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期末真题重组过关卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 邹城市校级期末）有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（　　）
A．11 B．12 C．16 D．17
2．（2024春 邹城市校级期末）已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024春 防城港期末）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcosC+ccosB＝b，且a＝ccosB，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．（2024春 建平县校级期末）如图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（　　）
A．我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势
B．这六年销量的第60百分位数为536.5万辆
C．这六年增长率最大的为2019年至2020年
D．2020年销量高于这六年销量的平均值
5．（2024春 新余期末）已知向量，则在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024春 眉山期末）同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件A＝“x+y＝7”，事件B＝“xy为奇数”，事件C＝“x＞3”，则下列结论正确的是（　　）
A．A与B对立 B．
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
7．（2024春 邹城市校级期末）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图①），图②是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（　　）
A．高为2 B．母线长为3
C．表面积为14π D．体积为π
8．（2024春 高碑店市校级期末）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点．下列说法不正确的是（　　）
A．P点在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC体积不变
B．Q点在直线EF上运动时，直线GQ始终与平面AA1C1C平行
C．平面B1BD⊥平面ACD1
D．三棱锥D﹣EFG的体积为
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 日照期末）已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（　　）
A．极差是4 B．众数不等于平均数
C．方差是 D．75%分位数是3
（多选）10．（2024春 辽宁期末）已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．z的虚部为﹣2i
C．z在复平面内对应的点在第四象限
D．z的共轭复数为 3+2i
（多选）11．（2025春 武强县校级期末）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．a≥bsinA
B．若，则
C．若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形
D．若，则△ABC的形状能唯一确定
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 日照期末）已知向量，若，则m＝　 　 ．
13．（2024春 西安期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造．算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 　 　 ．
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式
演式
14．（2024春 顺德区校级期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024春 西安期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知b﹣ccosA＝2acosBcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若c＝4，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
16．（2024春 青秀区校级期末）一个不透明的袋中有3个红球，1个白球，球除了颜色外大小、质地均一致．设计了两个摸球游戏，其规则如表所示．
游戏1 游戏2
摸球方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球
获胜规则 若摸出的2球颜色相同，则甲获胜 若摸出的2球颜色不同，则乙获胜
（1）写出游戏1与游戏2的样本空间；求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的．
（2）甲与乙两人玩游戏2，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束．每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率．
17．（2024秋 天津期末）已知α为锐角，β为钝角，且，．
（1）求sin2β的值；
（2）求β﹣2α的值．
18．（2024春 闵行区校级期末）如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km、．测得tan∠MON＝﹣3，OA＝6km．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．码头Q在第一象限，且三个码头A、B、Q均在一条航线上．
（1）求码头Q点的坐标；
（2）海中有一处景点P（设点P在平面xOy内，PQ⊥OM，且PQ＝6km），游轮无法靠近．求游轮在水上沿旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标．
19．（2024春 辽宁期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D，E分别在AA1，CC1上，AD＝C1E＝λCC1（0＜λ＜1），记正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．
（1）求棱锥B﹣ACED的体积（结果用V表示）；
（2）当时，
①请在图中直接画出平面BDE与平面BAC的交线；（不写过程，保留作图痕迹）
②求证：平面BDE⊥平面BCE．
期末真题重组过关卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D D A C D D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD ACD AB
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 邹城市校级期末）有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（　　）
A．11 B．12 C．16 D．17
【解答】解：根据题意，数据从小到大排列为11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，
由于12×75%＝9，
则其上四分位数（16+18）＝17．
故选：D．
2．（2024春 邹城市校级期末）已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
，
