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2024-2025学年高二数学北师大版选择性必修二期末考试模拟试题A卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．函数在处的切线斜率为( )
A.0 B.1 C.e D.
2．下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3．如果函数在处的导数为1,那么( )
A. B. C.1 D.
4．在等差数列中,已知,,则( )
A. B. C.-10 D.
5．已知函数,则( )
A. B. C. D.
6．抛物线在点处的切线的斜率为( )
A.-1 B. C. D.1
7．记为等差数列的前n项和,已知,,则( )
A.2 B.1 C. D.0
8．若函数在时取得极大值0,则( )
A. B.或 C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若函数是区间上单调函数,则实数m的值可以是( )
A. B. C.3 D.4
10．已知,x,成等比数列,则x的值可以是( )
A.0 B.1 C. D.
11．过点的直线与函数的图象相切于点,则的值可以是( )
A.0 B.2 C.3 D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若直线与曲线相切,则实数a的值为________.
13．函数的单调递减区间为________.
14．函数的图象在点处的切线方程为______________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知数列中,,.
(1)求证：数列是等差数列;
(2)求数列的通项公式.
16．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.
17．记为等差数列的前n项和.已知.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的n的取值范围.
18．设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.
19．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，讨论函数在上的单调性；
（3）证明：对任意的，有.
参考答案
1．答案：C
解析：，故.
故选：C
2．答案：D
解析：对于A：,故A错误；
对于B：,故B错误；
对于C：,故C错误；
对于D：,故D正确；
故选：D．
3．答案：D
解析：由题意可知,
则.
故选：D.
4．答案：D
解析：根据等差数列前n项和性质,可得,,成等差数列,
所以,即,解得.
故选：D.
5．答案：D
解析：由题意知,,所以;
.
故选:D
6．答案：D
解析：令，
得，得
故选：D
7．答案：B
解析：设数列的公差为d,因为,所以,
所以.
故选：B.
8．答案：C
解析：由题知,,
由在时取得极大值, ,解得或,
经检验,当时,,
由,,所以在上单调递减；
由,,所以在上单调递增；
此时在时取得极大值,满足题意,故,
当时,,则在R上单调递增,不符合题意,故舍去；
,将代入,解得,
所以.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：,
令,即,解得或,
当时,,函数单调递增;
当时,或,函数单调递减;
因为函数在区间上是单调函数,所以有以下两种情况:
当时,
则,解得;故A正确,B错误;
当时,
则,解得.故C、D正确;
故选:ACD.
10．答案：BD
解析：根据题意可知：,
所以,
故选：BD.
11．答案：AD
解析：因为,所以,
由题意得直线的斜率,
即,解得或
故选：AD.
12．答案：
解析：由得,
令得,此时,故切点为,
故,得,
故答案为:
13．答案：/
解析：因为函数,定义域为,
所以,
令,所以,
的单调递减区间为.
故答案为:或.
14．答案：
解析：由题知,,,切线的斜率,
切线方程为,即.
故答案为：.
15．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：(1)因为,,所以,即,
所以,即数列是首项为1,公差为3的等差数列.
(2)由(1)可知,数列是首项为1,公差为3的等差数列,
所以,所以.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由可得，
由知，
当时，，即，所以，
当时，即，即，
故数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）知，，
故当时，，也符合该式，
即，从而，
当时，，不符合该式，
所以
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设的公差为d.
由得.由得.
于是，.
因此的通项公式为.
（2）由（1）得，故，.
由知，故等价于，解得.
所以n的取值范围是.
18．答案：（1）函数在上单调递减，在上单调递增
（2）
解析：（1），，
.
，，，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）的图象与x轴没有公共点且，
在上的图象在x轴的上方，
由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
解得，
故实数a的取值范围是.
19．答案：（1）
（2）单调递增
（3）证明见解析
解析：（1），
，
又，
曲线在点处的切线方程为.
（2），
，
，，，，
又，在上恒成立.
在上单调递增.
（3）证明：由（2）知在上单调递增，
，在上单调递增，
不妨设，令，
则.
因此在上单调递减，
，，
又，.
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