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4.2《角》小节复习题
【题型1 角的概念理解】
1.下列各图中有关角的表示正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.下列图形中，能表示的是（ ）
A． B．
C． D．
3.如图，则图中共有 个角．
4.如图，下列说法正确的是（ ）

A． B．图中只有两个角，即和
C．与表示同一个角 D．与表示同一个角
【题型2 画特殊角】
1.借助一副三角尺的拼摆，你能画出的角吗？呢？你还能画出哪些角？这些角有什么共同特征？
2.下列各度数的角，不能借助一副三角尺画出的是（ ）
A． B． C． D．
3.借助一副三角尺画出15°角和105°角．
4.如图①、如图②，是一副三角尺．借助三角尺可以直接画出、、、的角．
(1)如图③、如图④，借助三角尺，也可以画出、的角，请你试一试，还可以画出哪些钝角，直接写在后面的横线上________；（写4个即可）
(2)将两个三角板的直角顶点O重合放在桌面上，将绕O点旋转，探究在旋转过程中，与的和是否为固定值？选择图⑤或图⑥说明理由（选择一种说明即可）．
【题型3 角的单位与角度制】
1.已知∠A=25.12°，∠B=25°12′，∠C=1528′，那么它们的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2.计算：
(1)45°10′﹣21°35′20′′；
(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；
(3)42°16′+18°23′×2．
3.下面等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4.若∠AOB=，∠AOC=，则∠BOC= .
【题型4 方向角】
1.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）． 请你在图中表示下列方向角（可以用量角器，不写画法）．
(1)射线表示北偏西方向；
(2)射线表示南偏东方向；
(3)求的度数（小于平角）．
2.小红从O点出发向北偏西32°17＇方向走到A点，小明从O点出发向南偏西54°28＇方向走到B点，则AOB的度数是 ．
3.如图，小明从处沿北偏东方向行走至点处，又从点处沿南偏东方向行走至点处，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.如图，的方向是北偏东，的方向时北偏西．

（1）若，则的方向是 ；
（2）是的反方向延长线，的方向是 ；
（3）若，请用方位角表示的方向是 ；
（4）在（1）（2）（3）的条件下，则 ．
【题型5 钟面角】
1.刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时，
(1)时分针和时针的夹角为多少度？
(2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？
2.时钟在6点10分时，时针和分针所成角度是（　　）
A． B． C． D．
3.钟面上的时间为时，再经过，时针与分针第一次重合，则t的值为（ ）
A． B． C． D．
4.同一天中，从到，分针转了几度？时针转了几度？
【题型6 角的比较】
1.如图，和都是直角，射线是的平分线．

(1)比较和的大小，并说明理由；
(2)当时，求的度数．
2.比较两个角和的大小关系：小明用度量法测得；小丽采用叠合法比较这两个角的大小，她将和的顶点重合，边与重合，边和置于重合边的同侧，则边 ．（填序号：①“在的内部”；②“在的外部”；③“与边重合”）
【变式6-2】（2024七年级·全国·专题练习）如图所示表示两块三角板．
（1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；
（2）量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．
3.如图，已知直线与射线相交于点O，点C是上一点，且. 用尺规完成作图：
(1)在射线上截取，使；在射线上取一点E，，连接、；比较线段与的大小，并直接写出结论；
(2)在射线上取一点Q(不同于点O，E)，连接、，比较与的大小，并直接写出结论.
【题型7 与角平分线有关的角度计算】
1.点O为直线上一点，在直线同侧任作射线同侧任作射线，使得．
(1)如图一，过点O作射线，使为的角平分线．若时．则 ， ；
(2)如图二，过点O作射线．当恰好为的角平分线时，另作射线．使得平分．
①若，求的度数；
②若（），则的度数是 （直接填空）；
(3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是 ．
2.如图，平面内，平分，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.已知，，平分，平分，则 ．
4.如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线．
(1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数；
(2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
【题型8 与n等分线有关的角度计算】
1.如图①，射线在内部，图中共有三个角 ，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ．
2.如图，已知O为直线上一点，以O为端点作射线，，将射线绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，t的值为（ ）
A．或28 B．或28 C．或 D．
3.已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角的度数的，则称射线是的奇分线．
(1)判断一个角的平分线是否是这个角的奇分线；
(2)如图，．
①若射线是的奇分线，求的度数；
②射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线是的奇分线．
4.已知下图中的均为直角．
(1)如图一，是的角平分线，是的角平分线；
①若，求的大小；
②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）；
(2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”．
在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【题型9 三角板中的角度计算】
1.数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转．
(1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°．
(2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；
(3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
2.如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，，，和分别是和的平分线．