则，即a﹣2﹣bi＝﹣2b+（2a+2）i，即，解得a＝﹣2，b＝2，
故z＝﹣2+2i，
复数z在复平面内的对应点（﹣2，2）在第二象限．
故选：B．
3．（2024春 防城港期末）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcosC+ccosB＝b，且a＝ccosB，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：由余弦定理及bcosC+ccosB＝b，
得，
化简可得：2a2＝2ab，即a＝b，
由余弦定理及a＝ccosB，得，
化简可得：a2+b2＝c2，
由勾股定理的逆定理可得：∠C为直角，
所以△ABC是等腰直角三角形．
故选：D．
4．（2024春 建平县校级期末）如图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（　　）
A．我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势
B．这六年销量的第60百分位数为536.5万辆
C．这六年增长率最大的为2019年至2020年
D．2020年销量高于这六年销量的平均值
【解答】解：对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A正确；
对于B，∵0.6×6＝3.6，将所有汽车销量数据从小到大排序，
∴销量的第60百分位数为第4个数据，第4个数据为536.5，
∴这六年销量的第60百分位数为536.5万辆，故B正确；
对于C，因为2019年至2020年的增长率为，
超过其他年份的增长率，故C正确；
对于D，这六年销量的平均数为：
，故D错误．
故选：D．
5．（2024春 新余期末）已知向量，则在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由已知条件可得，，
所以在方向上的投影向量为．
故选：A．
6．（2024春 眉山期末）同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件A＝“x+y＝7”，事件B＝“xy为奇数”，事件C＝“x＞3”，则下列结论正确的是（　　）
A．A与B对立 B．
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
【解答】解：依题意样本空间为：
Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36种，
事件A包含的基本事件有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，3），（6，1），共6种，
∴P（A），
事件B包含的基本事件为：
（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共9种，
∴P（B），
事件C包含的基本事件为：
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共18种，
∴P（C），
对于A，事件A与事件B互斥，不对立，A错误；
事件B与事件C同时发生的基本事件为：（5，1），（5，3），（5，5），共3种，
∴P（BC），故错误；
事件A与事件C同时发生的基本事件为：（4，3），（5，2），（6，1），共3种，
∴P（AC），
对于C，P（AC）＝P（A）P（C），故C正确；
对于D，P（BC）≠P（B）P（C），故D错误．
故选：C．
7．（2024春 邹城市校级期末）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图①），图②是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（　　）
A．高为2 B．母线长为3
C．表面积为14π D．体积为π
【解答】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr3，即r＝1；2πR6，即R＝2．
又圆台的母线长为l＝6﹣3＝3，所以圆台的高h，故A，B正确；
圆台的表面积S＝π（1+2）×3+π×12+π×22＝14π，故C正确；
圆台的体积Vπ×2（22+12+2×1）π，故D错误．
故选：D．
8．（2024春 高碑店市校级期末）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点．下列说法不正确的是（　　）
A．P点在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC体积不变
B．Q点在直线EF上运动时，直线GQ始终与平面AA1C1C平行
C．平面B1BD⊥平面ACD1
D．三棱锥D﹣EFG的体积为
【解答】解：选项A：因为P点在直线BC1上运动时，
△AD1P的面积为矩形ABC1D1的面积的一半，
C到平面ABC1D1的距离不变，
又，
所以三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故A说法正确；
选项B，Q点在直线EF上运动时，
由E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点，
可得EF∥AC，GF∥C1C，
又EF∩GF＝F，AC∩C1C＝C，EF，GF 平面GEF，AC，C1C 平面AA1C1C，
所以平面GEF∥平面AA1C1C，
又GQ 平面GEF，GQ始终与平面AA1C1C平行，故B说法正确；
选项C，因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥BB1，
BD∩BB1＝B，BD，BB1 平面BB1D1D，
所以AC⊥平面BB1D1D，
又AC 平面ACD1，所以平面B1BD⊥平面ACD1，故C说法正确；
选项D，S△DEF＝S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF﹣S△CDF
＝111
利用等体积法知VD﹣EFG＝VG﹣DEFS△DEF 1
，故D说法错误．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 日照期末）已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（　　）
A．极差是4 B．众数不等于平均数
C．方差是 D．75%分位数是3
【解答】解：一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3从小到大排列为0，1，2，2，2，3，4，
对于A，极差为4﹣0＝4，故A正确；
对于B，众数为2，平均数为（0+1+2+2+2+3+4）＝2，
∴众数等于平均数，故意B错误；
对于C，方差为S2[（0﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（2﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]，故C错误；
对于D，7×75%＝5.25，
∴75%分位数是3，故D正确．
故选：AD．
（多选）10．（2024春 辽宁期末）已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．z的虚部为﹣2i
C．z在复平面内对应的点在第四象限
D．z的共轭复数为 3+2i
【解答】解：，
，故A正确；
z的虚部为﹣2，故B错误；
z在复平面内对应的点的坐标为（3，﹣2），在第四象限，故C正确；
，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2025春 武强县校级期末）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．a≥bsinA
B．若，则
C．若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形
D．若，则△ABC的形状能唯一确定
【解答】解：选项A，因为sinB∈（0，1]，
所以，故A正确；
选项B，由及正弦定理，
可得，
则，故B正确；
选项C，由a2+b2＞c2及余弦定理，
可得，即C为锐角，
但无法判断角A和角B是否为锐角，
