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期末真题重组练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 庐阳区校级期末）下列式子中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021秋 海淀区校级期末）函数y中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
3．（2024秋 城关区校级期末）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为25℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面h千米处的温度t为（　　）
A． B． C．t＝25﹣6h D．h＝25﹣6t
4．（2023春 铁岭期末）在某校举行的投篮比赛上，甲班有6名同学参加了比赛，比赛结束后，统计了他们各自的投篮数，成绩如下：4，5，10，6，10，11，则这组数据的中位数是（　　）
A．5 B．9 C．8 D．10
5．（2024秋 榆树市校级期末）如图，点E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．8
6．（2024秋 衡阳期末）下列各组3个整数是勾股数的是（　　）
A．4，5，6 B．6，8，9 C．13，14，15 D．8，15，17
7．（2020秋 李沧区期末）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则一次函数y＝kx的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2024春 淅川县期末）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形ABCD中，IJ∥KL，EF∥GH，∠1＝∠2＝30°，∠3的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．60°
二．填空题（共8小题）
9．（2023春 天河区期末）计算的结果是　 　 ．
10．（2024春 南昌期末）数学兴趣小组成员从“校园农场”中随机抽取了8棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数，分别为37，29，29，39，37，35，26，37．这组数据的众数是 　 　 ．
11．（2023春 阿城区期末）在平行四边形ABCD中，若∠A＝40°，则∠C＝　 　 ．
12．（2023春 洛宁县期末）若一次函数y＝﹣x+b（b为常数）的图象经过第一、二、四象限，则b的值可以为　 　 ．（写出一个即可）．
13．（2024春 桑植县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 　 　 ．
14．（2024秋 织金县期末）如图，正方形CEFG的顶点G正方形ABCD的边CD上，AF与CD交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为 　 　 ．
15．（2024秋 奉节县期末）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与y＝cx+d（c≠0）的图象在同一直角坐标系中如图所示，则关于x，y方程组的解为 　 　 ．
16．（2024秋 巴中期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝6，点E、F分别是边AB、AD上的动点，且AE＝DF，则EF的最小值是 　 　 ．
三．解答题（共10小题）
17．（2020秋 石景山区期末）计算：32．
18．（2023春 铁岭期末）先化简，再求值：（1），其中x＝2．
19．（2022秋 东明县期末）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F．求证：CE＝CF．
20．（2023秋 海陵区期末）为庆祝“改革开放45周年”，某校九（1）、九（2）两个班联合开展了一次关于改革开放以来国家伟大成就的知识竞赛．并从两个班分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析．抽取的10名学生成绩的部分数据如下：
九（1）班抽取的10名学生成绩从低到高排序后，中间6人成绩为：75，78，81，85，85，85，（其他4人成绩均不相同）；
九（2）班抽取的10名学生的成绩，其中5人成绩为：73，81，83，85，88；另外5人成绩的方差为46．
九（1）、九（2）班分别抽取的10名学生竞赛成绩统计表
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2）
九（1） 82 a b 51.8
九（2） 82 84 85 c
（1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ；
（2）根据以上随机抽取的数据，你认为本次知识竞赛中，哪个班级学生对改革开放以来国家伟大成就的了解情况更好？请说明理由．
21．（2024秋 任城区期末）已知：如图，BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADE，AE⊥AC．
（1）证明：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AE＝DE＝5，AD＝6，求AC的长．
22．（2024春 江门期末）科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小组为探究空气的温度x（℃）与声音在空气中传播的速度y（米/秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．如表为实验时记录的一些数据．
