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期末真题重组练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 虹口区校级期末）关于x的不等式3x+b＞ax﹣2的解集为一切实数，则所有符合题意的实数a，b满足（　　）
A．a+b≥1 B．a+b＞1 C．a+b≤1 D．a+b＜1
2．（2024秋 永善县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　）
A．60° B．45° C．40° D．30°
3．（2024秋 湘桥区期末）在式子：，，，中，分式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022秋 新丰县期末）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 庄浪县期末）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
6．（2024秋 如东县期末）计算的结果等于（　　）
A． B． C．m D．2
7．（2022春 汶上县期末）如图，某居民小区有一长方形土地，长32米，宽20米．居民想在长方形地内修筑宽均为2米的小路，余下的部分做绿化，为了使草坪更美观，有人建议把道路修成如图所示的形状，求绿化的面积为（　　）平方米．
A．640 B．600 C．540 D．504
8．（2024春 永春县期末）体育测试中，小超和小铭进行1000米测试，小超的速度是小铭的1.25倍，小超比小铭快了30秒，设小铭的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（　　）
A． B．30×1.25x﹣30x＝1000
C． D．
9．（2024秋 易县期末）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解，并且正确的是（　　）
A．9x﹣6y+3＝3（3x﹣2y） B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．（x+2）2＝x2+4x+4 D．x2+6x+8＝x（x+6）+8
10．（2025春 庐阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝60°，，D为AB边上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过点D作DE的垂线，F为垂线上任意一点，连接EF，G为线段DE垂直平分线与EF的交点，连接BG，则BG的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．3
二．填空题（共8小题）
11．（2025春 虹口区校级期末）不等式|x﹣2|+|1+x|≤5的解集为 　 　 ．
12．（2023秋 集美区期末）分式有意义，则x的值可以是 　 　 .（写出一个符合题意的x的值即可）
13．（2021秋 和硕县校级期末）一个多边形的内角和度数是720°，则它的边数是 　 　 ．
14．（2022春 梅江区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则底边BC上的高AD＝　 　 ．
15．（2022春 滕州市期末）对于实数a、b，定义一种新运算“Δ”为：aΔb，这里等式右边是实数运算例如：1Δ3．则方程xΔ（﹣3）1的解是 　 　 ．
16．（2025春 徐州期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝30°，直线l与边AB、AD分别相交于点M、N，则∠1+∠2＝　 　 ．
17．（2024春 沈丘县期末）如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AB＝CD，请添加一个条件　 　 （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
18．（2024春 垫江县期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
19．（2025春 西安期末）解方程：．
20．（2023春 潢川县期末）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
21．（2024秋 长寿区期末）先化简，再求值：，请从﹣3，﹣1，0这三个整数中选一个适当的数作为x的值代入求值．
22．（2025春 香洲区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．
求证：四边形ABED是平行四边形．
23．（2022春 邗江区期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中△A2BC2的面积．
24．（2024秋 新宾县期末）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
25．（2025春 河西区校级期末）如图，已知点A（a，0），B（b，0），满足，将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，并连接AC、BD．
（1）请直接写出点A、B、C和D的坐标；
（2）点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上平移运动，设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形OMDB的面积等于9？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：S三角形EMD﹣S三角形OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
26．（2023秋 鄱阳县校级期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1．
（1）已知分式，互为“和整分式”，则其“和整值”k的值为 　 　 ．
（2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值．
（3）在（2）的条件下，已知分式，，且P+Q＝t，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
期末真题重组练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B C D D C B D
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 虹口区校级期末）关于x的不等式3x+b＞ax﹣2的解集为一切实数，则所有符合题意的实数a，b满足（　　）
A．a+b≥1 B．a+b＞1 C．a+b≤1 D．a+b＜1
【解答】解：∵3x+b＞ax﹣2，
∴3x﹣ax＞﹣2﹣b，
（3﹣a）x＞﹣2﹣b，
∵关于x的不等式3x+b＞ax﹣2的解集为一切实数，
∴当3﹣a＝0，即a＝3时，0＞﹣2﹣b恒成立，此时b＞﹣2，
则a+b＞1，
故选：B．