（1）若是平角，则的度数为
（2）若且，则的度数为
4.如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得．
(1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒．
①当时， ；
②当t为何值时，？
(2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分．
①当时， ；
②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数．
参考答案
【题型1 角的概念理解】
1.B
【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可．
【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为；
图2表示正确；
图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角；
图4表示正确．
所以表示正确的个数为2．
故选：B．
2.C
【分析】根据角的定义和角的表示方法解答即可．
【详解】解：A．是两条直线，不是角，本选项不符合题意；
B．表示或，本选项不符合题意；
C．表示，本选项符合题意；
D．表示或，本选项不符合题意，
故答案为：C．
3.
【分析】根据题意可知图中有两条射线，进而可得图中角的数量为个．
【详解】解：∵图中有两条射线，
∴图中角的数量为个，
故答案为：．
4.D
【分析】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时这个角可以用顶点字母来表示，由此可得结论．
【详解】解∶ A．与不一定相等，该选项原说法错误，故符合题意；
B．图中有三个角，分别为、和，该选项原说法错误，故不符合题意；
C．与表示同一个角，该选项原说法错误，故不符合题意；
D．与表示同一个角，该选项正确，符合题意．
故选∶D．
【题型2 画特殊角】
1.能画出的角，能画出的角．能画出无数个角，这些角的度数都是15的倍数。
设一个角可以由和角分别重复画m次和n次合并而成（m,n是整数），度数为，即，因此，总是15的整倍数．
2.B
【分析】本题主要考查角的运算，一副三角尺上的度数为，，和，，，据此可求得答案．
【详解】一副三角尺上的度数为，，和，，．
A、，可以画出，该选项不符合题意；
B、不可以画出，该选项符合题意；
C、，可以画出，该选项不符合题意；
D、，可以画出，该选项不符合题意．
故选：B
3.解：如图，画出15°角和105°角如下
：
4.（1）
解：通过和或差画出的有：
；
；
；
；
；
；
；
；
钝角有：、、、、．
故答案为：、、、、．
（2）如图，；
由三角板可知：，
∴；
如图，，
∵，
∴．
综上：与的和为固定值．
【题型3 角的单位与角度制】
1.A
【分析】根据度、分、秒的换算，把各角换算成相同单位，比较即可得答案．
【详解】∠A=25.12°=25°7′12″，∠C=1528′=25°28′，
∵25°28′＞25°12′＞25°7′12″，
∴∠C＞∠B＞∠A，
故选：A．
2.（1）解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′．
（2）解：48°39′+67°31′﹣21°17′
=116°10′-21°17′
=94°53′．
（3）解：42°16′+18°23′×2
=42°16′+36°46′
=79°2′．
3.D
【分析】根据角度的运算法则，以及角的换算，即可得到答案.
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、故D正确；
故选：D.
4.103°11′或47°25′
【详解】当OC在∠AOB外部，则∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝75°18′＋27°53′＝102°71′＝103°11′；
当OC在∠AOB内部，则∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝75°18′－27°53′＝74°78′－27°53′＝47°25′．
故答案为：103°11′或47°25′．
【题型4 方向角】
1.（1）解：如图，射线表示北偏西方向；
（2）解：如图，射线表示南偏东方向；
（3）解：如图所示，
由（1）（2）可得，，
∴，
∴．
2.93°15＇
【分析】利用平角的定义计算即可．
【详解】∵从O点出发向北偏西32°17＇方向走到A点，小明从O点出发向南偏西54°28＇方向走到B点，
∴AOB=180°-54°28＇-32°17＇=93°15＇．
3.C
【分析】本题考查了方位角的定义及角的和差．先分别以A点和B点为中心建立方位图，则可得和的度数，再根据进行计算即可．
【详解】
如图，分别以A点和B点为中心建立方位图，
由题意，得，，
，
．
故答案为：C
4.解：（1）∵的方向是北偏东，的方向时北偏西．
∴，
∴，
∴，
∴的方向是北偏东70°；
故答案为：北偏东70°；
（2）∵的方向时北偏西，且是的反方向延长线，
∴的方向是南偏东40°；
故答案为：南偏东40°；
（3）根据题意，如图：

