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期末真题重组过关卷-2024-2025学年高二数学下学期苏教版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 江门期末）（1﹣2x）7的展开式的第4项的系数为（　　）
A．280 B．560 C．﹣280 D．﹣560
2．（2024秋 龙岗区期末）已知向量（﹣1，2，1），（3，x，1），且⊥，那么||等于（　　）
A． B．2 C． D．5
3．（2024秋 衡水期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（　　）
A．900 B．600 C．450 D．150
4．（2024春 桦南县校级期末）已知线性回归方程相应于点（2，5.5）的残差为﹣0.1，则的值为（　　）
A．﹣2.4 B．﹣2.5 C．2.4 D．2.5
5．（2025春 武强县校级期末）若，则a1+a2+…+a2025＝（　　）
A．42025﹣1 B．42025+1 C．42025 D．0
6．（2025春 武强县校级期末）某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”．满分100分，得分80分及其以上为“优秀”．比赛的结果是：高一年级优秀率约是70%，高二年级优秀率约是75%，高三年级优秀率约是80%．其中高一高二高三年级人数比为13：12：15，那么全校“优秀率”约是（　　）
A．73.75% B．75.00% C．75.25% D．76.25%
7．（2025春 仙游县期末）已知直线l的方向向量为（﹣1，0，1），点A（1，2，﹣1）在l上，则点P（2，﹣1，2）到l的距离为（　　）
A． B．4 C． D．3
8．（2024秋 淄博期末）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（　　）
A．1 B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 武强县校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．相关变量x，y的线性回归方程为，若样本点中心为（﹣3m，15），则m＝﹣3
B．的展开式中二项式系数和为32
C．在独立性检验中，随机变量χ2的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小
D．甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.95和0.8，则模型甲的拟合效果更好
（多选）10．（2025春 武强县校级期末）2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（　　）
A．《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法
B．两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法
C．两部动画片相邻放映，共有48种排法
D．3部喜剧电影不相邻，共有24种排法
（多选）11．（2024春 平顶山期末）如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，AB∥CD，AB＝6，过点A，B，C，D向上底面作垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，点M，N分别是线段CC1，AA1上的动点，点Q为上底面圆内（含边界）任意一点，则（　　）
A．若平面DMN交线段BB1于点R，则NR∥DM
B．若平面DMN过点B1，则直线MN过定点
C．△ABQ的周长为定值
D．当点Q在上底面圆周上运动时，记直线QA，QB与下底面所成角分别为α，β，则的取值范围是
三．填空题（共3小题）
12．（2022秋 宝山区校级期末）二项式的展开式中的常数项为 　 　 ．
13．（2024春 鹿邑县期末）已知A工厂库房中的某种零件60%来自甲公司，正品率为90%；40%来自乙公司，正品率为95%，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为 　 　 ．
14．（2024春 贵州校级期末）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，，BC＝4，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥P﹣ABCD内切球表面上一点，则点M到直线CD距离的最小值为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2019春 松江区期末）如图，P是圆锥的顶点，AB是底面圆O的一条直径，OC是一条半径，且∠AOC＝60°，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为8π的半圆面．
（1）求该圆锥的体积；
（2）求异面直线PB与AC所成角的大小．
16．（2025春 武强县校级期末）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响．
（1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；
（2）设甲击中目标的次数为X，求X的分布列和数学期望．
17．（2025春 武强县校级期末）2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求
（1）若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？
（2）若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？
