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2024-2025 学年四川省眉山市高一（上）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = {2,3,5,6}， = {3,4,5}，则 ∪ =( )
A. {3,5} B. {2,3,4} C. {3,4,6} D. {2,3,4,5,6}
2.命题“ ∈ ， 2 + 2 + 1 ≥ 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 + 2 + 1 < 0 B. ， 2 + 2 + 1 < 0
C. ， 2 + 2 + 1 < 0 D. ∈ ， 2 + 2 + 1 < 0
3.已知角 的终边上一点 ( 4,3)，则 =( )
A. 3 B. 3 C. 4 45 5 5 D. 5
4.函数 ( ) = + 2 6 的零点所在的区间是( )
A. (3,4) B. (2,3) C. (1,2) D. (0,1)

5 ( ) = 2 + 1, ≤ 0.已知 1 3 , > 0
，则 [ (9)] =( )
A. 1 B. 1 52 C. 4 D.
3
2
6 2.函数 = lg | |的大致图象是下列中的( )
A. B.
C. D.
7.确保农副产品的安全，防止农药残留超标影响公众健康，我国制定了 79 种农药在 32 种(类)农副产品中
的 197 项农药最高残留限量( )国家标准.百菌清是农药中常用的一种杀菌剂，其最高残留限量为 1 /
.一果园检测发现，某次喷洒农药后，粑粑柑上的百菌清残留量达到了 / ，并以每天 %的速度降解，
直至 20 天后残留量为原来的 1%.若在该次喷洒农药的 10 天后，百菌清残留量为 0，则在该次喷洒农药的
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( ) 1天后，百菌清残留量约为2 0．
(参考数据： 2 ≈ 0.30， 3 ≈ 0.48)
A. 12 B. 13 C. 15 D. 16
8 2.函数 ( ) = 2 +1， ( ) = + 3，若 1 ∈ [1,2]， 2 ∈ [0,1]，使得 ( 1) = ( 2)，则实数 的取值
范围是( )
A. [ 52 , 2 2] B. ( ∞,2] ∪ [3, + ∞)
C. [2,2 2] D. ( ∞, 52 ] ∪ [3, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A.若 > ，则 3 > 3 B.若 > ，且 ≠ 0， ≠ 0 1 1，则 <
C.若 < < 0，则 2 > > 2 D. < < 0 1 < 1若 ，则 2 2
10.下列说法正确的是( )
A.已知关于 的不等式 2 + + > 0 的解集为{ | 2 < < 3}，则不等式 2 + < 0 的解集为
{ | < 1 13或 > 2 }
B.已知 ( + 2) = + 2 ，则 ( )的解析式为 ( ) = 2 2 ( ≥ 2)
C.已知 = 3 +2 5，则 sin cos = 2
D.已知 + = 15，0 < < ，则 =±
7
5
2
11 + 2 , ≥ 0.已知函数 ( ) = |2 + 4| 2, < 0，说法正确的是( )
A.对 1 ∈ (0,2)， 2 ∈ ( 2,0)，都有| ( 1) ( 2)| < 2
B.若 1， 2 ∈ (0,1)且 ≠ ，则 (
1+ 2 ) < ( 1)+ ( 2)1 2 2 2
C.若 ( ) = 4有 4 个不相等的实根 1， 2， 3， 4，则 1 + 2 + 3 + 4的范围是( 2, 3 )
D.函数 = ( ( )) 1 有 4 个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.函数 ( ) = 2 的定义域为______．
13.若函数 ( ) = ln( 2 + 1)的值域为 ，则实数 的取值范围为______．
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14.互为反函数的两个函数图象关于直线 = 对称，如：指数函数 = 10 和对数函数 = 的图象关于直
线 = 对称. (1)已知函数 = ( )和函数 = ( )互为反函数，点 (2, )在 = ( )的图象上，则 ( ) =
______．
(2) 3 若函数 ( ) = + + 与函数 ( ) = 1 + 2 +1互为反函数，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
sin( )cos(3 2 + )(1)化简： sin( + ) ；
1
(2)求值：10 3 ( 2 + 5) 0.027 3．
16.(本小题 15 分)
已知集合 = {1,3, 2}， = {1, + 2}， = { | 1 ≤ ≤ 2 + 3}，且 ∩ = {1, 2}.
