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期末真题重组练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 江西模拟）老师从7篇不同的诗歌中随机抽3篇让同学背诵，规定至少能背出其中2篇才算及格，甲同学只能背诵其中的3篇，则他能及格的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 益阳模拟）已知△ABC是边长为6的等边三角形，O是△ABC的内心，P是△ABC内（不含边界）的一点，则的取值范围为（　　）
A．（0，18） B． C． D．
3．（2025春 佛冈县月考）若，则下列各式中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025春 广东月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，，AD∥CD，BC＝2AD＝2，，若四边形ABCD的斜二测直观图为A′B′C′D′，则直观图中四边形A′B′C′D′的周长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 遵义月考）某工厂生产A，B两种型号的产品共5600件，其中A型号的产品3200件，现采用分层随机抽样的方法从中抽取280件进行质检，则B型号的产品被抽取的件数为（　　）
A．80 B．120 C．160 D．200
6．（2025春 遵义月考）在△ABC中，，，若△ACD的面积为6，则△BCM的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2025 襄城区校级模拟）若复数z满足1+iz＝i，则z的虚部为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
8．（2025春 常州月考）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，如图所示，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 开封模拟）A，B，C，D四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的以下统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（　　）
A．平均数为3，中位数为4
B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4
D．中位数为3，方差为2.8
（多选）10．（2025春 安徽月考）在△ABC中，，，，则（　　）
A． B．
C．△ABC的面积为 D．
（多选）11．（2025春 吴中区校级月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．三棱锥A1﹣APD的体积为定值
B．A1P∥平面ACD1
C．AP+B1P的最小值为
D．当A1，C，D1，P四点共面时，四面体B1PA1C1的外接球的体积为
三．填空题（共3小题）
12．（2025 浦东新区校级三模）复数，则|z|＝　 　 ．
13．（2025春 浦东新区校级期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b+c＝8，，5sinB＝3sinC，则a＝ 　 　 ．
14．（2025春 福贡县月考）给出下列命题：
①若，则；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 遵义月考）甲、乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为，且甲、乙每局比赛的结果互不影响．
（1）求三局比赛结束的概率；
（2）求四局比赛结束且甲获胜的概率；
（3）若第一局甲获胜，求最终乙赢得比赛的概率．
16．（2025春 惠州月考）已知平面向量，，，且，．
（1）求在方向的投影向量的坐标；
（2）若，且，求向量的坐标；
（3）若与的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
17．（2025 焦作三模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，AO＝OC，BD＝2，∠AOB，且DO＞BO，记∠ABO＝α，∠CDO＝β．
（1）证明：AB＝CD；
（2）证明：sinα＝sinβ；
（3）记∠OCD＝θ，若，求sinθ的值．
18．（2025春 宝山区期末）上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图△ABC，设想在其中规划出三个功能区：△PBC为露营区，△PAB为垂钓区，△PAC为活动区．已知△ABC为直角三角形，，，，P为△ABC 内一点，且．
（1）安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知PB＝2km，
①求∠PCB的大小；
②求护栏PA的长度（精确到0.01）；
（2）求露营区面积的最大值．
19．（2025 沈阳校级一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点．
（1）若F为线段BC上的动点，证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若F为线段BC上的动点，探究是否存在点F使得PD∥平面AEF，说明理由；
（3）若F为线段DC的中点，PA＝2，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥P﹣AEGF与P﹣ABCD的体积之比．
期末真题重组练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A C B B B C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC ACD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 江西模拟）老师从7篇不同的诗歌中随机抽3篇让同学背诵，规定至少能背出其中2篇才算及格，甲同学只能背诵其中的3篇，则他能及格的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，他能及格的概率为P．
故选：A．
2．（2025 益阳模拟）已知△ABC是边长为6的等边三角形，O是△ABC的内心，P是△ABC内（不含边界）的一点，则的取值范围为（　　）
A．（0，18） B． C． D．
【解答】解：已知△ABC是边长为6的等边三角形，O是△ABC的内心，P是△ABC内（不含边界）的一点，
则，
又在上的投影向量的模长的取值范围是，
所以的取值范围是（0，18）．
