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期末真题重组练习卷-2024-2025学年高二数学下学期苏教版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 广东月考）二项式展开式中的第3项为（　　）
A． B．15 C． D．20
2．（2025春 广东月考）某智能机器人需执行包含5个不同指令A，B，C，D，E的程序，若每个指令只执行一次，指令A，B必须连续执行（顺序可以互换），指令C不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为（　　）
A．18 B．36 C．48 D．144
3．（2025春 蒙城县校级期末）如图，空间四边形OABC中，，点M为BC中点，点N在侧棱OA上，且ON＝2NA，则（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025春 武安市校级月考）某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为，两人都答对的概率为，则甲答对的前提下乙也答对的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 江西月考）设随机变量Z～N（μ，1），函数f（x）＝x3﹣3x2+Z x在定义域R上是单调递增函数的概率为，则P（1＜Z≤2）＝（　　）
附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.954．
A．0.1587 B．0.1355 C．0.2718 D．0.3413
6．（2025春 河南月考）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为BC，CC1的中点，设，，，则（　　）
A．22 B．22 C．22 D．22
7．（2025春 湖北月考）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号．已知2025年是蛇年，那么（1111+2）年后是（　　）
A．羊年 B．马年 C．龙年 D．兔年
8．（2025春 常州月考）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，如图所示，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 安徽月考）已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2， ，10）得到的回归直线方程为y＝﹣2x+1，且，剔除一个偏离回归直线较远的异常点（2，6）后，得到的新回归直线经过点（1，﹣3），则（　　）
A．变量x，y负相关
B．剔除异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C．新回归直线经过点（2，4）
D．新回归直线的斜率是﹣1
（多选）10．（2025春 蒙城县校级期末）若，则下列说法正确的是（　　）
A．（2﹣x）10的展开式中奇数项的二项式系数之和为29
B．
C．a1+a2+ +a10＝1
D．（2﹣x）10的展开式中二项式系数最大项为
（多选）11．（2025 盐城模拟）在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BCAD＝4，∠A＝60°，E为AD的中点，O为BE的中点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得平面A1BE⊥平面BCDE，则下列说法正确的有（　　）
A．BE⊥平面A1OC
B．点B到平面A1CD的距离为3
C．A1B与平面A1CD所成角的正弦值为
D．三棱锥A1﹣EBC外接球的表面积为
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 河南月考）已知离散型随机变量X的方差为64，则　 　 ．
13．（2025 沈阳校级一模）一个项数为6的正整数数列{an}满足a1＝3，且ak+1≥ak（1≤k≤5，k∈N），若a6为不大于10的偶数，则符合条件的数列{an}共有 　 　 个．
14．（2025 临澧县校级模拟）已知在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝6，A1B1＝2，侧棱长为4，点P在侧面BCC1B1上运动，且AP与平面BCC1B1所成角的正切值为，则CP长度的最小值为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 广东月考）某市环保部门推行垃圾分类，对某社区进行督导检查．该社区由甲、乙两个小区组成，甲小区有居民600户，乙小区有居民400户．已知甲小区居民参加过培训，每户正确垃圾分类的概率为0.9，乙小区尚未开展培训，每户正确垃圾分类的概率为0.6．
（1）若从该社区中随机抽查一户，求抽到的一户能正确垃圾分类的概率；
（2）在重点检查中环保部门对甲小区产生的10袋垃圾进行核查，已知这10袋中有8袋正确分类，现从中随机抽取3袋，求抽取的3袋中正确分类与没有正确分类的至少各有1袋的概率．
16．（2025春 蒙城县校级期末）甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片xn张，恰有2张银色纪念卡片的概率为pn，恰有1张银色纪念卡片的概率为qn．