(1)求实数 的值；
(2)若 = { | ≤ ≤ 2 }， ∪ = ，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
随着生活水平的提高，单人写真、旅行跟拍、家庭摄影等逐渐成为了平价且普遍的消费.某大型摄影工作室
现计划投入 80 万元升级拍摄设备，同时由于需要更新道具、租用场地、招收员工、提升技术等，每年额外
还有一笔持续的支出.结合经验，该工作室预测未来五年内的收支情况为：除升级设备的花费外，前 ( ∈ )
年总共的额外持续支出约为 10 2 10 + 10 万元，且平均每年的营业额约 80 万元．
(1)求工作室未来五年内的前 年的总利润 ( )(单位：万元)；
(2)在未来五年内，对于部分摄影设备，该工作室有两种决策方案．
方案一：当总利润达到最大值时，将这些摄影设备以 52 万元的价格售出；
方案二：当平均年利润达到最大值时，将这些摄影设备以 72 万元的价格售出．
假设设备均能按预期价格顺利售出，该工作室应采取哪种方案？具体如何决策？说明理由．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3(9 + 1)为偶函数．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)设 ( ) = 3( 3 )，若函数 = ( )与函数 ( )的图象有且仅有一个公共点，求实数 的值．
19.(本小题 17 分)
+
已知函数 ( )的定义域为( 1,1)，对任意 ， ∈ ( 1,1)，都有 ( ) + ( ) = ( 1+ )，并满足对任意 1，
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∈ ( 1,0] ( ) ( ，当 ≠ 时，都有 1 2)2 1 2 > 0．2 1
(1)判断 ( )的奇偶性并给出证明；
(2)解不等式： (2 ) + ( 14 ) > 0；
(3)若 ∈ ( 1,1)， {| ( )|, 2 + | | 19 } ≤ 0( { , }表示 ， 中较小的值)，求实数 的取值范
围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.[1,2) ∪ (2, + ∞)
13.( ∞, 2] ∪ [2, + ∞)
14.2 6
3
15. sin( )cos( + )解：(1) 2sin( + )
= ( ) sin
= ；
(2)原式= 3 1 103
= 43．
16.解：(1)因为 = {1,3, 2}， = {1, + 2}， ∩ = {1, 2}，
则 + 2 = 2，解得 = 2 或 = 1，
当 = 2 时， = {1,3,4}， = {1,4}，符合题意；
当 = 1 时， = {1,3,1}，与集合元素的互异性矛盾，
故 = 2；
(2) = { | 1 ≤ ≤ 2 + 3}， = { | ≤ ≤ 2 } = { | 2 ≤ ≤ 4}，
若 ∪ = ，则 ，
当 = 时， 1 > 2 + 3，即 < 4，
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1 ≤ 2 + 3
当 ≠ 时， 1 ≥ 2 ，解得 1 ≤ ≤ 12，
2 + 3 ≤ 4
1
综上， 的范围为{ | < 4 或 1 ≤ ≤ 2 }.
17.解：(1)由题意可知， ( ) = 80 80 (10 2 10 + 10) = 10 2 + 90 90(1 ≤ ≤ 5，且 ∈ )；
(2)方案一，总利润 ( ) = 10 2 + 90 90，对称轴为 = 90 92×( 10) = 2，
又因为 1 ≤ ≤ 5，且 ∈ ，
所以当 = 4 或 5 时， ( )取得最大值 110 万元，
此时售出设备后总收益为 110 + 52 = 162 万元，
( ) 90 90 90
方案二，平均年利润为 = 10 + 90 = (10 + ) + 90 ≤ 2 10 + 90 = 30，
当且仅当 10 = 90 ，即 = 3 时，等号成立，
此时售出设备后总收益为 3 × 30 + 72 = 162 万元，
两种方案的总收益相同，但是方案二所需时间较短，
所以该工作室应采取方案二．
18.解：因为 ( ) = 3(9 + 1)， ∈ ，且为偶函数，
所以 ( ) = log (9 3 + 1) = [log3(9 + 1) 2 ] = ( 2) log (9 3 + 1)，
所以 log3(9 + 1) = ( 2) log3(9 + 1)，
解得 = 1，
所以 ( ) = 3(9 + 1)；
(2) = ( ) = (9 3 + 1)，
由题意可得 3( 3 ) = 3(9 + 1)只有一个解，
即 3 = 9 + 1 只有一个解，
又因为3 > 0，
1
所以 = 3 + 3 只有一个解，
又因为3 + 1 13 ≥ 2 3 3 = 2，
1
当且仅当3 = 3 ，即 = 0 时，等号成立，
所以 = 2．
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19.解：(1) ( )为奇函数，
证明： ( )的定义域为( 1,1)，关于原点对称，
又由对任意 ， ∈ ( 1,1)，都有 ( ) + ( ) = ( + 1+ )，
令 = = 0 可得： (0) + (0) = 2 (0)，即 (0) = 0，
令 = ， = ，有 ( ) + ( ) = (0) = 0，
故 ( )为奇函数；
(2) ∈ ( 1,0] ≠ ( 1) ( 2) > 0 ( 1) ( 2)根据题意，对任意 1， 2 ，当 1 2时，都有 ，即 < 0，则 ( )在( 1,0]2 1 1 2
上为减函数，
而 ( )为奇函数，
则 ( )在( 1,1)上为减函数，
对于 (2 ) + ( 14 ) > 0，则有 (2 ) > (
1
4 ) = ( +
1
4 )，
1 1 1 1 1
故 1 < 2 < + 4 < 1，解可得： 2 < < 4，即不等式的解集为( 2 , 4 )；
(3)根据题意， ( )为( 1,1)上的奇函数，则 (0) = 0，则有| ( )| ≥ 0，
若 {| ( )|, 2 + | | 19 } ≤ 0，则在区间( 1,0)和(0,1)上，
2 + | | 19 ≤ 0 恒成立，
对于 2 + | | 19 ≤ 0，变形可得 | | ≤
2 + 19，即 ≤ | | +
1
9| |，
设 = | |，由于 ∈ ( 1,0) ∪ (0,1)，则 ∈ (0,1)，
1 1 1 2 1 1
又由| | + 9| | = + 9 ≥ 2 × 9 = 3，当且仅当 = 3即 =± 3时等号成立，
故有 ≤ 2 23，即 的取值范围为( ∞, 3 ].
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