∵，
∴点E的位置有两种情况：
当OE在东北夹角时，有
，
∴OE的方向为：北偏东50°；
当OE在西南夹角时，有
，
∴OE的方向为：南偏西50°；
故答案为：北偏东50°或南偏西50°；
（4）由（3）可知，
当OE为北偏东50°时，
；
当OE为南偏西50°时，
.
故答案为：或.
【题型5 钟面角】
1.（1）解：时针每分钟转，
时分针和时针的夹角为：，
（2）解：设经过分钟，时针与分针第一次相遇，
则：，
解得：，
答：经过分钟，时针与分针第一次相遇．
2.A
【分析】本题考查了钟面角，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．确定时针与分针相距的份数是解题关键．
【详解】解：6点10分时时针与分针相距份，
在6点10分时，时针和分针所成角度是，
故选：．
3.B
【分析】此题考查一元一次方程的应用,解决这个问题就要弄清楚时针与分针转动速度的关系：每一小时，分针转动，而时针转动，即分针每分钟转动，时针每分钟转动．
【详解】解：设从点开始，经过，时针和分针第一次重合，
由题意得：
解得：，
则至少再经过时针和分针第一次重合．
故选:B．
4.解：同一天中，从到，所经过的时间为35分钟，
，，
分针转了210度，时针转了17.5度．
【题型6 角的比较】
1.（1）解：，
理由如下：
和都是直角，
，
，，
；
（2）解： ，和都是直角，
，
射线是的平分线，
．
2.①
【分析】将两个角的顶点重合，一边重合，另一边置于重合边的同侧，哪个角的另一条边在外面，就是哪个角大；据此即可得答案．
【详解】∵将和的顶点重合，边与重合，边和置于重合边的同侧，；
∴边在的内部，
故答案为：①
3.解：（1）如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，
可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．
（2）用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，
把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．
4.（1）如图，点D、E即为所求，且.
（2）如图，当Q点在线段OE上时，，
当点Q在射线上时，.
【题型7 与角平分线有关的角度计算】
1.（1）解：∵，
，
平分，
，
，
故答案为：65，40；
（2）解：①
，
平分平分，
，
；
②，
，
平分平分，
，
，
故答案为：；
（3）解：当在内部时，如图：
平分，
，
，
，
平分，
；
当在外部时，如图：
平分，
，
，
，
平分，
，
综上可知，的度数是或，
故答案为：或．
2.C
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先证明，再由即可证明，即可判断①；根据，可得，据此可判断②；根据周角的定义求出，再由角平分线的定义得到，则，进一步可推出，即可判断④；根据现有条件无法证明，即可判定③．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，即，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∵，即，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故④正确；
根据现有条件无法证明，故③错误．
综上分析可知，错误的有3个，
故选：C．
3.或
【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算．分类讨论是解答此题的关键．
分射线在内部和外部两种可能来解答．
【详解】解：当射线在内部时，如图，
， 平分，
，
∵，平分，
∴，
；
当射线在外部时，如图，
， 平分，
，
∵，平分，
∴，
，
故答案为：或．
4.（1）∵，，分别是的角平分线，
∴，，
∴；
（2），理由如下，
∵，
∴设，则，
设，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴．
【题型8 与n等分线有关的角度计算】
1.
【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时，
时，时，时，再根据角的和差进行计算即可．
【详解】解：由题意，分以下四种情况：
①当时，射线是的“幸运线”，
∵，
；
②当时，射线是的“幸运线”，
∵，
，
；
③当时，射线是的“幸运线”，
∵，，
，
解得；
④当时，射线是的“幸运线”，
∵，，
，
解得；
综上，的度数为或或，
故答案为：或或．
2.B
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．分两种情况：①当时，，，可得，②当时，，，有，解方程可得答案．
【详解】解：①当时，，
∵射线为的角平分线，射线为的四等分线，
∴，，
∴，
解得（舍去）或；
②当时，，
∵射线为的角平分线，射线为的四等分线，
∴，，
，
解得（舍去）或；
综上所述，t的值为或28；
故选：B．
3.（1）解：一个角的平分线是这个角的奇分线；
（2）解：①，若射线是的奇分线，则根据奇分线的定义可知有3种情况符合题意：
当时，
，
解得，
则；
当时，
，
解得；
当时，
；
综上，的度数为或或；
②当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；
综上，当t为27或36或54时，射线是的奇分线．
4.（1）解：是的角平分线，是的角平分线
∴，
∵均为直角
∴
①由可得，
∴；
②由可得，
∴；
（2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况，
当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时，
，，
∴；
当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时，
，，
∴；
当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时，
，，
∴；
当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时，
，，
∴；
综上：的度数为或或或．
【题型9 三角板中的角度计算】
1.（1）解： ，
；
故答案为90；
（2）解：，
理由如下：，，
；
（3）解：的度数是一个定值，
理由如下：射线、分别是、的角平分线，
，，
．
2.D
【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设，则，得到，则，解得，则，即可求出的度数．
【详解】解：设，则，
由题意可知，，
，
∴
解得，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴
故选：D．
3.
【分析】（1）利用角平分线的定义求出，的度数，最后利用平角是 进行计算即可解答；
（2）利用角平分线的定义求出，的度数进行计算即可解答．
【详解】解：（1）∵，是的平分线．
∴ ，
∵， 是的平分线
∴，
∵是平角
∴；
故答案为：
（2）∵，是的平分线．
∴，
∵， 是的平分线
∴，
∵
∴
故答案为：
4.（1）解：①当时， ，
∴，
故答案为：；
②∵，，
∴，
∴，
(秒) ，
∴当t为10秒时，；
（2）解：①∵平分平分，
，
故答案为：
的度数不发生变化，理由如下：
∵平分
∵平分
．

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