温度x（℃） … 0 5 10 15 20 …
声音在空气中传播的速度y（米/秒） … 331 334 337 340 343 …
（1）在如图的平面直角坐标系中，描出上面数据所对应的点．
（2）根据描点发现这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的类型最有可能是 　 　 （填“一次”、“二次”或“反比例”）函数，并求出该函数的表达式．
（3）某地冬季的室外温度是﹣10℃，小明同学看到烟花3秒后才听到声响，利用第（2）问的函数，求小明与燃放烟花地的距离．（光的传播时间忽略不计）
23．（2024秋 内乡县期末）一块田地的形状如图所示，已知AB＝13m，BC＝12m，CD＝3m，AD＝4m，∠ADC＝90°，求该田地的面积．
24．（2024秋 兴庆区校级期末）如图，直线l1：y＝﹣3x+3与坐标轴交于A、B两点，与过点C（4，0）的直线l2交于点D，且AD＝AB．
（1）求点D的坐标及直线l2的解析式；
（2）求△ADC的面积：
（3）在y轴上是否存在一点P，使|PC﹣PD|最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出|PC﹣PD|的最大值；若不存在，请说明理由．
25．（2024春 马尾区期末）某校八年级数学兴趣小组开展“测量旗杆高度”数学活动．
如图1，甲组利用含30°角的直角三角尺（即Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°）进行测量，小文同学将三角尺水平放置于眼前，使直角边BC垂直于地面l，行走到点P处时，视线透过AB边刚好经过旗杆顶部M．经测得，小文的眼睛离地面AP＝1.6m，点P离旗杆底部距离PN＝6m．
如图2，乙组发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面后多出一段DN，该绳子长度未知．
（1）根据甲组的方案，求旗杆MN的长（结果保留整数，其中1.73）；
（2）请利用卷尺，运用所学知识帮助乙组设计一个测量方案，并写出具体的求解旗杆MN长度的过程．（注：卷尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，卷尺测量得到的长度用a、b、c…表示，方案的相关图示在图2中标注出来，旗杆与绳子间距离忽略不计）
26．（2023春 龙沙区期末）综合与探索
【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥l交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A、B，
（1）直接写出OA＝　 　 ，OB＝　 　 ；
（2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，则点E的坐标为 　 　 ；
（3）如图3，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式；
【拓展应用】
（4）如图4，直线AB：y＝2x+8分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
期末真题重组练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C C B D B D
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 庐阳区校级期末）下列式子中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意，
D、是最简二次根式，符合题意，
故选：D．
2．（2021秋 海淀区校级期末）函数y中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
3．（2024秋 城关区校级期末）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为25℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面h千米处的温度t为（　　）
A． B． C．t＝25﹣6h D．h＝25﹣6t
【解答】解：某地面温度为25℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面h千米处的温度t为t＝25﹣6h，
故选：C．
4．（2023春 铁岭期末）在某校举行的投篮比赛上，甲班有6名同学参加了比赛，比赛结束后，统计了他们各自的投篮数，成绩如下：4，5，10，6，10，11，则这组数据的中位数是（　　）
A．5 B．9 C．8 D．10
【解答】解：将4，5，10，6，10，11按从小到大排序为4，5，6，10，10，11，
∵有6个数据，
∴中间的两个数据是6，10，
∴中位数是．
故选：C．
5．（2024秋 榆树市校级期末）如图，点E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．8
【解答】解：过点F作FG∥CD交AC于点G，
∴∠CDE＝∠GFE，∠DCE＝∠FGE，
在△CDE和△GFE中，
，
∴△CDE≌△GFE（AAS），
∴GE＝CE＝1，FG＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB且CD＝AB，
∴GF∥AB且GF＝AB，
∴四边形ABFG为平行四边形，
∴BF＝AG＝5﹣1﹣1＝3．
故选：B．
6．（2024秋 衡阳期末）下列各组3个整数是勾股数的是（　　）
A．4，5，6 B．6，8，9 C．13，14，15 D．8，15，17
【解答】解：A、42+52＝41≠62，故不是勾股数；
B、62+82＝100≠92，故不是勾股数；
C、132+142＝365≠152，故不是勾股数；
D、82+152＝289＝172，故是勾股数；
故选：D．
