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2024-2025学年高二数学北师大版选择性必修二期末考试模拟试题C卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知正项数列满足,则( )
A. B. C. D.
2．设是等差数列的前n项和，若，则( )
A. B. C. D.
3．已知曲线在处的切线方程为，则( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4．已知等比数列满足，，则( )
A.21 B.42 C.63 D.84
5．等差数列的前n项和为,若,,则( )
A.18 B.19 C.20 D.21
6．函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
7．记为等差数列的前n项和,若的公差为d,,则( )
A. B. C. D.
8．已知等差数列的前n项和为，若，，则( )
A.30 B.36 C.42 D.56
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数的定义域为R,其导函数为,且对任意的,都有,则下列正确的是( )
A. B.
C. D.
10．已知函数在时有极值为,则( )
A.11 B.4或11 C.4 D.8
11．已知,,,则下列大小关系中正确的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．数列满足,若,则______________．
13．若函数有极值,则实数a的取值范围是__________．
14．设等差数列，的前n项和分别为，，若，则_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知曲线，求：
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)曲线过点的切线方程．
16．已知函数
（1）求函数的最小值.
（2）设函数,若存在区间,使在上的值域是,求k的取值范围
17．已知函数
（1）求函数的最小值.
（2）设函数,若存在区间,使在上的值域是,求k的取值范围
18．在1，2，…，500中，被5除余2的数共有多少个？
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意,,则数列是以为公比的等比数列,因此,
所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：设首项为，公差为d，
因为，所以，
则，即，得到，
而
，故C正确.
故选：C
3．答案：A
解析：因为，，
当时，则，
即切点坐标为，切线斜率，
由题意可得：，
解得.
故选：A.
4．答案：D
解析：等比数列公比为q，
由得：，
即，而，解得，
所以.
故选：D
5．答案：B
解析：设公差为d,则有,,
解得,,
故.
故选:B
6．答案：B
解析：由题意可知:的定义域为,且,
令,解得,
所以函数的单调递减区间是.
故选:B.
7．答案：C
解析：由,所以,故.
故选:C.
8．答案：B
解析：因为，，
由等差数列的性质可知、、成等差数列，
所以，,
所以，.
故选：B.
9．答案：BD
解析：令,所以,
因为,所以,所以在R上单调递增,
所以,
即,
则,,故AC错误,BD正确.
故选：BD.
10．答案：A
解析：,由题意,解得,.
此时,,
当时,,当时,,故函数在时取得极小值,合乎题意.
因此,.
故选：A.
11．答案：ACD
解析：构造函数,其中,则,
由可得,由可得,
所以,函数的增区间为,减区间为,
因为,,
,
因为,故,即,即,
故选：ACD.
12．答案：
解析：由,得,,所以,．
故答案为：.
13．答案：
解析：由,
则,
由函数有极值,
即有变号零点,
所以,
解得或,
故答案为：.
14．答案：
解析：因为，
所以.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由于，
从而点是切点，
又，所以，
从而曲线在点处的切线方程为，
即；
(2)由，从而点不是切点，
设切点为，显然，
一方面，
另一方面，
联立以上两式可得，
所以或，也就是或，
又，，，
所以曲线过点的切线方程为或，
也就是或.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,
设,,,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,从而,即恒成立.
故,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,从而的最小值为.
（2）因为函数,令,,当时,,在上单调递增,
,在上单调递增,
,在上单调递增,
在上值域为,
方程在上有两解a,b.
即在上有两解,
令,,所以,
令,则,
即在上单调递增,又,
所以当时,,即,
当时,,即
即在内单调递减,在内单调递增,又,,
又因为,
若要在上有两解,
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,
设,,,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,从而,即恒成立.
故,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,从而的最小值为.
（2）因为函数,令,,当时,,在上单调递增,
,在上单调递增,
,在上单调递增,
在上值域为,
方程在上有两解a,b.
即在上有两解,
令,,所以,
令,则,
即在上单调递增,又,
所以当时,,即,
当时,,即
即在内单调递减,在内单调递增,又,,
又因为,
若要在上有两解,
18．答案：100
解析：被5除余2的数有两类：一类是个位数为2的数；另一类是个位数为7的数.
第一类：个位数为2的数，有50个.
第二类：个位数为7的数，有50个.
根据分类加法计数原理，共有满足条件的个数为.
19．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)当时，函数，
得，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即切线方程为；
(2)当时，，
，
令，得，，
当时，，
令，得或，
令，得，
所以函数的单调增区间为和，
单调减区间为
当时，，
令，得或，
令，得，
所以函数的单调增区间为和，
单调减区间为；
综上所述，当时，的单调增区间为和，
单调减区间为；
当时，的单调增区间为和，
单调减区间为.
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