（1）分别求p2，q2的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p．
（2）记an＝2pn+qn．
（ⅰ）证明数列{an﹣1}是等比数列；
（ⅱ）求xn的数学期望．（用n表示）
17．（2025春 上饶月考）为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查．数据显示，200人中中老年人共有75人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍．
年龄段 购车意向 合计
愿意购买新能源车 愿意购买燃油车
青年
中老年
合计
（1）完善2×2列联表，请根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关；
（2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数X的分布列和期望．
附：，n＝a+b+c+d．
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
18．（2025 湖南模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，平面BB1D1D．
（1）求点A1到平面ABCD的距离；
（2）若M是线段BB1上一点，平面MAC与平面BB1D1D夹角的余弦值为时，求的值．
19．（2025春 常州月考）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为的菱形，，PB＝PD．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若点P在平面ABCD内的投影为△ABD的重心，且直线CP与平面ABCD所成角为．
（i）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），当平面ABM和平面BCM所成角的正弦值为时，求的值．
期末真题重组练习卷-2024-2025学年高二数学下学期苏教版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C D B A B C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD ABD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 广东月考）二项式展开式中的第3项为（　　）
A． B．15 C． D．20
【解答】解：利用二项式的展开式，（k＝0，1，2，3，4，5，6），
所以．
故选：A．
2．（2025春 广东月考）某智能机器人需执行包含5个不同指令A，B，C，D，E的程序，若每个指令只执行一次，指令A，B必须连续执行（顺序可以互换），指令C不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为（　　）
A．18 B．36 C．48 D．144
【解答】解：已知每个指令只执行一次，指令A，B必须连续执行（顺序可以互换），指令C不能出现在最后一个位置，
把AB捆绑，相当于共有4个指令，AB内部排列有种排法，
C不排在最后一个位置，先排C有种排法，再排另外3个指令，
由分步乘法计数原理可得总的排列数为．
故选：B．
3．（2025春 蒙城县校级期末）如图，空间四边形OABC中，，点M为BC中点，点N在侧棱OA上，且ON＝2NA，则（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：．
故选：C．
4．（2025春 武安市校级月考）某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为，两人都答对的概率为，则甲答对的前提下乙也答对的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，事件A＝“甲答对该题目”，B＝“乙答对该题目”，
事件AB，即甲乙都答对该题目，
则有，，
所以．
故选：D．
5．（2025春 江西月考）设随机变量Z～N（μ，1），函数f（x）＝x3﹣3x2+Z x在定义域R上是单调递增函数的概率为，则P（1＜Z≤2）＝（　　）
附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.954．
A．0.1587 B．0.1355 C．0.2718 D．0.3413
【解答】解：根据题意可知，f（x）＝x3﹣3x2+Z x，所以f′（x）＝3x2﹣6x+Z＝3（x﹣1）2+Z﹣3，
若f′（x）＝3（x﹣1）2+Z﹣3≥0对任意实数x恒成立，则Z≥3，
所以，
又Z N（μ，1），所以μ＝3，σ＝1，μ﹣σ＝2，μ+σ＝4，μ﹣2σ＝1，μ+2σ＝5，
所以P（2＜Z≤4）≈0.683，P（1＜Z≤5）≈0.954，
则．
故选：B．
6．（2025春 河南月考）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为BC，CC1的中点，设，，，则（　　）
A．22 B．22 C．22 D．22
【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为BC，CC1的中点，设，，，
所以，
由于，
所以．
