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2.2 三角形全等的判定
第二章 全等三角形
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
基本事实“边角边”或“SAS”
基本事实“角边角”或“ASA”
“角角边”或“AAS”
基本事实“边边边”或“SSS”
“斜边、直角边”或“HL”
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
知1－讲
感悟新知
知识点
基本事实“边角边”或“SAS”
1
1. 基本事实： 两 边 及 其 夹 角 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等（简写成“边角边”或“ SAS”）。
知1－讲
2. 书写格式 如图2 .2-1，
在△ABC和△A′B′C′中 ，
所以△ABC≌△A′B′C′(SAS)。
把三个条件按顺序排列，并用大括号将其括起来
感悟新知
在 书 写 两 个 三 角 形 全 等 的 条 件“边 角 边”时，要 按 照“边→ 角 → 边”的 顺 序 来 写，即 把 夹 角 相 等 写 在 中 间，以 突 出两边及其夹角分别相等。
知1－讲
感悟新知
注意：
两 边 和 其 中 一 边 的 对 角 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形
不一定全等，即“边边角”(SSA)不能作为 判定
两 个 三 角 形 全 等 的 条 件。 如 图 2.2-2，在△ ABC
和 △ ABD 中， AB=AB，∠ B= ∠ B， AC=AD，显
然△ ABC 和△ ABD 不全等。
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别提醒
证明三角形全等要善于挖掘图中隐藏的相等的边和角，其中相等的边有：①公共边，②线段的中点，③等边加减等边；相等的角有：①公共角，②对顶角，③角平分线，④等角加减等角，⑤平行线的性质，⑥垂直，⑦余角、补角的性质，⑧全等三角形的性质。
知1－练
感悟新知
[中 考· 泸 州]如 图 2.2-3，点 B 在 线 段 AC 上，
BD ∥CE， AB ＝ EC， DB=BC。 求证： AD=EB。
例1
知1－练
感悟新知
解题秘方：根据条件找出两个三角形中的两组边及其夹角相等，运用“ SAS”判定两个三角形全等，然后再得出对应边相等。
知1－练
感悟新知
证明： 因为 BD ∥ CE，所以∠ ABD ＝∠ C。
在△ ABD 和△ ECB 中，
所以△ ABD ≌ △ ECB（SAS）。
所以 AD ＝ EB。
知1－练
感悟新知
1-1.如 图，在 △ ABC和 △ AED 中， AB=AE，∠ BAE = ∠ CAD ，AC=AD。求证： △ ABC≌△ AED。
知1－练
感悟新知
感悟新知
知2－讲
知识点
基本事实“角边角”或“ASA”
2
1. 基本事实： 两 角 及 其 夹 边 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等（简写成“角边角”或“ ASA”）。
知2－讲
2. 书写格式 如图2.2-4，
在△ABC和△A′B′C′中，
所以△ABC≌△A′B′C′ (ASA)。
知2－讲
感悟新知
特别解读
在书写两个三角形全等的条件“角边角”时，要按照“角→边→角”的顺序来写，即把夹边相等写在中间，以突出两角及其夹边分别相等。
感悟新知
知2－练
如图2.2-5，已知△ ABC≌△ ADE， AB与ED交于点M，
BC与AD交于点N。求证：△ AEM≌△ ACN。
例2
解题秘方：解题的关键是利用全等三角形的性质、等角减等角的差相等，得到满足三角形全等的条件。
知2－练
感悟新知
证明： 因为△ ABC ≌ △ ADE，
所以 AE=AC， ∠ E= ∠ C， ∠ EAD= ∠ CAB。
所以∠ EAD－∠ BAD= ∠ CAB－∠ BAD，
即∠ MAE= ∠ NAC。
在△ AEM 和△ ACN 中，
所以△ AEM ≌ △ ACN(ASA)。
知2－练
感悟新知
2-1. [ 期中·潍坊 ] 如图，AB ∥ FC， E 是 DF 的中点。
(1)求证： △ ADE ≌△ CFE；
知2－练
感悟新知
知2－练
感悟新知
(2) 若 AB=15， CF=8，求 BD 的长。
解：因为△ADE≌△CFE，
所以CF＝AD。
因为AB＝15，CF＝8，
所以BD＝AB－AD＝AB－CF＝15－8＝7。
知3－讲
感悟新知
知识点
“角角边”或“AAS”
3
1. 定理： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“ AAS”）。
知3－讲
2. 书写格式 如图2.2-6，
在△ABC和△A′B′C′中，
所以△ABC≌△A′B′C′(AAS)。
知3－讲
3. “ASA”与“AAS”的区别与联系
“S”的意义 书写格式 联系
ASA “S ”是两角的夹边 把夹边相等写在 两角相等的中间 由三角形内角和
定理可知，“AAS”
可 由“ASA” 推
AAS 导得出
AAS “S ”是其中一角的对边 把两角相等写在 一起，边相等放 在最后
知3－讲
特别解读
1. 判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的.
2. 在两个三角形的六个元素(三条边和三个角)中，由已知的三个元素可判定两个三角形全等的组合有4个： “SAS”“ASA” “AAS”和“SSS” （后面学） ，不能判定两个三角形全等的组合是“AAA”和“SSA” ( ASS” ).