18．（2020春 荆州期末）教育部最近颁发的《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》中指出，劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．某中学鼓励学生多做家务劳动，提升自理能力和劳动技能，争做家长的好帮手，增进家庭和谐度．学校为了解该校学生参加家务劳动的情况，从中随机抽查了100名学生，统计了他们双休日两天家务劳动的时间，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）求这100名学生双休日两天家务劳动的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．
（2）以这100名学生双休日两天家务劳动的时间位于各区间的频率代替该校所有学生双休日两天家务劳动的时间位于该区间的概率．从该校所有学生中随机抽取4个人，求恰好有1个人是“双休日两天家务劳动的时间不少于3小时”的概率；
（3）用分层抽样的方法从这100人中抽取8人，再从抽取的8人中随机抽取2人，Y表示抽取的是“双休日两天家务劳动的时间不少于3小时”的人数，求Y的分布列及数学期望E（Y）．
19．（2022春 徐州期末）如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，，．
（1）求证：BD∥平面AEG；
（2）求二面角C﹣SD﹣E的余弦值；
（3）在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由．
期末真题重组过关卷-2024-2025学年高二数学下学期苏教版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C D A C C B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD ABC AB
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 江门期末）（1﹣2x）7的展开式的第4项的系数为（　　）
A．280 B．560 C．﹣280 D．﹣560
【解答】解：由于（1﹣2x）7的展开式的第4项为 T4 （﹣2x）3＝﹣280x3，
∴展开式的第4项的系数为﹣280，
故选：C．
2．（2024秋 龙岗区期末）已知向量（﹣1，2，1），（3，x，1），且⊥，那么||等于（　　）
A． B．2 C． D．5
【解答】解：因为（﹣1，2，1），（3，x，1），且⊥，
所以﹣1×3+2x+1×1＝0，即x＝1，所以（3，1，1），
所以，
故选：C．
3．（2024秋 衡水期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（　　）
A．900 B．600 C．450 D．150
【解答】解：由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生，
所以可以分成2，2，2或1，2，3两类，
当6人分成2，2，2三组，有种分法，
当6人分成1，2，3三组，有种分法，
所以不同的安排方法种数为360+90＝450种．
故选：C．
4．（2024春 桦南县校级期末）已知线性回归方程相应于点（2，5.5）的残差为﹣0.1，则的值为（　　）
A．﹣2.4 B．﹣2.5 C．2.4 D．2.5
【解答】解：由线性回归方程，
取x＝2，得，
又相应于点（2，5.5）的残差为﹣0.1，
∴5.5﹣20.6＝﹣0.1，解得．
故选：D．
5．（2025春 武强县校级期末）若，则a1+a2+…+a2025＝（　　）
A．42025﹣1 B．42025+1 C．42025 D．0
【解答】解：若，
令x＝0，可得a0＝1，
令x＝1，可得42025＝a0+a1+a2+…+a2025，
所以．
故选：A．
6．（2025春 武强县校级期末）某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”．满分100分，得分80分及其以上为“优秀”．比赛的结果是：高一年级优秀率约是70%，高二年级优秀率约是75%，高三年级优秀率约是80%．其中高一高二高三年级人数比为13：12：15，那么全校“优秀率”约是（　　）
A．73.75% B．75.00% C．75.25% D．76.25%
【解答】解：高一年级优秀率约是70%，高二年级优秀率约是75%，高三年级优秀率约是80%．其中高一高二高三年级人数比为13：12：15，
则由全概率公式可得：
．
故选：C．
7．（2025春 仙游县期末）已知直线l的方向向量为（﹣1，0，1），点A（1，2，﹣1）在l上，则点P（2，﹣1，2）到l的距离为（　　）
A． B．4 C． D．3
【解答】解：根据题意，得；
（﹣1，3，﹣3），
（﹣1，0，1），
∴cos，，
∴sin，；
又∵||，
∴点P（2，﹣1，2）到直线l的距离为
||sin，．
故选：C．
8．（2024秋 淄博期末）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（　　）
A．1 B． C． D．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
E（2，2，0），A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），
（0，2，0），（﹣2，4，0），（﹣2，0，2），
设平面ACD1的法向量（x，y，z），
则，取y＝1，得（2，1，2），
∴点E到平面ACD1的距离为d．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 武强县校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．相关变量x，y的线性回归方程为，若样本点中心为（﹣3m，15），则m＝﹣3
B．的展开式中二项式系数和为32
C．在独立性检验中，随机变量χ2的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小
D．甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.95和0.8，则模型甲的拟合效果更好