故选：A．
7．（2025春 湖北月考）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号．已知2025年是蛇年，那么（1111+2）年后是（　　）
A．羊年 B．马年 C．龙年 D．兔年
【解答】解：由
，
故1111+2除以12的余数为1，
已知2025年是蛇年，
故（1111+2）年后是马年．
故选：B．
8．（2025春 常州月考）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，如图所示，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：取A′D的中点N，连接PN，MN，
则PN，
∵M是A′C的中点，∴MN∥CD，MNCD，
∵CD∥PB，AB＝CD，PBAB，
∴MN∥PB且MN＝PB，
∴四边形PBMN为平行四边形，
∴MB∥PN，
∴∠A′PN为异面直线BM与PA′所成角，
在Rt△NA′P中，cos∠A′PN，
∴异面直线BM与PA'所成角的余弦值为．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 安徽月考）已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2， ，10）得到的回归直线方程为y＝﹣2x+1，且，剔除一个偏离回归直线较远的异常点（2，6）后，得到的新回归直线经过点（1，﹣3），则（　　）
A．变量x，y负相关
B．剔除异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C．新回归直线经过点（2，4）
D．新回归直线的斜率是﹣1
【解答】解：A选项，根据题意可知，由回归直线的斜率为﹣2，可知变量x，y负相关，故A选项正确；
B选项，剔除异常点后，拟合精度变好，故样本相关系数的绝对值变大，故B选项正确；
C选项，因为原回归直线方程为y＝﹣2x+1，且，
所以，
则剔除异常点后，，，
故新回归直线经过点（2，﹣4），故C选项错误；
D选项，因为新回归直线经过点（2，﹣4）和（1，﹣3），
所以新回归直线的斜率为，故D选项正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2025春 蒙城县校级期末）若，则下列说法正确的是（　　）
A．（2﹣x）10的展开式中奇数项的二项式系数之和为29
B．
C．a1+a2+ +a10＝1
D．（2﹣x）10的展开式中二项式系数最大项为
【解答】解：选项A，（2﹣x）10的展开式中奇数项的二项式系数之和为2n﹣1＝210﹣1＝29，即选项A正确；
选项B，要求|a0|+|a1|+…+|a10|，等价于求（2+x）10的展开式的所有系数之和，
令x＝1，则|a0|+|a1|+…+|a10|＝（2+1）10＝310，即选项B正确；
选项C，在（2﹣x）10的展开式中，令x＝0，则a0＝210，
令x＝1，则a0+a1+a2+ +a10＝1，
所以a1+a2+ +a10＝1﹣210，即选项C错误；
选项D，因为n＝10为偶数，
所以（2﹣x）10的展开式中二项式系数最大项为25 （﹣x）5，即选项D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2025 盐城模拟）在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BCAD＝4，∠A＝60°，E为AD的中点，O为BE的中点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得平面A1BE⊥平面BCDE，则下列说法正确的有（　　）
A．BE⊥平面A1OC
B．点B到平面A1CD的距离为3
C．A1B与平面A1CD所成角的正弦值为
D．三棱锥A1﹣EBC外接球的表面积为
【解答】解：选项A，由题意知，四边形ABCE是菱形，
所以AC⊥BE，
翻折后，A1O⊥BE，OC⊥BE，
因为A1O∩OC＝O，所以BE⊥平面A1OC，故选项A正确；
选项B，因为A1O⊥BE，平面A1BE⊥平面BCDE，平面A1BE∩平面BCDE＝BE，A1O 平面A1BE，
所以A1O⊥平面BCDE，
故以O为原点，OE，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（﹣2，0，0），C（0，2，0），D（4，2，0），A1（0，0，2），
所以（﹣2，0，﹣2），（4，0，0），（0，2，﹣2），
设平面A1CD的法向量为（x，y，z），则，
取y＝1，则x＝0，z＝1，所以（0，1，1），
所以点B到平面A1CD的距离为，故选项B错误；
选项C，设A1B与平面A1CD所成角为θ，
则sinθ＝|cos，|，
即A1B与平面A1CD所成角的正弦值为，故选项C正确；
选项D，设三棱锥A1﹣EBC外接球的球心为G，半径为R，
由对称性知，球心G在平面A1OC内，
设G（0，b，c），
因为GB＝GC＝GA1＝R，
所以，解得b＝c，R2，
所以三棱锥A1﹣EBC外接球的表面积为4πR2，故选项D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 河南月考）已知离散型随机变量X的方差为64，则　4　 ．
【解答】解：由题知D（X）＝64，
根据离散型随机变量的方差的性质可知．
故答案为：4．