故选：A．
3．（2025春 佛冈县月考）若，则下列各式中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意知：故可得P与P1和P2的位置关系如图所示：
且|P1P|＝4|P2P|，
由向量共线定理可得，，，，
可得不正确的为A．
故选：A．
4．（2025春 广东月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，，AD∥CD，BC＝2AD＝2，，若四边形ABCD的斜二测直观图为A′B′C′D′，则直观图中四边形A′B′C′D′的周长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，四边形ABCD是直角梯形，其中，AD∥CD，
由斜二测画法，作出对应的x′轴，y′轴，使∠x′B′y′＝45°．如图：
则有，
作A′F⊥B′C′于点F，作D′E⊥B′C′于E，则四边形A′D′EF为矩形，且，
由∠A′B′F＝45°得△A′B′F为等腰直角三角形，故．
由四边形A′D′EF为矩形得，，
所以，故，
所以四边形A′B′C′D′的周长为．
故选：C．
5．（2025春 遵义月考）某工厂生产A，B两种型号的产品共5600件，其中A型号的产品3200件，现采用分层随机抽样的方法从中抽取280件进行质检，则B型号的产品被抽取的件数为（　　）
A．80 B．120 C．160 D．200
【解答】解：工厂生产A，B两种型号的产品共5600件，其中A型号的产品3200件，
现采用分层随机载抽样的方法从中抽取280件进行质检，
设B型号的产品被抽取的件数为x，则，解得x＝120．
故选：B．
6．（2025春 遵义月考）在△ABC中，，，若△ACD的面积为6，则△BCM的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：因为，因此，
因此，
因此，
又，因此AD＝3MD，
因此，
因此．
故选：B．
7．（2025 襄城区校级模拟）若复数z满足1+iz＝i，则z的虚部为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【解答】解：由1+iz＝i，
得z，
可得复数z的虚部为1．
故选：B．
8．（2025春 常州月考）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，如图所示，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：取A′D的中点N，连接PN，MN，
则PN，
∵M是A′C的中点，∴MN∥CD，MNCD，
∵CD∥PB，AB＝CD，PBAB，
∴MN∥PB且MN＝PB，
∴四边形PBMN为平行四边形，
∴MB∥PN，
∴∠A′PN为异面直线BM与PA′所成角，
在Rt△NA′P中，cos∠A′PN，
∴异面直线BM与PA'所成角的余弦值为．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 开封模拟）A，B，C，D四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的以下统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（　　）
A．平均数为3，中位数为4
B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4
D．中位数为3，方差为2.8
【解答】解：对于A，若中位数为4，若出现6，则5个数之和至少为16，则平均数大于3，故一定不可能有6出现，故A正确；
对于B，当投掷骰子出现结果为：2，2，3，4，6，满足中位数为3，众数为2，但出现了6，故B错误；
对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差2.4．所以一定没有6出现，故C正确；
对于D，当投掷骰子出现结果为：2，3，3，5，6时，中位数为3，
方差为s2[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（5﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，
可以出现点数6，故D错误．
故选：AC．
（多选）10．（2025春 安徽月考）在△ABC中，，，，则（　　）
A． B．
C．△ABC的面积为 D．
【解答】解：对于A，设AC，BC的中点分别为E，F，
△ABC的重心为G，
由，，
得，
，
由，得，
则AB⊥AG，，故A正确；
对于B，在△ABG中，由，，
得，，
在△ABE中，由余弦定理，
得AE2＝AB2+BE2﹣2AB BE cos∠ABG
3+9﹣9＝3，
解得，则，
因此，故B错误；
对于C，由，，
可得，故C正确；
对于D，设AB的中点为M，
则，
而，
则，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2025春 吴中区校级月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．三棱锥A1﹣APD的体积为定值
B．A1P∥平面ACD1
C．AP+B1P的最小值为
D．当A1，C，D1，P四点共面时，四面体B1PA1C1的外接球的体积为
【解答】解：对于A，因为BC1∥AD1，BC1不在平面ADD1A1内，AD1 平面ADD1A1，
所以BC1∥平面ADD1A1，又P∈BC1，
所以点P到平面ADD1A1的距离为1，
又为定值，
故定值，A正确；
对于B，因为AD1∥BC1，A D1 平面AD1C，BC1 平面AD1C，所以BC1∥平面AD1C，
同理可知A1C1∥平面AD1C，
又BC1∩A1C1＝C1，BC1，A1C1 平面A1C1B，
所以平面A1C1B∥平面ACD1，
由于A1P 平面A1C1B，故A1P∥平面ACD1，B正确．
对于C，展开两线段所在的平面，得矩形A B C1 D1及等腰直角三角形B1BC1，
连接AB1，交BC1于点P，此时AP+B1P最小，最小值即为AB1的长，
过点B1作B1N⊥AB，交AB的延长线于点N，
其中，
故，又勾股定理得，C错误；
对于D，点P在点B处，A1，C，D1，P四点共面，
四面体B1PA1C1的外接球即正方体的外接球，
故外接球的半径为，所以该球的体积为，D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 浦东新区校级三模）复数，则|z|＝　2　 ．
【解答】解：由复数模的公式可知，．
故答案为：2．
13．（2025春 浦东新区校级期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b+c＝8，，5sinB＝3sinC，则a＝ 　　 ．
【解答】解：根据5sinB＝3sinC，可得5b＝3c，结合b+c＝8，解得b＝3，c＝5．