7．（2020秋 李沧区期末）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则一次函数y＝kx的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组无解，
∴7﹣k＝3k﹣1，解得k＝2，
∴一次函数y＝2x的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
8．（2024春 淅川县期末）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形ABCD中，IJ∥KL，EF∥GH，∠1＝∠2＝30°，∠3的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴∠1+∠MJG＝90°，∠2+∠MGJ＝90°，
∵∠1＝∠2＝30°，
∴∠MJG＝∠MGJ＝60°，
∴∠GMJ＝180°﹣∠MJG﹣∠MGJ＝60°，
∴∠5＝60°，
∵IJ∥KL，EF∥GH，
∴四边形NPMO是平行四边形，
∴∠4＝∠5＝60°，
∴∠3＝∠4＝60°，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2023春 天河区期末）计算的结果是　4　 ．
【解答】解：4．
故答案为：4．
10．（2024春 南昌期末）数学兴趣小组成员从“校园农场”中随机抽取了8棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数，分别为37，29，29，39，37，35，26，37．这组数据的众数是 　37　 ．
【解答】解：这8个数据中，37出现的次数最多，故众数为37．
故答案为：37．
11．（2023春 阿城区期末）在平行四边形ABCD中，若∠A＝40°，则∠C＝　40°　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝40°．
故答案为：40°．
12．（2023春 洛宁县期末）若一次函数y＝﹣x+b（b为常数）的图象经过第一、二、四象限，则b的值可以为　1　 ．（写出一个即可）．
【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
k＝﹣1，
∴b＞0，
故答案可以是：1（答案不唯一）．
13．（2024春 桑植县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 　3　 ．
【解答】解：连接DN．
∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EFDN，
∴DN最大时，EF最大．
∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB6，
∴EF的最大值为3．
故答案为：3．
14．（2024秋 织金县期末）如图，正方形CEFG的顶点G正方形ABCD的边CD上，AF与CD交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为 　3　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝6，AD∥BC，
∵四边形CEFG是正方形，
∴CE＝GF＝CG＝2，GF∥BC，
∴DG＝CD﹣CG＝4，
∵AD∥BC，GF∥BC，
∴AD∥GF，
∴△ADH∽△FGH，
∴，
即，
解得DH＝3，
故答案为：3．
15．（2024秋 奉节县期末）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与y＝cx+d（c≠0）的图象在同一直角坐标系中如图所示，则关于x，y方程组的解为 　　 ．
【解答】解：一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与y＝cx+d（c≠0）的图象交于点P的坐标为（4，3），
∴关于x，y方程组的解为．
故答案为：．
16．（2024秋 巴中期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝6，点E、F分别是边AB、AD上的动点，且AE＝DF，则EF的最小值是 　3　 ．
【解答】解：如图，连接AC，过点C作CG⊥AD于点G，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，AB＝6，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠B＝∠D＝∠BAC＝∠CAD＝60°，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，∠ACB＝60°，
∵CG⊥AD，
∴，
在Rt△ACG中，，
∵CF≥CG，
∴CF的最小值为，
在△ACE和△DCF中，
，
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴∠ACE＝∠DCF，CE＝CF，
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠DCF+∠ACF＝∠ACD＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CF，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
三．解答题（共10小题）
17．（2020秋 石景山区期末）计算：32．
【解答】解：原式＝328
＝928
＝15．
18．（2023春 铁岭期末）先化简，再求值：（1），其中x＝2．
【解答】解：
（1）
∴当x＝2时，
原式．
19．（2022秋 东明县期末）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F．求证：CE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，
