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1.1 定义与命题
第一章 推理与证明
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
定义
命题及其组成
命题的真假
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
知1－讲
感悟新知
知识点
定义
1
定义： 能够说明一个概念含义的语句叫作这个概念的定义。
说明：(1)定义是对一个概念的独有的性质的描述；
(2) 定义的常见句型是陈述句，定义的一般形式有：“……叫 作 ……”“ …… 称 为 ……”“ …… 是 指 ……”“ ……是……”等；
(3)定义必须是严密的，语句不能含糊不清、模棱两可。
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特别解读
在定义中，必须提示该事物与其他事物的本质区别。
定义有两方面的运用，一是确定该事物的性质，二是判定该事物的方法。
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下列语句不属于定义的是( )
A. 连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离
B. 只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的方程是一元一次方程
C. 两直线平行，内错角相等
D. 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成 两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线
例1
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解： 选项 A， B， D 分别对两点间的距离、一元一次方程、角的平分线的含义进行描述，属于定义；选项 C 是平行线的性质，不属于定义。
解题秘方：紧扣定义是对名词或术语的含义进行描述说明或作出明确规定进行逐项识别。
答案：C
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1-1.下列语句中，是定义的是( )
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
C．三角形的角平分线是一条线段
D．同角的余角相等
B
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知识点
命题及其组成
2
1. 命题： 对某件事情作出判断的语句叫作命题。
说明：(1)命题只是对事情进行判断，判断的结果可能是正
确的，也可能是错误的；
(2)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语；
(3) 命题必须具有“判断”作用，要对事情作出肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句。
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归纳总结
1.可以判断真假的陈述句一定是命题。
2.定义一定是命题。
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2. 命题的组成
(1) 命题通常由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。
(2)命题的一般叙述形式是“如果……，那么……”。
有 时 为 了 叙 述 简 便，命 题 也 可 以 省 略 关 联 词“如 果”“那么”。如：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”可以简写成“同角的余角相等”。
说明： 有 些命题的条件和结论不够明显时要认真分析，先把命题改写成“如果… … ，那么… … ”的形式， 再找条件和结论。
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特别解读
在改写时，应适当地加一些语句（补充原来省略的部分或调换语序）以使语言通顺，但命题原意要保持不变。
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[母题 教材 P5 练习 T1 ]下列语句中哪些是命题？
(1)直角三角形中的两个锐角互余。
(2)正数都小于 0。
(3)如果∠ 1+ ∠ 2=180°，那么∠ 1 与∠ 2 互补。
(4)太阳不是行星。
(5)对顶角相等吗？
(6)作一个角等于已知角。
例2
虽然判断错误但仍是命题
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解题秘方：判 断 一 个 语 句 是 不 是 命 题，一 看 是 不 是 陈 述句，如 果 不 是 陈 述 句，而 是 疑 问 句、祈 使 句 等，那 么 不 是 命题，二要体会是否对某件事情作出了肯定或否定的判断，一般描述性的语句不是命题。
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解： (1)(2)(3)是命题，它们都对事情作出了肯定回答；(4)是命题，它对事情作出了否定回答；(5)不是命题，只表示疑问，并未作出判断；(6)不是命题，只是描述了一个作图的过程，不含有判断的意思。所以(1)(2)(3)(4)是命题，(5)(6)不是命题。
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2-1. [月考·临沂河东区] 下列语句中，不是命题的有( )
①两点之间，直线最短 ; ②作∠ A的平分线;
③连接A，B两点; ④无论n为怎样的自然数，式 子 n2－n+11 的 值都是质数吗
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
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[母题 教材 P5 练习 T3 ]将下列命题改写成“如果 ……，那么……”的形式，并指出它们的条件和结论。
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)平方后等于1的数是1；
(3)平行于同一条直线的两条直线平行。
例3
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解题秘方：命 题 改 写 注 意 事 项：(1)可 适 当 地 补 充 一 些修 饰 成 分，但 不 能 改 变 命 题 的 原 意；(2)语 句 要 通 顺、合 理；(3)条件和结论两部分都应该是一个独立完整的句子。
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解：(1)如 果 两 条 直 线 被 第 三 条 直 线 所 截，同 位 角 相 等，那么这两条直线平行。
条 件：两 条 直 线 被 第 三 条 直 线 所 截，同 位 角 相 等；结 论：这两条直线平行。
(2)如果一个数的平方等于 1，那么这个数是 1。
条件：一个数的平方等于 1；结论：这个数是 1。
(3)如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行。条件：两条直线平行于同一条直线；结论：这两条直线平行。
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3-1.将 下 列 命 题 改写 成“如 果 ……，那么……”的形式。
(1)对顶角相等；
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行；
(3)绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
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解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
(2)如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
(3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数。
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知识点
命题的真假
3
1. 命题的种类
(1) 真命题：当条件成立时，结论一定成立的命题叫作真命题。
(2) 假命题：当条件成立时，结论不一定成立的命题叫作假命题。
2. 反例： 满足命题条件，而结论却与命题结论不同的例子叫作命题的反例。只要能举出一个反例，就可以说明这个命题是假命题。
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思路点拨
识别命题真假的一般方法：
识别命题的真假，关键是在条件成立的前提下，看结论是否一定正确，可先举“特例” 验证，“特例”成立，还不能说明其为真命题，要将特殊形式转化为一般形式，再用推理的方法说明结论正确，若“特例”不成立，则原命题一定是假命题。
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[母题 教材 P5 习题 T2] 判断下列命题是真命题还是假命题。如果是假命题，请举出反例。
(1)互为补角的两个角相等；
(2)若a=b，则a+c=b+c；
(3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形的面积相等。
例4
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解题秘方：举反例时，要注意应满足命题的条件，但不满足命题的结论。反例一般都不是唯一的。
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解：(1)是假命题。
例如：设 ∠ 1=100°， ∠ 2=80°，则 ∠ 1 与 ∠ 2 互 为 补 角，但是∠ 1 ≠∠ 2。
(2)是真命题。 (3)是假命题。
例如：两个长方形的长和宽分别为 5,3 和 6，2，则它们的周 长 分 别 为 2×(5+3) =16，2×(6+2) =16，周 长 相 等，但 是面积分别为 5× 3=15，
6× 2=12，面积不相等。
知3－练
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4-1.判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举一个反例加以说明。
(1)三角形的三个内角中至少有一个角大于60°；
(2)若x=y，则x2=y2；
(3)若 AC=BC，则 点 C为线段AB的中点。
知3－练
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解：(1)是假命题，例如：等边三角形的三个内角都为60°。
(2)是真命题。
(3)是假命题，例如：当点C不在线段AB上，且AC＝BC时，点C不是线段AB的中点。
定义与命题
定义
命题
定义与命题
结构
真假
反例

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