△ABC中，∠A，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝9+25﹣2×3×519，可得a．
故答案为：．
14．（2025春 福贡县月考）给出下列命题：
①若，则；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是　③　 ．
【解答】解：若，则①不成立；
起点相同的单位向量，终点未必相同；
对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；
共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上．
故答案为：③．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 遵义月考）甲、乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为，且甲、乙每局比赛的结果互不影响．
（1）求三局比赛结束的概率；
（2）求四局比赛结束且甲获胜的概率；
（3）若第一局甲获胜，求最终乙赢得比赛的概率．
【解答】解（1）根据题意，若三局比赛结束，即连胜三局获胜或乙连胜三局获胜，
其中甲连胜三局获胜的概率，乙连胜三局获胜的概率，
故三局比赛结束的概率 ；
（2）根据题意，若四局比赛结束且甲获胜，则前3局甲输1局，第4局胜，
其概率为．
（3）根据题意，设第一局甲获胜，最终乙赢得比赛的事件为B，
有2种情况，
①乙连赢3局，其概率为，
②第2，3，4局乙输1局，第5局赢，其概率为，
所以．
16．（2025春 惠州月考）已知平面向量，，，且，．
（1）求在方向的投影向量的坐标；
（2）若，且，求向量的坐标；
（3）若与的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）因为，，
所以，，
所以在上的投影向量为．
（2）设，因为，所以x2+y2＝20，①
因为，且，所以x＝﹣2y，②
由①②解得或，
所以或（4，﹣2）；
（3）因为，，
所以，，
因为与的夹角为锐角，
所以，
即，解得k＞﹣9且k≠1，
所以实数k的取值范围为（﹣9，1）∪（1，+∞）．
17．（2025 焦作三模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，AO＝OC，BD＝2，∠AOB，且DO＞BO，记∠ABO＝α，∠CDO＝β．
（1）证明：AB＝CD；
（2）证明：sinα＝sinβ；
（3）记∠OCD＝θ，若，求sinθ的值．
【解答】（1）证明：设OB＝x，则OD＝2﹣x．
在△OAB中，由余弦定理得，，
在△OCD中，由余弦定理得，，
所以AB2＝CD2，即AB＝CD．
（2）证明：在△OAB中，由正弦定理得，，
在△OCD中，由正弦定理得，，
由（1）知AB＝CD，
又AO＝CO，所以sinα＝sinβ．
（3）解：由（2）知sinα＝sinβ，
若α＝β，则△ABO≌△CDO，得BO＝DO，与已知矛盾，
若α+β＝π，则，
因为，
所以，即，
整理得，即，解得．
18．（2025春 宝山区期末）上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图△ABC，设想在其中规划出三个功能区：△PBC为露营区，△PAB为垂钓区，△PAC为活动区．已知△ABC为直角三角形，，，，P为△ABC 内一点，且．
（1）安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知PB＝2km，
①求∠PCB的大小；
②求护栏PA的长度（精确到0.01）；
（2）求露营区面积的最大值．
【解答】解：（1）①在△PBC中，由正弦定理，得，
解得，易知∠PCB为锐角，所以；
②△PBC中，，，从而，
又，所以，在△PAB中，
由余弦定理得，
计算得PA＝4.54km，即护栏PA的长度为4.54km；
（2）设，则，
由正弦定理得，则，
，
因为，则当，即时，，
所以露营区面积的最大值为．
19．（2025 沈阳校级一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点．
（1）若F为线段BC上的动点，证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若F为线段BC上的动点，探究是否存在点F使得PD∥平面AEF，说明理由；
（3）若F为线段DC的中点，PA＝2，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥P﹣AEGF与P﹣ABCD的体积之比．
【解答】解：（1）证明：在△PAB中，因为PA＝AB，且E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，
又因为PA⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，
所以PA⊥BC，
因为AB⊥BC，AB∩PA＝A，且AB，PA 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
又因为AE 平面PAB，所以AE⊥BC，
因为PB∩BC＝B，且PB，BC 平面PBC，
所以AE⊥平面PBC，因为AE 平面AEF，
所以平面AEF⊥平面PBC；
（2）存在，理由如下：
如图所示，连接AC，BD交于点O，可得O为BD的中点，
因为E为PB的中点，所以OE∥PD，
又因为PD 平面ACE，OE 平面ACE，所以PD∥平面ACE，
当点F与点C重合时，此时PD∥平面AEF，
即在BC上存在点F，使得PD∥平面AEF．
（3）如图所示，连接EF，则四棱锥P﹣AEGF可分为P﹣AEF和P﹣GEF两个三棱锥，
因为PA＝AB＝2，且PA⊥底面ABCD，
所以四棱锥P﹣ABCD的体积为，
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），E（1，0，1），F（1，2，0），
则．，，，
设，其中0＜t＜1，
则（0，0，2）+t（2，2，﹣2）＝（2t，2t，2﹣2t），
因为A，E，G，F共面，
则存在实数x，y使得，
即（2t，2t，2﹣2t）＝x （1，0，1）+y （1，2，0），
可得，
解得，
即，
所以G为PC的靠近C的三等分点，
因为F为线段DC的中点，可得，
即，
又因设E到平面PCD的距离为d，B到平面PCD的距离为d1，
则，
所以，
又因为F为线段DC的中点，且BC⊥平面PAB，
因为BC∥AB，BC 平面PAB，AB 平面PAB，
所以BC∥平面PAB，
所以F到平面PAB的距离等于C到平面PAB的距离，此时距离为BC＝2，
则，
所以，
所以．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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