2．（2024秋 永善县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　）
A．60° B．45° C．40° D．30°
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣30°）＝75°，
∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
∴BC＝BD，
∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°．
故选：B．
3．（2024秋 湘桥区期末）在式子：，，，中，分式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：分式有：，，共2个，
故选：B．
4．（2022秋 新丰县期末）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不合题意．
故选：B．
5．（2024秋 庄浪县期末）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AC＝AD+CD＝6．
故选：C．
6．（2024秋 如东县期末）计算的结果等于（　　）
A． B． C．m D．2
【解答】解：原式
＝2，
故选：D．
7．（2022春 汶上县期末）如图，某居民小区有一长方形土地，长32米，宽20米．居民想在长方形地内修筑宽均为2米的小路，余下的部分做绿化，为了使草坪更美观，有人建议把道路修成如图所示的形状，求绿化的面积为（　　）平方米．
A．640 B．600 C．540 D．504
【解答】解：平移后，阴影部分是长为（32﹣4）米，宽为（20﹣2）米的矩形，则其面积为：
（32﹣4）×（20﹣2）＝28×18＝504（平方米），
故选：D．
8．（2024春 永春县期末）体育测试中，小超和小铭进行1000米测试，小超的速度是小铭的1.25倍，小超比小铭快了30秒，设小铭的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（　　）
A． B．30×1.25x﹣30x＝1000
C． D．
【解答】解：设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为1.25x，小铭跑1000米用的时间为秒，小超跑1000米用的时间为秒，
由小超比小铭快了30秒，则可列方程．
故选：C．
9．（2024秋 易县期末）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解，并且正确的是（　　）
A．9x﹣6y+3＝3（3x﹣2y） B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．（x+2）2＝x2+4x+4 D．x2+6x+8＝x（x+6）+8
【解答】解：根据因式分解定义逐项分析判断如下：
9x﹣6y+3＝3（3x﹣2y+1），故错误，A不符合题意；
x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故正确，B符合题意；
（x+2）2＝x2+4x+4，是整式乘法，不是因式分解，故错误，C不符合题意；
x2+6x+8＝x（x+6）+8，不是因式分解，故错误，D不符合题意；
故选：B．
10．（2025春 庐阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝60°，，D为AB边上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过点D作DE的垂线，F为垂线上任意一点，连接EF，G为线段DE垂直平分线与EF的交点，连接BG，则BG的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．3
【解答】解：如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H，
∵DE⊥DF，G为EF的中点，
∴DG＝GE
∴点G在线段DE的垂直平分线上，
∵△AED为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∴AG为线段DE的垂直平分线，
∴AG⊥DE，，
∴点G在射线AH上，当BG⊥AH时，BG的值最小，如图所示，设点G′为垂足，
∵∠ACB＝90°，∠CBA＝60°，
∴∠CAB＝30°，∠ACB＝∠AG′B，∠CAB＝∠BAG′，
则在△BAC和△BAG′中，
∴△BAC≌△BAG′（AAS），
∴BG′＝BC，
在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，，
故∠CAB＝30°，
∴AB＝2BC，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴，
解得：BC＝3，
∴BG′＝3．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．（2025春 虹口区校级期末）不等式|x﹣2|+|1+x|≤5的解集为 　﹣2≤x≤3　 ．
【解答】解：当x＜﹣1时，2﹣x﹣x﹣1＝﹣2x+1≤5，
解得x≥﹣2，
∴﹣2≤x＜﹣1；
当﹣1≤x≤2时，2﹣x+1+x＝3＜5成立，
当x＞2时，x﹣2+x+1＝2x﹣1≤5，
解得x≤3，
∴﹣2≤x≤3；
故答案为：﹣2≤x≤3．
12．（2023秋 集美区期末）分式有意义，则x的值可以是 　2（答案不唯一）　 .（写出一个符合题意的x的值即可）
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故x的值可以是2．
故答案为：2（答案不唯一）．
13．（2021秋 和硕县校级期末）一个多边形的内角和度数是720°，则它的边数是 　6　 ．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
则180° （n﹣2）＝720°，
解得：n＝6，
故答案为：6．
14．（2022春 梅江区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则底边BC上的高AD＝　8　 ．
【解答】解：∵AB＝AC，AD为底边BC上的高，
∴∠ADC＝90°，，
∴．
故答案为：8．
15．（2022春 滕州市期末）对于实数a、b，定义一种新运算“Δ”为：aΔb，这里等式右边是实数运算例如：1Δ3．则方程xΔ（﹣3）1的解是 　x＝6　 ．
【解答】解：xΔ（﹣3）1，
1，
1，
1＝﹣2﹣（x﹣9），
解得：x＝6，
检验：当x＝6时，x﹣9≠0，
∴x＝6是原方程的根，
故答案为：x＝6．
16．（2025春 徐州期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝30°，直线l与边AB、AD分别相交于点M、N，则∠1+∠2＝　210°　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD的内角和为（4﹣2）×180°＝360°，∠A＝30°，
∴∠B+∠C+∠D＝360°﹣30°＝330°，
∵五边形BCDNM的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2＝540°﹣（∠B+∠C+∠D）＝540°﹣330°＝210°，