知3－练
感悟新知
如图 2.2-7， AB=AE，∠ 1= ∠ 2，∠ C= ∠ D。
求证：△ ABC ≌△ AED。
例3
知3－练
感悟新知
解题秘方：判 定 两 个 三 角 形 全 等，可 采 用 执 果 索 因的 方 法，即 根 据 结 论 反 推 需 要 的 条 件。 如 本 题 还 缺 少∠ BAC= ∠ EAD，需利用已知条件 ∠ 1= ∠ 2 进行推导。
知3－练
感悟新知
证明： 因为∠ 1= ∠ 2，所以∠ 1+ ∠ EAC
= ∠ 2+ ∠ EAC，即∠ BAC= ∠ EAD。
在△ ABC 和△ AED 中，
所以△ ABC≌ △ AED（AAS）。
知3－练
感悟新知
3-1. [ 中 考· 淮 安 ] 已知：如图，点 D 为线 段BC 上 一 点， BD=AC，∠ E= ∠ ABC， DE ∥AC。 求证： DE=BC。
知3－练
感悟新知
感悟新知
知4－讲
知识点
基本事实“边边边”或“SSS”
4
1. 已知三边作三角形
要求 作法 图示
用 直 尺 和 圆 规 作△ ABC， 使 AB=c， AC=b， BC=a ①作线段 BC=a；②分别以点 B， C 为圆心， c，b 的长为半径画弧，两弧相交于点 A；③连接 AB， AC。△ ABC 就是所求作的三角形
感悟新知
知4－讲
2. 基本事实： 三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“ SSS”）。
知3－讲
3. 书写格式 如图2.2-8，
在△ABC和△A′B′C′中，
所以△ABC≌△A′B′C′ (SSS)。
感悟新知
知4－讲
4. 三角形三条边的长度确定后，它的形状和大小就确定了。
我 们 把 三 角 形 的 这 种 特 性 叫 作 三 角 形 的 稳 定 性。 稳 定 性是三角形特有 的，该 性 质 在 生 产 和 生 活 中 具 有 广 泛 的 应用，如斜拉式大桥的架构、自行车的车架等。
知4－讲
感悟新知
特别提醒
三角分别相等的两 个 三 角 形 形 状 相同、大小不一定相同，因此不一定全等。
感悟新知
知4－练
[中考·内江]如图 2.2-9，点 A， D， B， E 在同一条直线上，AD=BE， AC=DF， BC=EF。
(1)求证：△ ABC ≌△ DEF；
(2)若∠ A=55°，∠ E=45°，求∠ F 的度数。
例4
知4－练
感悟新知
解题秘方：找出两个三角形中边相等的条件，利用“ SSS” 判定两个三角形全等。
证明： 因为 AD=BE，
所以 AD+DB=BE+DB，即 AB=DE。
在△ ABC 和△ DEF 中，
所以△ ABC ≌ △ DEF（SSS）。
(1)求证：△ ABC ≌△ DEF；
知4－练
感悟新知
解： 因为△ ABC ≌ △ DEF， ∠ A=55° ，
所以∠ A= ∠ FDE=55° 。
又因为∠ E=45° ，
所以∠ F=180° - ∠ FDE- ∠ E=80° 。
(2)若∠ A=55°，∠ E=45°，求∠ F 的度数。
知4－练
感悟新知
4-1. [期末·淄博张店区] 如图， C 是 AB 的 中 点，AD=CE， CD=BE，求证：AD ∥ CE。
知4－练
感悟新知
感悟新知
知5－讲
知识点
“斜边、直角边”或“HL”
5
1. 直 角 三 角 形 全 等 的 判 定 定 理： 斜 边 和 一 条 直 角边 分 别 相等 的 两 个 直 角 三 角 形 全 等（简 写 成“斜 边、直 角 边”或 “ HL”）。
知5－讲
2. 书写格式 如图2.2-10，
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
所以 Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′ (HL)。
知5－讲
3. 判定两个三角形全等常用的思路方法
已知相等的元素 可选择的 判定方法 需寻找的条件
锐角 三角 形或 钝角 三角 形 两边(SS) SSS或SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等
一边及其邻 角(SA) SAS或ASA 或AAS 可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等
知5－讲
续表
已知相等的元素 可选择的 判定方法 需寻找的条件
锐角 三角 形或 钝角 三角 形 一边及其对 角(SA) AAS 可证另一角对应相等
两角 (AA) ASA或AAS 可证两角的夹边对应相等或证一相等角的对边对应相等
知5－讲
续表
已知相等的元素 可选择的 判定方法 需寻找的条件
直 角 三 角 形 一锐角(A) ASA或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角(或直角)的对边对应相等
斜边(H) HL或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等
知5－讲
续表
已知相等的元素 可选择的 判定方法 需寻找的条件
直 角 三 角 形 一直角边(L) HL或ASA 或AAS或 SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等
知5－讲
特别提醒
1. 应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt”.
2. 判定两个直角三角形全等的特殊方法(“HL”)，只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用.
3. 判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用.
4. 在用一般方法证明直角三角形全等时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可.
感悟新知
知5－练
已 知：如 图 2.2-11，点 E， F 在 线 段 BD 上， AF ⊥BD， CE ⊥ BD， AD=CB， DE=BF。
求证： AF=CE。
例5
知5－练
感悟新知
解题秘方：利用“ HL”证明两个直角三角形全等，为证明两条线段相等创造条件。
证明： 因为 DE=BF，所以 DE+EF=BF+EF，
即 DF=BE。
在 Rt △ ADF和 Rt △ CBE中，
所以 Rt △ ADF≌ Rt △ CBE（HL）。
所以 AF=CE。
知5－练
5-1. 如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线 AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF. 求证：∠ACB＝90°.
知5－练
三角形全等的判定
三角
形全
等的
判定
方法
三边(SSS)
两边及夹角(SAS)
两角一边(ASA或AAS)
斜边、直角边(HL)
直角
三角
形全
等的
判定
方法

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