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期末真题重组过关卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 蒙城县校级期末）已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
2．（2024秋 江阳区校级期末）正项等比数列{an}中，a4＝1，a5a11＝81，则a6＝（　　）
A． B．3 C．6 D．9
3．（2025春 蒙城县校级期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a2＝2，an+1+an＝3n，则（　　）
A．S19＝300
B．n为奇数时，
C．S31＝720
D．a4＝6
4．（2025春 江西月考）若函数存在极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C．[﹣2，1] D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
5．（2025春 张家口月考）已知定义在（0，6]上的函数f（x）的图象如图，则不等式f′（x）＜0的解集为（　　）
A．（0，2） B．（2，4）
C．（4，6） D．（0，2）∪（4，6）
6．（2025 河南一模）设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn+3＝2an+n，则S10＝（　　）
A．520 B．521 C．1033 D．1034
7．（2025 福建模拟）已知a1，a2，a3，a4是等差数列，b1，b2，b3，b4是公比为q的等比数列，{k∈{1，2，3，4}|ak＝bk}为3元集，则q＝（　　）
A． B．
C．﹣2 D．以上答案都不对
8．（2025 湖北模拟）已知函数，若f（a）+f（b）＝0，则a2+b2的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 广东月考）已知f（x）是定义在R上的可导函数，则（　　）
A．若f′（x）＞0，则f（x）是增函数
B．若f′（0）＝0，则0是f（x）的极值点
C．若g（x）＝[f（x）]2，则g′（x）＝2f′（x）
D．若f（x）＞f′（x），则是减函数
（多选）10．（2025春 江西月考）设函数，数列{an}满足，则（　　）
A．a1＝3
B．数列是等比数列
C．
D．
（多选）11．（2025 沈阳校级一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1，则（　　）
A．数列{an}是递减数列
B．数列{an}可以是等比数列
C．0＜an≤1
D．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 广东月考）函数的极大值是 　 　 ．
13．（2025 开福区模拟）已知数列{an}．的前n项和为Sn，且an+2+an﹣2an+1＝0（n∈N*）．若a11+a15+a19＝12，则S29＝　 　 ．
14．（2025 浦东新区校级三模）已知函数f（x）＝2x2﹣1，正数数列{an}满足f（an+1）且a1≠1，若不等式|an+2﹣an+1|≤λ|an+1﹣an|恒成立，则实数λ的最小值为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 福建模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，．
（1）求证：数列是等差数列．
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．
16．（2025春 湖北月考）已知函数f（x）＝lnx﹣ax．
（1）讨论函数y＝f（x）的单调性；
（2）当a＝﹣1时，曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线与曲线y＝mx2+（2m+3）x+1（m≠0）只有一个公共点，求实数m的值．
17．（2025春 广东月考）已知{an}是公差不为0的等差数列，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列，{bn}为公比为2的等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}的前n项和为Sn，若S6＝126，记数列{cn}满足，求数列{cn}的前2n项和T2n．
18．（2025春 龙岗区校级期中）已知函数，在x＝1处的切线与直线x+y+1＝0垂直．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的最大值．
19．（2025春 四川校级期中）已知数列{an}满足，其中n∈N*．
（1）设，求证：数列{bn}是等差数列；
（2）在（1）的条件下，求数列的前n项和Sn；
（3）在（1）的条件下，若，是否存在实数λ，使得对任意的n∈N*，都有cn+1＞cn，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．
期末真题重组过关卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B B B C A B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD BCD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 蒙城县校级期末）已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
【解答】解：函数f（x）在x＝x0处可导，且，．
故选：B．
2．（2024秋 江阳区校级期末）正项等比数列{an}中，a4＝1，a5a11＝81，则a6＝（　　）
A． B．3 C．6 D．9
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
因为数列{an}为正项等比数列，所以q＞0，由题a4＝1，
则，所以q2＝3，
所以．
故选：B．
3．（2025春 蒙城县校级期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a2＝2，an+1+an＝3n，则（　　）
A．S19＝300
B．n为奇数时，
C．S31＝720
D．a4＝6