13．（2025 沈阳校级一模）一个项数为6的正整数数列{an}满足a1＝3，且ak+1≥ak（1≤k≤5，k∈N），若a6为不大于10的偶数，则符合条件的数列{an}共有 　496　 个．
【解答】解：根据题意，正整数数列{an}中，若a1＝3，且ak+1≥ak（1≤k≤5，k∈N），
而a6为不大于10的偶数，则a6可取的值为4、6、8、10，
分4种情况讨论
当a6＝4时，a1＝3，则a2，a3，a4，a5可以取3或4，且逐项不减小，
此时满足条件的数列{an}的个数有5个；
当a6＝6，a1＝3，则a2，a3，a4，a5可以取3或4或5或6，且逐项不减小，
此时满足条件的数列{an}的个数有个；
当a6＝8，a1＝3，则a2，a3，a4，a5可以取3或4或5或6或7或8，且逐项不减小，
此时满足条件的数列{an}的个数有个；
当a6＝10，a1＝3，则a2，a3，a4，a5可以取3或4或5或6或7或8或9或10，
且逐项不减小，此时满足条件的数列{an}的个数有个；
综上，满足条件的数列{an}共有5+35+126+330＝496．
故答案为：496．
14．（2025 临澧县校级模拟）已知在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝6，A1B1＝2，侧棱长为4，点P在侧面BCC1B1上运动，且AP与平面BCC1B1所成角的正切值为，则CP长度的最小值为 　　 ．
【解答】解：延长正三棱台的三条侧棱交于O，则O﹣ABC为正四面体，棱长为6，
设H为△OBC的中心，连接AH，则AH⊥平面OBC，
由正弦定理得，
由勾股定理得，
又，且，故，
∴P点轨迹是以H为圆心，为半径的圆，
∴CP的最小值为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 广东月考）某市环保部门推行垃圾分类，对某社区进行督导检查．该社区由甲、乙两个小区组成，甲小区有居民600户，乙小区有居民400户．已知甲小区居民参加过培训，每户正确垃圾分类的概率为0.9，乙小区尚未开展培训，每户正确垃圾分类的概率为0.6．
（1）若从该社区中随机抽查一户，求抽到的一户能正确垃圾分类的概率；
（2）在重点检查中环保部门对甲小区产生的10袋垃圾进行核查，已知这10袋中有8袋正确分类，现从中随机抽取3袋，求抽取的3袋中正确分类与没有正确分类的至少各有1袋的概率．
【解答】解：已知甲小区居民参加过培训，每户正确垃圾分类的概率为0.9，乙小区尚未开展培训，每户正确垃圾分类的概率为0.6，
（1）用事件A表示“抽到甲小区的一户”，事件B表示“抽到乙小区的一户”，
事件C表示“能正确垃圾分类”，事件D表示“抽到的一户能正确垃圾分类”．
则P（A）＝0.6，P（B）＝0.4，P（C|A）＝0.9，P（C|B）＝0.6，
所以P（D）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）＝0.6×0.9+0.4×0.6＝0.78；
（2）3袋中正确分类与没有正确分类的至少各有1袋，
则正确分类的有1袋或2袋，
所以所求概率为．
16．（2025春 蒙城县校级期末）甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片xn张，恰有2张银色纪念卡片的概率为pn，恰有1张银色纪念卡片的概率为qn．
（1）分别求p2，q2的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p．
（2）记an＝2pn+qn．
（ⅰ）证明数列{an﹣1}是等比数列；
（ⅱ）求xn的数学期望．（用n表示）
【解答】（1）根据题意，p2表示“重复2次操作，甲手中恰有2张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况：
第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片；
第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片，
则，，，
q2表示“重复2次操作，甲手中恰有1张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况：
第一次甲交换金色卡，第二次甲交换银色卡；
第一次甲交换银色卡，第二次甲交换银色卡，乙交换银色卡或第二次甲交换金色卡，
乙交换金色卡，则．
其中p1+q1＝1，故交换一次不会出现x1＝0的情况，而，
操作两次就可能首次出现0张，其概率为．
（2）（ⅰ）证明：，
，
则a1＝2p1+q1＝4，，
因此，，
因此数列{an﹣1}是首项为，公比为的等比数列，
（ii）由已知及（i），得xn的所有可能取值为0，1，2，
其分布列为：
xn 0 1 2
P 1﹣pn﹣qn qn pn
从而．
17．（2025春 上饶月考）为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查．数据显示，200人中中老年人共有75人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍．
年龄段 购车意向 合计
愿意购买新能源车 愿意购买燃油车
青年
中老年
合计
（1）完善2×2列联表，请根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关；
（2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数X的分布列和期望．