则△ABC不一定为锐角三角形，故C错误；
选项D，由正弦定理得，即，
又b＞a，所以B＞A，所以或，故D错误．
故选：AB．
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 日照期末）已知向量，若，则m＝　　 ．
【解答】解：向量，由，得，
所以．
故答案为：．
13．（2024春 西安期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造．算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 　　 ．
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式
演式
【解答】解：由题意，共有4根算筹，
当十位1根，个位3根，共有2个两位数13，17，
当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66，
当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71，
当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80，
其中质数有13，17，31，71，
∴取到的数字为质数的概率为P．
故答案为：．
14．（2024春 顺德区校级期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 　（0，）　 ．
【解答】解：由题意可得，故cosA﹣sinBcosA＝sinAcosB，
即，
因为C∈（0，π），所以，
因为A∈（0，π），所以或，
即或，即或，
若，则cosB＝0，则无意义，故，
又A+B+C＝π，所以，即，
因为，所以，，，
所以，解得，故，
由正弦定理可得
，
令，则，
设，
由对勾函数的性质可得f（t）在上单调递增，
所以，即．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2024春 西安期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知b﹣ccosA＝2acosBcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若c＝4，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）因为b﹣ccosA＝2acosBcosC，
由正弦定理可得sinB﹣sinCcosA＝2sinAcosBcosC，
在△ABC中，sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
所以sinAcosC＝2sinAcosBcosC，
因为C，所以cosC≠0，sinA＞0，
所以cosB，
因为B∈（0，π），
所以B；
（Ⅱ）c＝4，且△ABC的面积为，
即acsinB＝6，即a 4 6，
可得a＝6，
由余弦定理可得b2，
所以△ABC的周长为a+c+b＝6+4+210+2．
即△ABC的周长为10+2．
16．（2024春 青秀区校级期末）一个不透明的袋中有3个红球，1个白球，球除了颜色外大小、质地均一致．设计了两个摸球游戏，其规则如表所示．
游戏1 游戏2
摸球方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球
获胜规则 若摸出的2球颜色相同，则甲获胜 若摸出的2球颜色不同，则乙获胜
（1）写出游戏1与游戏2的样本空间；求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的．
（2）甲与乙两人玩游戏2，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束．每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率．
【解答】解：（1）记三个红球为1，2，3号，记白球为w号，用（x，y）表示两次摸球的情况，记游戏1与游戏2的样本空间分别为Ω1，Ω2，
Ω2＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，w），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，w），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，w），
（w，1），（w，2），（w，3），（w，w）}，
Ω1＝{（1，2），（1，3），（1，w），
（3，1），（3，2），（3，w），
（2，1），（2，3），（2，w），
（w，1），（w，2），（w，3）}，
记A1＝“在游戏1中甲获胜”，记A2＝“在游戏2中甲获胜”
A2＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（w，w）}，
A1＝{（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2）}，
，，
故游戏1是公平的．
（2）记Bi＝“甲获得第i局游戏胜利”，i＝1，2，3，记W＝“甲获得比赛胜利”，
由（1），
＝P（B1）P（B2）+P（）P（B2）P（B3）+P（B1）P（）P（B3），
．
17．（2024秋 天津期末）已知α为锐角，β为钝角，且，．
（1）求sin2β的值；
（2）求β﹣2α的值．
【解答】解：（1）；
（2）因为α为锐角，，可得，
由，可得，
所以，
则，
又因为，所以，而，
可得0＜β﹣2α＜π，所以．
18．（2024春 闵行区校级期末）如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km、．测得tan∠MON＝﹣3，OA＝6km．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．码头Q在第一象限，且三个码头A、B、Q均在一条航线上．
（1）求码头Q点的坐标；
（2）海中有一处景点P（设点P在平面xOy内，PQ⊥OM，且PQ＝6km），游轮无法靠近．求游轮在水上沿旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标．
【解答】解：（1）由题意得A（6，0），直线ON方程为y＝﹣3x，
设Q（x0，2），x0＞0，
由题意得，
解得x0＝4，
故Q（4，2）；
（2）因为直线AQ的方程为y＝﹣（x﹣6），即x+y﹣6＝0，
由可得x＝﹣3，y＝9，
故B（﹣3，9），
则直线AB方程为x+y﹣6＝0，
点P到直线AB的垂直距离最近，设垂足为C，
因为PQ⊥OM，且PQ＝6km，Q（4，2），
所以P（4，8），直线PC的方程为x﹣y+4＝0，
联立可得x＝1，y＝5，
故C（1，5）．
19．（2024春 辽宁期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D，E分别在AA1，CC1上，AD＝C1E＝λCC1（0＜λ＜1），记正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．
（1）求棱锥B﹣ACED的体积（结果用V表示）；
（2）当时，
①请在图中直接画出平面BDE与平面BAC的交线；（不写过程，保留作图痕迹）
②求证：平面BDE⊥平面BCE．
【解答】解：（1）根据题意可得梯形ACED的面积等于矩形ACC1A1的面积的一半，
∴棱锥B﹣ACED的体积为
V；
（2）①分别延长ED，CA，且两延长线交F，连接BF，则BF即为所求，图见解答；
②证明：由①知平面BDE及为平面BEF，且AF＝AC＝AB，
∴FB⊥BC，
又正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，FB 底面ABC，
∴FB⊥CC1，又BC∩CC1＝C，且BC，CC1 平面BCE，
∴FB⊥平面BCE，又FB 平面BEF，即FB 平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．
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