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2024-2025学年上海市浦东新区周浦实验学校七年级（下）5月月考
数学试卷
一、选择题：本题共 6小题，每小题 3分，共 18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.△ 中， = 6， = 2，若边 的长为偶数，则△ 的周长为( )
A. 12 B. 14 C. 15 D. 16
2.健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中 // ， // .若∠ = 60°，
∠ = 70°， 平分∠ ，则∠ 的度数为( )
A. 140°
B. 120°
C. 100°
D. 95°
3.下列命题中是假命题的是( )
A.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
B.对顶角相等
C.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D.同位角相等
4.一个底面半径为 10 ，高为 15 的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入底面直径为 10 的圆柱形小杯
中，刚好倒满 6 杯，则小杯的高为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
5.在△ 中，∠ = ∠ = 50°，将△ 沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是( )
A. B. C. D.
6.如图，直线 是△ 的边 的垂直平分线，已知 = 5 ，△ 的周长为 18 ，则 的长为( )
A. 4
B. 10
C. 12
D. 13
二、填空题：本题共 12小题，每小题 3分，共 36分。
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7.如图， 是△ 中∠ 的平分线， 是∠ 的外角的平分线，如果
∠ = 20°，∠ = 50°，则∠ + ∠ = ．
8.若∠1 = 36°，∠2 的两边分别与∠1 的两边平行，则∠2 的度数为______．
9.命题“同角的余角相等”的条件是______，结论是______．
10.如图所示，∠1 = 50°，则∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ 的度数为______．
11.如图，在 △ 中，∠ = 90°， = ，分别过点 、 作经
过点 的直线的垂线段 、 ，若 = 6 ， = 8 ，则 的长为
______ ．
12.如图，在△ 中，∠ 和∠ 的平分线相交于点 ，过 作 // ，交
于点 ，交 于点 ，若 = 4， = 7，则线段 的长为______．
13.不等式 3 1 < 5 的解集为______．
14.若关于 的不等式 > 0 1的解集是 < 3，则关于 的不等式( + ) > 的解集是______．
15.“ 的 7 倍减去 1 是正数”用不等式表示为____．
1
16.关于 的不等式组 3 ≤ 1 恰好只有四个整数解，则 的取值范围是 ．
< 2
17.若等腰三角形的一个内角为 70°，则它的顶角的度数是______．
18.如图，已知 // ， 、 的交点为 ，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ 和∠ 的平分线，
交点为 1，第二次操作，分别作∠ 1和∠ 1的平分线，交点为 2，第三次操作，分别作∠ 2和∠ 2
的平分线，交点为 3，…第 ( ≥ 2)次操作，分别作∠ 1和∠ 1的平分线，交点为 ，若∠ =
度，则∠ =______度．
三、解答题：本题共 9小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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19.(本小题 8 分)
3+2
解不等式 2 1 <
1+2
5 ，并把不等式的解集在数轴上表示出来．
20.(本小题 8 分)
5 ≥ 1①
解不等式组： 2 1 5 +13 2 < 1
，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解．
②
21.(本小题 8 分)
如图所示，在△ 中， = 10 ， = 7 ．
(1)尺规作图：作边 的垂直平分线 交 、 于 、 两点．
(2)连接 ，求△ 的周长．
22.(本小题 8 分)
打谷场上，有一个近似于圆锥的小麦堆如图 ，测得底面直径为 16 ，高为 1.5 ，每立方米的小麦约重 750
千克．
(1)求这堆小麦约有多少吨？( 取 3.14，得数保留整数吨)
(2)图 为装小麦的粮仓，粮仓下面为一圆柱，上面为一圆锥，已知圆柱底面半径为 1 米，粮仓下面圆柱的
3
侧面积为 4 平方米，图 中粮仓上面圆锥的高为图 中小麦堆的高的10，将打谷场上的这堆小麦全部装入图
同样的粮仓中，至少需要这样的粮仓几个？
23.(本小题 8 分)
填补下列证明推理的理由
如图，△ 中， 是边 的中点，延长 到点 ，且 // .求证：△ ≌△
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证明：
∵ // (已知)
∴ ∠ = ∠ ______
∵ 是边 的中点______
∴ = ______
∵ 、 相交
∴ ∠ = ∠ ______
在△ 和△ 中
∠ = ∠ ， = ，∠ = ∠
∴△ ≌△ ______．
24.(本小题 8 分)
已知：如图，在△ 中， 是 边中点， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ．
(1)求证：△ ≌△ ；
(2)若 = 4， = 2，求△ 的面积．
25.(本小题 8 分)
在△ 中， = ， 的作图痕迹如图所示， 交 于点 ， 垂直平分边 ，交 于点 ，交
于点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)若 = 6， = 2，求△ 与△ 的面积比；