故答案为：210°．
17．（2024春 沈丘县期末）如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AB＝CD，请添加一个条件　AB∥CD或AD＝BC（答案不唯一）　 （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴当AB∥CD或AD＝BC时，四边形ABCD是平行四边形．
故答案为AB∥CD或AD＝BC．（答案不唯一）
18．（2024春 垫江县期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为　﹣2　 ．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥5，
解不等式②得：x＞a+2，
∵解集为x≥5，
∴a+2＜5，
∴a＜3；
分式方程两边都乘以（y﹣2）得：y﹣a＝﹣（y﹣2），
解得：y，
∵分式方程有非负整数解，
∴0，为整数，
∴a≥﹣2，a为偶数，
∵2，
∴a≠2，
综上所述，﹣2≤a＜3且a≠2且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a的数有：﹣2，0，
和为﹣2+0＝﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题（共8小题）
19．（2025春 西安期末）解方程：．
【解答】解：去分母得：2﹣x（x+1）＝x2﹣1，
解得：x＝1或，
检验：当x＝1时，x2﹣1＝0，
当x时，x2﹣1≠0，
∴分式方程的解为x．
20．（2023春 潢川县期末）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
∴不等式组的非负整数解有0、1．
21．（2024秋 长寿区期末）先化简，再求值：，请从﹣3，﹣1，0这三个整数中选一个适当的数作为x的值代入求值．
【解答】解：原式


，
∵x+1≠0且x+3≠0，
∴x可以取0，
当x＝0时，原式1．
22．（2025春 香洲区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．
求证：四边形ABED是平行四边形．
【解答】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
23．（2022春 邗江区期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中△A2BC2的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（﹣2，4）；
（2）如图，△A2BC2为所作；
（3）△A2BC2的面积＝3×33×12×13×2＝3.5．
24．（2024秋 新宾县期末）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
【解答】解：（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元，
由题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
则x+5＝15，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，
由题意得：15m+10×2m≤600，
解得：m，
∵m为正整数，
∴m的最大值为17，
答：购买吊兰的数量最多是17盆．
25．（2025春 河西区校级期末）如图，已知点A（a，0），B（b，0），满足，将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，并连接AC、BD．
（1）请直接写出点A、B、C和D的坐标；
（2）点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上平移运动，设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形OMDB的面积等于9？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：S三角形EMD﹣S三角形OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得：3a+b＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵平移，
∴C（﹣1+1，0+2），D（3+1，0+2），
∴C（0，2），D（4，2）；
（2）存在，
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，如图所示：
由题意可得：CD＝4，DH＝2，OB＝3，
设M点坐标为（0，t），连接MD、OD，
∴OM＝t，
∵S四边形OMDB＝S△OBD+S△OMD＝9，
∴，即，
解得t＝3，
存在这样的t＝3，使得四边形OMDB的面积等于9；
（3）不变，
当点N在线段OB上时，设运动时间为t秒，OM＝t，ON＝3﹣2t，
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，连接MD，OD，
∵S△EMD﹣S△OEN＝S四边形OMDN，S四边形OMDN＝S△OND+S△OMD，
∴S△EMD﹣S△OEN＝S△OND+S△OMD
＝3﹣2t+2t
＝3，
当点N运动到线段BO的延长线上时，
设运动时间为t秒，OM＝t，ON＝2t﹣3，连接OD，
S△EMD﹣S△OEN＝S△EMD+S△OED﹣（S△OEN+S△OED）＝S△OMD﹣S△OND
＝2t﹣（2t﹣3）＝3；
∴S△EMD﹣S△OEN为定值3，故其值不会变化．
26．（2023秋 鄱阳县校级期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1．
（1）已知分式，互为“和整分式”，则其“和整值”k的值为 　k＝2　 ．
（2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值．
（3）在（2）的条件下，已知分式，，且P+Q＝t，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
【解答】解：（1）∵分式，互为“和整分式”，
∴，
∴其“和整值”k的值为2；
（2）①∵，，
∴，
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，
∴3x2+2x﹣8+G＝3（x﹣2）（x+2）＝3x2﹣12，
∴G＝3x2﹣12﹣3x2﹣2x+8＝﹣2x﹣4；
②∵，且分式D的值为正整数t且x为正整数，
∴x﹣2＝﹣1或x﹣2＝﹣2，
∴x＝1或x＝0，
∵x为正整数，
∴x＝0（舍去），则x的值为1；
（3）由题意可得：，
∴，
∴，
∴（3﹣m）x﹣2＝2x﹣6，整理得：（1﹣m）x＝﹣4，
当1﹣m＝0，解得：m＝1，方程无解，
当1﹣m≠0，方程无解，则有增根x＝3，
将x＝3代入（1﹣m）x＝﹣4得，3（1﹣m）＝﹣4，解得：，
综上：m的值为：1或．
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