【解答】即：对于A，因为线性回归方程过样本点中心点（﹣3m，15），
所以15＝2×（﹣3m）+m，
解得m＝﹣3，故A正确；
对于B，二项式的展开式中二项式系数和为25＝32，故B正确；
对于C，在独立性检验中，随机变量χ2的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，故C错误；
对于D，因为决定系数越大，模型拟合效果越好，
由0.95＞0.8，所以模型甲的拟合效果更好，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2025春 武强县校级期末）2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（　　）
A．《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法
B．两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法
C．两部动画片相邻放映，共有48种排法
D．3部喜剧电影不相邻，共有24种排法
【解答】解：对于A，《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，
共有96种排法，
即A正确；
对于B，两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），
一定共有60种排法，
即B正确；
对于C，两部动画片相邻放映，
共有48种排法，
即C正确；
对于D，3部喜剧电影不相邻，
共有12种排法，
即D错误．
故选：ABC．
（多选）11．（2024春 平顶山期末）如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，AB∥CD，AB＝6，过点A，B，C，D向上底面作垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，点M，N分别是线段CC1，AA1上的动点，点Q为上底面圆内（含边界）任意一点，则（　　）
A．若平面DMN交线段BB1于点R，则NR∥DM
B．若平面DMN过点B1，则直线MN过定点
C．△ABQ的周长为定值
D．当点Q在上底面圆周上运动时，记直线QA，QB与下底面所成角分别为α，β，则的取值范围是
【解答】解：对于A：由题意得DC∥AB，AB 平面ABB1A1，DC 平面ABB1A1，
所以DC∥平面ABB1A1，
又CC1∥BB1，BB1 平面ABB1A1，CC1 平面ABB1A1，
所以CC1∥平面ABB1A1，
因为DC∩CC1＝C，DC，CC1 平面DCC1D1，
故平面DCC1D1∥平面ABB1A1，
又DM 平面DCC1D1，故DM∥平面ABB1A1，
又DM 平面DMN，平面DMN∩平面ABB1A1＝NR，所以DM∥NR，故A正确；
对于B：根据题意，DB1，MN共面，
又M∈CC1，N∈AA1，故MN 平面ACC1A1，
不妨设DB1∩平面ACC1A1＝P，
若要满足DB1与MN共面，则直线MN必过点P，又P为定点，故B正确；
对于C：设△ABQ的周长为l，
当点Q与B1重合时，l＝AB+BB1+AB1＝6+41010+2；
当点Q与A1B1中点重合时，连接BQ，AQ，
，
显然△ABQ周长不为定值，故C错误；
对于D：过Q作底面的垂线，垂足为E，且在下底面圆周上，即QE⊥面ABCD，
连接BE，AE，则∠QAE，∠QBE分别是直线QA，QB与下底面ABCD所成的角，
所以，
则，
则，
因为QE＝4，AB＝6，底面圆半径为，
若E在AB对应优弧上时，，
在△AEB中，由余弦定理得，
所以，当且仅当AE＝BE＝6时，等号成立，此时AE2+BE2≤72，
若E在AB对应劣弧上时，，
在△AEB中，由余弦定理得，
所以，当且仅当时等号成立，
此时AE2+BE2≥24，
综上可得AE2+BE2∈[24，72]，
所以∈[，]，
故，故D错误．
故选：AB．
三．填空题（共3小题）
12．（2022秋 宝山区校级期末）二项式的展开式中的常数项为 　15　 ．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为TC，r＝0，1，…，6，
令3，解得r＝2，
所以展开式的常数项为C15，
故答案为：15．
13．（2024春 鹿邑县期末）已知A工厂库房中的某种零件60%来自甲公司，正品率为90%；40%来自乙公司，正品率为95%，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为 　0.92　 ．
【解答】解：A工厂库房中的某种零件60%来自甲公司，正品率为90%；40%来自乙公司，正品率为95%，
故从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为：60%×90%+40%×95%＝0.92．
故答案为：0.92．
14．（2024春 贵州校级期末）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，，BC＝4，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥P﹣ABCD内切球表面上一点，则点M到直线CD距离的最小值为 　　 ．
【解答】解：已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，，BC＝4，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥P﹣ABCD内切球表面上一点，
过点P作PH⊥AB，交AB于点H，
由侧面PAB为正三角形可知H为AB中点，
设CD中点为N，连接HN，
由题意得，平面PHN截四棱锥P﹣ABCD的内切球O所得的截面为大圆，
此圆为△PHN的内切圆，
设内切圆半径为r，与HN，PH分别相切于点E，F，
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
又PH⊥AB，PH 平面ABCD，
所以PH⊥平面ABCD，
而HN 平面ABCD，