(2)若∠ = 70°，求∠ 的度数．
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26.(本小题 8 分)
如图，点 ， 分别在射线 ， 上，点 ， 都在∠ 内部的射线 上，已知 = ，且∠ = ∠ =
∠ ．
(1)求证：△ ≌△ ；
(2)试判断 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
27.(本小题 8 分)
如图，将两个全等的直角三角形△ 、△ 拼在一起(图 1)，△ 不动．
(1)若将△ 绕点 逆时针旋转，连接 ， 是 的中点，连接 、 (图 2)，证明： = ．
(2)若将图 1 中的 向上平移，∠ 不变，连接 ， 是 的中点，连接 、 (图 3)，判断并直接写
出 、 的数量关系．
(3)在(2)中，若∠ 的大小改变(图 4)，其他条件不变，则(2)中的 、 的数量关系还成立吗？说明理
由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.90°
8.144°或 36°
9.两个角与同一个角互余 这两个角相等
10.260°
11.14
12.3
13. < 2
14. < 12
15.7 1 > 0
16.2 ≤ < 3
17.70°或 40°
18.2
19. 3+2 1+2 解： 2 1 < 5 ，
去分母，两边乘以 10，得：5(3 + 2 ) 10 < 2(1 + 2 )，
去括号，得：15 + 10 10 < 2 + 4 ，
移项，得：10 4 < 2 15 + 10，
合并同类项，得：6 < 3，
1
系数化为 1，得： < 2，
不等式的解集在数轴上表示如下：
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20.解：解不等式①得 ≤ 3，
解不等式②得 > 1，
所以不等式组的解集为 1 < ≤ 3，
解集在数轴上表示为：
不等式组的整数解为 0，1，2，3．
21.
22. (1) = 1解： 圆锥形的小麦堆的体积 3 × × 8
2 × 1.5 ≈ 100.48( 3)，
所以这堆小麦的质量为：100.48 × 750 = 75360(千克) ≈ 75(吨)；
(2)设圆柱的高为 ，
根据题意得 2 × 1 × = 4 ，解得 = 2，
图 3中粮仓上面圆锥的高为 1.5 × 10 = 0.45( )，
∴ 1图 的粮仓的体积为 2 23 × × 1 × 0.45 + × 1 × 2 ≈ 6.751(
3)，
∵ 100.48 ÷ 6.751 ≈ 15，
∴至少需要这样的粮仓 15 个．
23.
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24.(1)证明：∵ ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
∵ 是 边中点，
∴ = ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )．
(2)解：由(1)得△ ≌△ ，
∴ = = 2，
∵ = 4，且 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，
∴ = 1 1△ 2 = 2 × 4 × 2 = 4，
1 1
△ = 2 = 2 × 4 × 2 = 4，
∴ △ = △ + △ = 4 + 4 = 8，
∴△ 的面积是 8．
25.解：(1)如图，过点 作 ⊥ 于点 ，由作图可知， 平分∠ ，
又∵ 垂直平分边 ，
∴ = ，
∵ = = 6， = 2，
∴ = = 6 2 = 4，
∴△ 与△ 1 1的面积比= 2 ：2 = ： = 2：3；
(2) ∵ = ，∠ = 70°，
∴ ∠ = ∠ = 70°，∠ = 180° ∠ ∠ = 40°，
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∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = 20°，
∵ 垂直平分边 ，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ = 20°，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 70° 20° = 50°．
26.(1)证明：∵ ∠ = ∠ + ∠ ，∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
同理：∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
= ，
∠ = ∠
∴△ ≌△ ( )；
(2) + = ，理由如下：
∵△ ≌△ ，
∴ = ， = ，
∵ + = ，
∴ + = ．
27.证明：(1)如图 2，连接 ，由已知得△ ≌△ ，
∴ = ， = ，∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ ，
即∠ = ∠ ，
=
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ；
(2) = ．
理由如下：如图 3，延长 、 相交于 ′，延长 交 于 ，
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∴ = ′， = ，
∵ 是 的中点， 是 ′的中点，
∴ // ′，
∴ ∠ = ∠ ，
同理： // ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ；
(3) = 还成立．
如图 4，延长 交 于 ，
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
又∵ 是 的中点，
∴ = ，
∠ = ∠
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ = 90°，
∴ = ．
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