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紫荆中学2024-2025学年第二学期期中考试题（卷）
高一数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知为虚数单位，（ ）
A. B. C. D.
2.已知，若，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，则的值等于(　　)
A.　　　B．－　　　 C．－　　　D.
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.在中，角的对边分别为，若，且，则角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.在正方体中，分别为棱的中点 ，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．在矩形中，,．若点，分别是，的中点，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9.如图，在单位圆中，向量是（ ）
A.有相同起点的向量 B.单位向量
C.模相等的向量 D.相等的向量
10.已知复数，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．，则为纯虚数 D．若，则
11.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中下列结论正确的是_________．
A.
B．与成
C．与是异面直线
D.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．在中，角所对的边分别为，且的外接圆半径为1，若，则的周长为__________.
13.已知点是角终边上的一点，则的值为________.
14.已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知向量与的夹角为，且，.
(1)求；
(2)；
(3)求向量与向量的夹角.
16．(本小题满分15分)在中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
17．(本小题满分15分)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F分别是PA和AB的中点，求PA与平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小题满分17分)如图，在直三棱柱中，AB＝AC，
P为的中点，Q为BC的中点．
(1)求证：PQ∥平面；
(2)求证：BC⊥PQ.
19．(本小题满分17分)已知函数.
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)在中，内角所对的边分别为,若，，的面积为，求c边的长度.
紫荆中学2024-2025学年第二学期期中考试答题卡
高一数学
第Ⅰ卷（选择题 共58分） 总分
一、选择题：1-8小题，每小题5分，9-11小题，每小题6分，共58分
单选题号 1 2 3 4 5 6 7 8
单选答案
多选题号 9 10 11
多选答案
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
四.解答题：本大题共5小题，共77分. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
15.（本小题满分13分）
参考答案
1.B .
2.D 由题意设，则，解得.
3.C ∵cos α＝，α∈，
∴sin α＝－，
∴cos＝cos αcos ＋sin αsin
＝×＝－.
答案：C.
4.B ，则，
，可得.
5.A 且.
6.A
7.C由图及题意，可得：
，
.
∴.
故选C．
8.C 由题可知点在上，.故选C.
9.BC 本题考查单位向量..所以项正确.
10.ABD 设，，，，，，
对于A： ，由于，所以，
所以，，故，故正确；
对于：由于，则，，所以，，故，故正确；
对于：若，所以，故，即或，故错误；
对于：若，所以，而
所以，故正确．
故选：．
11.AC 由正方体性质知：//且有,故A正确，B错误.
C,由图知：与是异面直线，故正确.
D,由正方体的性质知：,故错误.
故答案为：AC.
12. 因为，所以，所以的周长为.
13.
15．(1)2 (2) (3)
16..解：（1）由正弦定理有
因为，可得；
（2）由（1）知，
故有.
17.解：过A作AH⊥BC于H，连接PH，
∵PC⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，
∴AH⊥平面PBC.
∴∠APH为PA与平面PBC所成的角，
在边长为2的菱形ABCD中，
∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，
∴H为BC中点，AH＝，
∵PC＝AC＝2，∴PA＝2，
∴sin∠APH＝＝.
故PA与平面PBC所成角的正弦值为.
18.证明：(1)如图，连接B1C与BC1相交于点O，连接OQ
∵BQ＝CQ，OB＝OC1，∴OQ∥CC1，OQ＝CC1.
∵A1P∥CC1，A1P＝CC1，∴OQ∥A1P，OQ＝A1P，
∴四边形A1PQO为平行四边形，∴A1O∥PQ，
∵A1O 平面A1BC1，PQ 平面A1BC1，∴PQ∥平面A1BC1.
(2)连接AQ，
∵三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，
∵BC 平面ABC，∴BC⊥AA1，
∵AB＝AC，BQ＝CQ，∴AQ⊥BC，
∵AQ∩AA1＝A，∴BC⊥平面AQP，
∵PQ 平面APQ，∴BC⊥PQ.
19.【答案】(1)最小正周期，单调递增区间是 （）
(2)
【解析】(1)∵
∴的最小正周期由，
得,,
∴函数的单调递增区间是 （）．
(2)由（1）得，
∴， ∴，
∵ ∴ .
又， ∴ ，又
解得：

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