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2024-2025学年高二数学北师大版选择性必修二期末考试模拟试题B卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30,且,则( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2．曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3．已知数列的前n项和为,且,则( )
A.1 B.2 C. D.
4．若函数在处可导,则( )
A. B. C. D.
5．函数在处有极值为7,则( )
A.-3或3 B.3或-9 C.3 D.-3
6．已知数列的前n项和为,若,,则( )
A. B. C. D.
7．已知函数是定义域为R的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．我们常用以下方法求形如的函数的导数:先两边同取自然对数得:,再两边同时求导得,即,运用此方法可求得函数在下列哪些区间单调递增( )
A. B. C. D.
10．若函数既有极大值也有极小值,则( )
A. B. C. D.
11．已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知函数,则曲线在点处的切线方程是________.
13．函数的极值点为，则实数___________.
14．函数的单调递减区间为____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围.
16．已知函数，.
（1）求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在两个极值点，（），讨论和的大小关系.
17．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示,综合考虑安全性和趣味性,在滑道最陡处点P处的切线方程是,则( )
A. B. C.1 D.3
18．下列求导过程错误的选项是( )
A. B.
C. D.
19．记为等差数列的前n项和,已知.
(1)若,求的通项公式;
(2)若,求使得的n的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：设等比数列的公比为q,则,又,,
解得,故.
故选：D.
2．答案：A
解析：,,,所求切线方程为.
故选:A.
3．答案：D
解析：当时,,又,则.
当时,,又,所以,
解得：.
故选：D.
4．答案：D
解析：.
故选:D.
5．答案：C
解析：,
,解得或,
,时,,当时,,当时,,是极小值点;
时,,不是极值点.
.
故选C.
6．答案：A
解析：因为,所以,
因为,所以.
故选:A
7．答案：D
解析：令，则，
由题意知当时，，
故在上单调递增，
因为函数是定义域为R的奇函数，
所以，
所以，
所以是定义域为R的偶函数，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
则不等式的解集为.
故选：D.
8．答案：D
解析：由，
因为函数在区间内单调递增，
所以有在上恒成立，即在上恒成立，
因为，所以由，
因为，所以，于是有，
故选：D
9．答案：BD
解析：由题意得,两边同时求导得,
即,令,即,解得:,
即函数的单调递增区间为.
故选:BD.
10．答案：BCD
解析：函数的定义域为,求导得,
因为函数既有极大值也有极小值,则函数在上有两个变号零点,而,
因此方程有两个不等的正根,,
于是,即有,,,显然,即,A错误,BCD正确.
故选：BCD.
11．答案：ABC
解析：对于A:，令，
得或，有“巧值点”，A满足；
对于B:，令，
得，有“巧值点”，B满足；
对于C:，令，结合，的图像，
知方程有解，有“巧值点”，C满足；
对于D:，令，
得，与矛盾，没有“巧值点”，D不满足.
故答案为：ABC.
12．答案：
解析：由题意有:,,
所以,即,
所以切线方程为.
故答案为:.
13．答案：e
解析：，，得，
此时.
当时，在上单调递减；
时，，在上单调递增.
所以在处取得极小值，符合题意.
故答案为：e.
14．答案：
解析：函数的定义域为R,求导得,
由,得,解得,
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：.
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：令，，则，
令，得在区间上恒成立，所以在区间上单调递减，
因为，所以在区间上恒成立，
所以在区间上单调递减，所以，即当时，.
令，，则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递减，所以，即当时，.
综上，当时，.
（2）函数的定义域为.
当时，，在上单调递减，在上单调递增，不是的极大值点，所以.
当时，，.
（i）当时，取，则，
由（1）可得，
因为，，，所以，
所以在上单调递增，不合题意.
（ii）当时，取，则，
由（1）可得
，
设，，
则，
因为，，且的图象是开口向下的抛物线，
所以，均有，所以在上单调递增.
因为，，所以在内存在唯一的零点n.
当时，，又因为，.
则.
即当时，，则在上单调递减.
又因为是偶函数，所以在上单调递增，
所以是的极大值点.
综合（i）（ii）知.
当时，由于将中的a换为所得解析式不变，所以符合要求.
故a的取值范围为.
16．答案：（1）极小值，没有极大值
（2）见解析
（3）当时，；当时，
解析：（1）由题意得的定义域为，.
时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
在处取到极小值，没有极大值.
（2）.
若，则，，时，，单调递减，时，，单调递增.
若，则，当且仅当时取等号，
单调递增.
若，则，时，，单调递减；和时，，单调递增.
综上，若，则时，单调递减，时，单调递增；若，则单调递增；若，则时，单调递减；和时，单调递增.
（3）由（2）知，只能是，.
由有且，时，，
由在上单调递减可知；时，，
由在上单调递增可知.
综上所述，当时，；当时，.
17．答案：A
解析：由题意可知,,则.
故选：A.
18．答案：B
解析：对于A选项,,A对;
对于B选项,,B错;
对于C选项,,C对;
对于D选项,,D对.
故选：B.
19．答案：(1);
(2).
解析：(1)设等差数列的首项为,公差为d,
根据题意有,
解答,所以,
所以等差数列的通项公式为;
(2)由条件,得,即,
因为,所以,并且有,所以有,
由得,整理得,
因为,所以有,即,
解得,
所以n的取值范围是：.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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