【解答】解：已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a2＝2，an+1+an＝3n，
将an+1+an＝3n中的n换为n+1，可得an+2+an+1＝3（n+1），两式作差，得an+2﹣an＝3，
当n为奇数，{an}是首项为1，公差为3的等差数列，即，
当n为偶数，{an}是首项为2，公差为3的等差数列，即，
对于A，，，
S19＝（a1+a3+ +a19）+（a2+a4+ +a18）
，故A错误；
对于C，，，
所以S31＝（a1+a3+ +a31）+（a2+a4+ +a30）
，故C错误；
对于D，a4＝a2+3＝5，故D错误；
对于B，n为奇数时，
，故B正确．
故选：B．
4．（2025春 江西月考）若函数存在极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C．[﹣2，1] D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
【解答】解：由函数，可得f′（x）＝x2﹣2ax﹣（a﹣2）存在变号零点，
则Δ＝（﹣2a）2+4（a﹣2）＞0，解得a＜﹣2或a＞1，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．
故选：B．
5．（2025春 张家口月考）已知定义在（0，6]上的函数f（x）的图象如图，则不等式f′（x）＜0的解集为（　　）
A．（0，2） B．（2，4）
C．（4，6） D．（0，2）∪（4，6）
【解答】解：由函数图象可得，
当x∈（2，4）时，f（x）单调递减，
所以f′（x）＜0．
故选：B．
6．（2025 河南一模）设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn+3＝2an+n，则S10＝（　　）
A．520 B．521 C．1033 D．1034
【解答】解：设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn+3＝2an+n，
当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1﹣3，解得a1＝2，
当n≥2时，由Sn+3＝2an+n，可得Sn﹣1+3＝2an﹣1+n﹣1，
两式相减得an＝2an﹣2an﹣1+1，即an＝2an﹣1﹣1，则an﹣1＝2（an﹣1﹣1），
因此数列{an﹣1}是以a1﹣1＝1为首项，2为公比的等比数列，
则，即，
于是，所以．
故选：C．
7．（2025 福建模拟）已知a1，a2，a3，a4是等差数列，b1，b2，b3，b4是公比为q的等比数列，{k∈{1，2，3，4}|ak＝bk}为3元集，则q＝（　　）
A． B．
C．﹣2 D．以上答案都不对
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，其中n∈N*，n≤4，
根据{k∈{1，2，3，4}|ak＝bk}为3元集，
可知{an}、{bn}不可能是常数列，d≠0，q≠1且各项不为零．
从而可得a1＝b1，a2＝b2，a4＝b4或a1＝b1，a3＝b3，a4＝b4．
（1）若a1＝b1，a2＝b2，a4＝b4．
设a1＝b1＝a，则，两式消去d，可得aq3﹣3aq+2a＝0，
即a（q3﹣3q+2）＝0，结合a≠0，可得q3﹣3q+2＝0，
整理得（q+2）（q﹣1）2＝0，解得q＝﹣2（q＝1舍去）．
（2）若a1＝b1，a3＝b3，a4＝b4．
设a1＝b1＝a，则，两式消去d，可得2aq3﹣3aq2+a＝0，
即a（2q3﹣3q2+1）＝0，结合a≠0，可得2q3﹣3q2+1＝0，
整理得（2q+1）（q﹣1）2＝0，解得q（q＝1舍去）．
综上所述，q的值为﹣2或．
故选：A．
8．（2025 湖北模拟）已知函数，若f（a）+f（b）＝0，则a2+b2的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：因为，
所以f（x）+f（）＝lnx+x0，
又0在（0，+∞）上恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若f（a）+f（b）＝0，则a0，即ab＝1，a＞0，b＞0，
则a2+b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 广东月考）已知f（x）是定义在R上的可导函数，则（　　）
A．若f′（x）＞0，则f（x）是增函数
B．若f′（0）＝0，则0是f（x）的极值点
C．若g（x）＝[f（x）]2，则g′（x）＝2f′（x）
D．若f（x）＞f′（x），则是减函数
【解答】解：若导函数f′（x）＞0，那么函数f（x）是增函数，因此选项A正确；
当f′（0）＝0时，0不一定是函数f（x）的极值点，如函数f（x）＝x3，f′（0）＝0，
但函数f（x）没有极值，因此选项B错误；
若函数g（x）＝[f（x）]2，那么导函数g′（x）＝2f（x）f′（x），因此选项C错误；
由于f（x）＞f′（x），因此，
因此在R上是减函数，故D正确．
故选：AD．
（多选）10．（2025春 江西月考）设函数，数列{an}满足，则（　　）
A．a1＝3
B．数列是等比数列
C．
D．
【解答】解：对于A：因为a2＝f（a1），即，解得a1＝2，故A错误；
对于B：因为，所以，
又，所以是以3为首项，3为公比的等比数列，故B正确；
对于C：由B可知，则，
又，
所以，故C正确；
对于D：，
当且仅当，即an＝1时成立，
又an＞1，所以，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2025 沈阳校级一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1，则（　　）
A．数列{an}是递减数列
B．数列{an}可以是等比数列
C．0＜an≤1
D．
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1，
整理有，又a1＝1＞0，由此可得an＞0，
对于A选项，因为，即an＞an+1，
所以数列{an}为递减数列，所以A正确；
对于B选项，若{an}是等比数列，则由可知为定值，
又因为a1＝1，所以，即，
与矛盾，所以数列{an}不可以是等比数列，所以B错误；
对于C，因为an＞0，且{an}为递减数列，又a1＝1，所以0＜an≤1，所以C正确；
对于D，由，an＞0，两边取倒数有，
整理有，
可得
＝a1+a2+a3+ +an，
即，又a1＝1，所以，
