 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 2 7, = 2, = 3．
(1)求 的值；
(2)求 sin ；
(3)求 sin( 2 )的值
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 2 +
12.30°
13.3 2
14.52
15.1 1 + 3； 2
16.解：复数 = ( 2 5 + 6) + ( 2 3 ) ，其中 ∈ ．
(Ⅰ)若 是实数，则 2 3 = 0，解得 = 0 或 = 3；
2
(Ⅱ)若 是纯虚数，则 5 + 6 = 02 ，解得 = 2； 3 ≠ 0
2
(Ⅲ)若 在复平面内对应的点在第四象限，则 5 + 6 > 02 ，解得 0 < < 2， 3 < 0
故实数 的取值范围为(0,2)．
17.解：(Ⅰ)由已知可得， = 3 2 = 5，
又| | = 10，| | = 5，

所以 cos , = = 5 = 2；
| || | 10× 5 2
(Ⅱ)由已知可得，2 = 2( 3,1) (1, 2) = ( 7,4)， = + = ( 3,1) + ( , 2 ) = ( 3,
2 + 1)，
又向量 与 2 垂直，
所以 (2 ) = 0，
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即 7( 3) + 4( 2 + 1) = 15 + 25 = 0，
解得 = 53；
(Ⅲ)由已知可得， + = (1, 2) + (1, 1) = ( + 1, 2 1)，
又 与向量 + 平行， = ( 3, 2 + 1)，
所以( 3)( 2 1) ( 2 + 1)( + 1) = 0，
解得 = 13．
18.解：(1)已知在△ 中， 为 边上一点，且 = 2 ，
则 = +
=
2
+ 3
=
2
+ 3 (
)
= 23
+ 1 3
，
又 = + ，
则 = 2 13， = 3；
(2)在△ 中，| | = 4, | | = 2 ， , = 3，
1
则 = 4 × 2 × 2 = 4，
则 = ( 2 + 1 3 3 ) (
)
1
=
2

2 1
+
2
3 3 3
1 2 1
= 3 × 4 3 × 16 + 3 × 4
= 8．
19.解：(1)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
整理得 2 2 24 = 0 ，解得 = 6 ．
6× 3
(2) sin 由正弦定理得 sin = sin , sin =
2
= 2 7 =
3 3
2 7 =
3 21
14 ．
2 2
(3) cos = +
2
= 28+4 36由余弦定理得 2 2×2 7×2 =
7
14 ，
所以 sin2 = 2sin cos = 2 × 3 21 7 3 314 × 14 = 14 ，
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2
cos2 = 2cos2 1 = 2 × 7 1314 1 = 14 ．
所以 sin( 2 ) = sin cos2 cos sin2
= 3 × 13 1 3 3 5 32 14 2 × 14 = 14 ．
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