附：，n＝a+b+c+d．
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
【解答】解：（1）中老年共有75人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍，
所以愿意购买新能源车的中老年人数为50人，愿意购买燃油车的中老年人数为25人，青年共有125人，
愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，所以青年中愿意购买新能源车为100人，愿意购买燃油车为25人．
故2×2列联表如下：
年龄段 购车意向 合计
愿意购买新能源车 愿意购买燃油车
青年 100 25 125
中老年 50 25 75
合计 150 50 200
，
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，
即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关；
（2）分层随机抽样抽取的6人中4人是青年人，2人是中老年人，
则X的可能取值为0，1，2，
则，，．
所以X的分布列如下：
X 0 1 2
P
则，
所以这5人中青年人数的期望为．
18．（2025 湖南模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，平面BB1D1D．
（1）求点A1到平面ABCD的距离；
（2）若M是线段BB1上一点，平面MAC与平面BB1D1D夹角的余弦值为时，求的值．
【解答】解：（1）连接AC交BD于点O，连接A1O，
∵A1C⊥平面BB1D1D，BD 平面BB1D1D，∴BD⊥A1C，
∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又A1C，AC 平面AA1C1C，A1C∩AC＝C，∴BD⊥平面AA1C1C．
又BD 平面ABCD，∴平面AA1C1C⊥平面ABCD．
∵BB1 平面BB1D1D，A1C⊥平面BB1D1D，∴A1C⊥BB1，
又BB1∥AA1，∴AA1⊥A1C，
在Rt△AA1C中，，∴．
又O为AC的中点，∴A1O＝1且A1O⊥AC，
又平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，平面AA1C1C⊥平面ABCD，A1O 平面AA1C1C，
∴A1O⊥平面ABCD．
故点A1到平面ABCD的距离为A1O＝1．
（2）以O为原点，分别以分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则A1（0，0，1），A（0，﹣1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），
，
设，
则，
设为平面MAC的一个法向量，
由，取x＝m，得，
由（1）知，平面BB1D1D的一个法向量，
设平面MAC与平面BB1D1D的夹角为θ，
则有，
解得，即．
19．（2025春 常州月考）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为的菱形，，PB＝PD．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若点P在平面ABCD内的投影为△ABD的重心，且直线CP与平面ABCD所成角为．
（i）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），当平面ABM和平面BCM所成角的正弦值为时，求的值．
【解答】解：（1）证明：连接BD交AC与点O，连接OP．因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC．
O为BD中点，且PB＝PD，所以BD⊥OP，
又因为AC∩OP＝O，AC 平面PAC，OP 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
因为BD 平面ABCD，
所以平面PAC⊥平面ABCD．
（2）（i）过P作PH⊥AC于点H，
因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，PH 平面PAC，
所以PH⊥平面ABCD，
因为点P在平面ABCD内的投影为△ABD的重心，
所以H即为△ABD的重心，且OH＝1，
∠PCH为直线CP与平面ABCD所成角，即，故PH＝CH，
底面是边长为的菱形，，故△ABD，△CBD均为等边三角形，
故，所以CH＝3+1＝4，所以PH＝CH＝4．
故菱形ABCD的面积为，
所以四棱锥P﹣ABCD的体积．
（ii）以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过O点作平面ABCD的垂线作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（0，﹣3，0），C（0，3，0），，，P（0，﹣1，4）．
设，故M（0，3﹣4m，4m）（0＜m＜1）．
设平面ABM的一个法向量为，
，，
则，则，
取y＝﹣3m，则．
设平面BCM的一个法向量为，
，，
则，则，
取，则，
设平面ABM和平面BCM所成角为θ，
则，
因为，所以，
所以，
化简得4m2﹣4m+1＝0，
解得，所以．
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