整理得：，所以D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 广东月考）函数的极大值是 　　 ．
【解答】解：要求函数的极大值，即求g（x）＝x3+3x2+1的极小值，
因为g′（x）＝3x2+6x＝3x（x+2），
当x∈（﹣∞，﹣2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（﹣2，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）极小值＝g（0）＝1，
故x＝0时，f（x）取得极大值．
故答案为：．
13．（2025 开福区模拟）已知数列{an}．的前n项和为Sn，且an+2+an﹣2an+1＝0（n∈N*）．若a11+a15+a19＝12，则S29＝　116　 ．
【解答】解：∵，
∴2an+1＝an+an+2，∴{an}为等差数列，
∴a11+a19＝a1+a29＝2a15，
∵a11+a15+a19＝12，∴a15＝4，
∴．
故答案为：116．
14．（2025 浦东新区校级三模）已知函数f（x）＝2x2﹣1，正数数列{an}满足f（an+1）且a1≠1，若不等式|an+2﹣an+1|≤λ|an+1﹣an|恒成立，则实数λ的最小值为 　　 ．
【解答】解：依题意，函数f（x）＝2x2﹣1，正数数列{an}满足且a1≠1，
所以，，即an≠1，
所以，
所以不等式|an+2﹣an+1|≤λ|an+1﹣an|恒成立等价于恒成立，
由得，
令，则an+2＝g（an+1），
则恒成立．
令
所以函数表示双曲线在第一象限的一部分，
双曲线的渐近线为，所以对应图象上任意两点的连线的斜率的取值范围是，
即的取值范围是，
所以的最小值为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 福建模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，．
（1）求证：数列是等差数列．
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．
【解答】（1）证明：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，．
即，
所以，
则，
又，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）可得，
又，
则，
所以，①
则，②
①﹣②可得
，
所以．
16．（2025春 湖北月考）已知函数f（x）＝lnx﹣ax．
（1）讨论函数y＝f（x）的单调性；
（2）当a＝﹣1时，曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线与曲线y＝mx2+（2m+3）x+1（m≠0）只有一个公共点，求实数m的值．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），导函数，
当a≤0时，导函数f′（x）＞0恒成立，因此函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，令导函数f′（x）＜0，得；令导函数f′（x）＞0，得，
因此函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．
（2）由函数f（x）＝lnx+x，可得导函数，f′（1）＝2．
因此函数f（x）＝lnx+x在点（1，1）处的切线为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，
由于切线y＝2x﹣1与y＝mx2+（2m+3）x+1（m≠0）只有一个公共点，
因此根据消去y得mx2+（2m+1）x+2＝0（m≠0），由Δ＝0得，
综上，实数m的值为．
17．（2025春 广东月考）已知{an}是公差不为0的等差数列，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列，{bn}为公比为2的等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}的前n项和为Sn，若S6＝126，记数列{cn}满足，求数列{cn}的前2n项和T2n．
【解答】解：（1）因为{an}是公差不为0的等差数列，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列，
所以a1+3d＝7，，d≠0，
解得a1＝1，d＝2，
所以an＝2n﹣1；
（2）因为数列{bn}为公比为2的等比数列，
由S6＝126得，所以b1＝2，则，
所以
所以T2n＝（a1+a3+ +a2n﹣1）+（b2+b4+ +b2n）
．
18．（2025春 龙岗区校级期中）已知函数，在x＝1处的切线与直线x+y+1＝0垂直．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的最大值．
【解答】解：（1）函数，则，
依题意f'（1）＝2+a＝1，a＝﹣1．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），
由（1）可知，．
．
f'（x）和f（x）随x的变化情况如下表：
x
f'（x） + 0 ﹣
f（x） 单调递增 ln2﹣1 单调递减
．
19．（2025春 四川校级期中）已知数列{an}满足，其中n∈N*．
（1）设，求证：数列{bn}是等差数列；
（2）在（1）的条件下，求数列的前n项和Sn；
（3）在（1）的条件下，若，是否存在实数λ，使得对任意的n∈N*，都有cn+1＞cn，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．
【解答】证明：（1）已知数列{an}满足，其中n∈N*，
设，
则
，
又，
所以数列{bn}是首项为2，公差为2的等差数列；
解：（2）根据等差数列的通项公式可得bn＝b1+（n﹣1）d＝2+（n﹣1）×2＝2n，
则，
，
，
①﹣②得：，
所以，
则数列的前n项和为；
（3）存在，理由如下：
，
，
则，
若对任意的n∈N*，都有cn+1＞cn，
则等价于恒成立，
即恒成立，n∈N*，
当n为偶数时，，则，
当n为奇数时，时，则，
综上，存在，使得对任意的n∈N*，都有cn+1＞cn．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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