∵AE⊥CD，AF⊥BC，
∴∠AED＝∠AFB，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（AAS），
∴DE＝BF，
∴CD﹣DE＝BC﹣BF，
∴CE＝CF．
20．（2023秋 海陵区期末）为庆祝“改革开放45周年”，某校九（1）、九（2）两个班联合开展了一次关于改革开放以来国家伟大成就的知识竞赛．并从两个班分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析．抽取的10名学生成绩的部分数据如下：
九（1）班抽取的10名学生成绩从低到高排序后，中间6人成绩为：75，78，81，85，85，85，（其他4人成绩均不相同）；
九（2）班抽取的10名学生的成绩，其中5人成绩为：73，81，83，85，88；另外5人成绩的方差为46．
九（1）、九（2）班分别抽取的10名学生竞赛成绩统计表
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2）
九（1） 82 a b 51.8
九（2） 82 84 85 c
（1）填空：a＝　83　 ，b＝　85　 ，c＝　35.8　 ；
（2）根据以上随机抽取的数据，你认为本次知识竞赛中，哪个班级学生对改革开放以来国家伟大成就的了解情况更好？请说明理由．
【解答】解：（1）九（1）班抽取的10名学生成绩从低到高排序后，中间6人成绩为：75，78，81，85，85，85，（其他4人成绩均不相同），
∴中位数a83，
∵85出现的次数最多，
∴众数b＝85，
九（2）班抽取的10名学生的成绩，其中5人成绩为：73，81，83，85，88；另外5人成绩的方差为46，
∴方差c[（73﹣82）2+（81﹣82）2+（83﹣82）2+（85﹣82）2+（88﹣82）2+46×5]＝35.8．
故答案为：83，85，35.8；
（2）九（2）班了解情况更好．
在平均数、众数相同的情况下，九（2）班中位数更高，所以九（2）班了解情况更好．
21．（2024秋 任城区期末）已知：如图，BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADE，AE⊥AC．
（1）证明：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AE＝DE＝5，AD＝6，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，AB＝BC，
在△ADB与△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠DAB＝∠DCB，
∵∠BCD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DAB，
∴DE∥AB，
∵AE⊥AC，
∴AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：∵AE＝DE＝5，四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝BD＝5，
∵AC⊥BD，
∴AD2﹣DF2＝AB2﹣BF2，
∴62﹣DF2＝52﹣（5﹣DF）2，
解得：DF＝3.6，
∴AF4.8，
∴AC＝2AF＝9.6，
故答案为：9.6．
22．（2024春 江门期末）科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小组为探究空气的温度x（℃）与声音在空气中传播的速度y（米/秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．如表为实验时记录的一些数据．
温度x（℃） … 0 5 10 15 20 …
声音在空气中传播的速度y（米/秒） … 331 334 337 340 343 …
（1）在如图的平面直角坐标系中，描出上面数据所对应的点．
（2）根据描点发现这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的类型最有可能是 　一次　 （填“一次”、“二次”或“反比例”）函数，并求出该函数的表达式．
（3）某地冬季的室外温度是﹣10℃，小明同学看到烟花3秒后才听到声响，利用第（2）问的函数，求小明与燃放烟花地的距离．（光的传播时间忽略不计）
【解答】解：（1）描出以表格中数据为坐标的各点如下：
（2）观察所描各点可得，这些点在同一条直线上，则这个函数的类型最有可能是一次函数，
故答案为：一次；
设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，
把（0，331），（5，334）代入得：
，
解得，
∴这条直线所对应的函数表达式为y＝0.6x+331；
（3）当x＝﹣10时，y＝0.6×（﹣10）+331＝325，
∴当气温是﹣10℃时，声音在空气中传播的速度为325米/秒，
∵小明同学看到烟花3秒后才听到声响，
∴325×3＝975（米），
∴小明与燃放烟花地的距离为975米．
23．（2024秋 内乡县期末）一块田地的形状如图所示，已知AB＝13m，BC＝12m，CD＝3m，AD＝4m，∠ADC＝90°，求该田地的面积．
【解答】解：连接AC，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，可得（m），
∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴该田地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积
AC BCAD CD
5×124×3
＝30﹣6
＝24（m2），
答：该田地的面积是24m2．
24．（2024秋 兴庆区校级期末）如图，直线l1：y＝﹣3x+3与坐标轴交于A、B两点，与过点C（4，0）的直线l2交于点D，且AD＝AB．
（1）求点D的坐标及直线l2的解析式；
（2）求△ADC的面积：
（3）在y轴上是否存在一点P，使|PC﹣PD|最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出|PC﹣PD|的最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）作DE⊥x轴于点，
由题意，∠BOA＝∠DEA＝90°，∠BAO＝∠DAE，
∵AD＝AB，
∴△DAE≌△BAO（AAS），
∴AE＝OA，DE＝OB，
由y＝﹣3x+3，令x＝0，得y＝3，
∴B（0，3），OB＝3，
令y＝0，得﹣3x+3＝0，得x＝1，
∴A（1，0），OA＝1，
∴AE＝OA＝1，OE＝2，DE＝OB＝3，
∴点D的坐标为（2，﹣3），
设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，
代入C（4，0）和D（2，﹣3），
得，
解得，
∴直线l2的解析表达式为；
∴点D的坐标为（2，﹣3），
直线l2的解析表达式为；
（2）由题意得，AC＝4﹣1＝3，DE＝3，
∴；
（3）存在，理由如下：
延长CD交y轴于点P，则点P即是所求的点，
此时|PC﹣PD|的最大值为线段CD的长度．
令x＝0，代入，
解得y＝﹣6，
∴点P的坐标为（0，﹣6）．
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
．
综上，点P的坐标为（0，﹣6）时，
|PC﹣PD|的最大值为．
25．（2024春 马尾区期末）某校八年级数学兴趣小组开展“测量旗杆高度”数学活动．
如图1，甲组利用含30°角的直角三角尺（即Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°）进行测量，小文同学将三角尺水平放置于眼前，使直角边BC垂直于地面l，行走到点P处时，视线透过AB边刚好经过旗杆顶部M．经测得，小文的眼睛离地面AP＝1.6m，点P离旗杆底部距离PN＝6m．
如图2，乙组发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面后多出一段DN，该绳子长度未知．
（1）根据甲组的方案，求旗杆MN的长（结果保留整数，其中1.73）；
（2）请利用卷尺，运用所学知识帮助乙组设计一个测量方案，并写出具体的求解旗杆MN长度的过程．（注：卷尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，卷尺测量得到的长度用a、b、c…表示，方案的相关图示在图2中标注出来，旗杆与绳子间距离忽略不计）
【解答】解：（1）∵旗杆MN和BC垂直于地面l，
∴∠AMQ＝∠ABC＝30°，
由题意，知APNQ是矩形，
∴AQ＝PN＝6m，QN＝AP＝1.6m，
∴MQ（cm），
∴MN＝MQ+QN1.6≈12（cm），
答：旗杆MN的长约为12m；
（2）（方案不唯一）先测出绳子多出的部分DN长度为a m，再将绳子拉直，使绳子末端贴在地面C处（如图），测出绳子末端C到旗杆底部N的距离b m，即可利用所学知识就能求出旗杆的长．
由测量方案可知，CM＝（MN+a）m，CN＝b m，
由勾股定理，得CM2＝MN2+CN2，即（MN+a）2＝MN2+b2，
解得MN（m），
答：旗杆MN长度为 m．
26．（2023春 龙沙区期末）综合与探索
【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥l交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A、B，
（1）直接写出OA＝　4　 ，OB＝　2　 ；
（2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，则点E的坐标为 　（﹣4，6）　 ；
（3）如图3，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式；
【拓展应用】
（4）如图4，直线AB：y＝2x+8分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在y＝2x+4中，分别令x＝0，y＝0，得y＝4，x＝﹣2，即点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
故答案为：4，2；
（2）过点E作EM⊥y轴于M，如图2，
则∠AEM+∠EAM＝90°，
∵EA⊥AB，
∴∠EAM+∠BAO＝90°，
∴∠AEM＝∠BAO，
∵AB＝AE，∠EMA＝∠AOB＝90°，
∴△EAM≌△ABO（ASA），
∴EM＝OA＝4，AM＝OB＝2，
∵OM＝OA+AM＝4+2＝6，
∴点E的坐标为（﹣4，6），
故答案为：（﹣4，6）；
（3）过点A作AD⊥y轴，过点C与AD交于点D与x轴交于点N，如图3，
易证△ACD≌△CNB，
设CD＝x，则BN＝x，AD＝2+x，
∴CN＝2+x，
∴2+x+x＝4，
解得x＝1，
∴C（﹣3，3），
设直线AC解析式为y＝kx+b，
代入，
解得，
∴l2的函数表达式为：yx+4；
（4）存在，理由如下：
①当正方形为ADCB时，如图4，过点D作DN⊥x轴于点N，易证△ADN≌△BAO，
∴DN＝OA＝4，AN＝OB＝8，
∴ON＝OA+AN＝12，
∴D（﹣12，4），
②当正方形为ADCB时，如图，
过点D作DN⊥x轴于点N，
易证△BDN≌△ABO，
∴BN＝OA＝4，DN＝OB＝8，
∴ON＝OB+BN＝12，
∴D（﹣8，12），
③∵点C在第二象限，以AB为对角线．
∴正方形为ACBD，如图，
过点D作DN⊥x轴于点N，
过点B作BM⊥y轴，DM⊥x轴，交于点M，
易证△ADN≌△DBM，
设ON＝x，则BM＝x，AN＝OA+ON＝4+x，DN＝BM＝x，
∴MN＝OB＝MD+DN＝4+x+x＝8，
∴x＝2，
∴D（2，2），
综上，点D的坐标为：（﹣12，4）、（﹣8，12）、（2，2）．
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