则PH⊥HN，
因为，BC＝4，
所以PH＝3，HN＝4，PN＝5，
在△PHN中，，
解得r＝1，
所以四棱锥P﹣ABCD的内切球的半径为1，
连接ON，
因为PH⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PH⊥CD，
又CD⊥HN，PH，HN 平面PHN，PH∩HN＝H，
所以CD⊥平面PHN，
因为ON 平面PHN，
所以ON⊥CD，
所以内切球表面上一点M到直线CD的距离的最小值即为线段ON的长减去球的半径，
又，
所以四棱锥P﹣ABCD内切球表面上一点到直线CD的距离的最小值为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2019春 松江区期末）如图，P是圆锥的顶点，AB是底面圆O的一条直径，OC是一条半径，且∠AOC＝60°，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为8π的半圆面．
（1）求该圆锥的体积；
（2）求异面直线PB与AC所成角的大小．
【解答】解：（1）设该圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，高为h，
由题意，解得l＝4，
底面圆周长C＝2πr＝πl＝4π，
解得r＝2，
∴h2，
∴该圆锥的体积V．
（2）如图所示，取弧AB中点D，则OD⊥OB，
∵OP垂直于底面，∴OD，OB，OP两两垂直，
以OD为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意A（0，﹣2，0），B（0，2，0），C（），P（0，0，2），
（），（0，2，﹣2），
设PB与AC所成角为θ，
则cosθ，
∴异面直线PB与AC所成角的大小为arccos．
16．（2025春 武强县校级期末）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响．
（1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；
（2）设甲击中目标的次数为X，求X的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件B1，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件B2，
则P（A）＝P（B1）+P（B2） ，
所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为．
（2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3；
P（X＝0），P（X＝1） ，
P（X＝2） ，P（X＝3），
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以．
17．（2025春 武强县校级期末）2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求
（1）若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？
（2）若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？
【解答】解：（1）将5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，
则可分成“1，1，3”和“2，2，1”两种情况，
则有150种不同的分配方案；
（2）若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，
则有14种不同的分配方案．
18．（2020春 荆州期末）教育部最近颁发的《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》中指出，劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．某中学鼓励学生多做家务劳动，提升自理能力和劳动技能，争做家长的好帮手，增进家庭和谐度．学校为了解该校学生参加家务劳动的情况，从中随机抽查了100名学生，统计了他们双休日两天家务劳动的时间，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）求这100名学生双休日两天家务劳动的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．
（2）以这100名学生双休日两天家务劳动的时间位于各区间的频率代替该校所有学生双休日两天家务劳动的时间位于该区间的概率．从该校所有学生中随机抽取4个人，求恰好有1个人是“双休日两天家务劳动的时间不少于3小时”的概率；
（3）用分层抽样的方法从这100人中抽取8人，再从抽取的8人中随机抽取2人，Y表示抽取的是“双休日两天家务劳动的时间不少于3小时”的人数，求Y的分布列及数学期望E（Y）．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
（1.25×0.2+1.75×0.3+2.25×0.6+3.25×0.4+3.75×0.1）×0.5＝2.5，
∴这100名学生双休日两天家务劳动的平均时间为2.5小时．
（2）“双休日两天家务劳动的时间不少于3小时”的概率为：
（0.4+0.1）×0.5，
∴从该校所有学生中随机抽取4个人，
恰好有1个人是“双休日两天家务劳动的时间不少于3小时”的概率为：
P．
（3）用分层抽样的方法从这100人抽取8人，
其中“双休日两天家务劳动的时间不少于3小时”有82人，
则Y的可能取值为0，1，2，
P（Y＝0），
P（Y＝1），
P（Y＝2），
∴Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
∴E（Y）．
19．（2022春 徐州期末）如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，，．
（1）求证：BD∥平面AEG；
（2）求二面角C﹣SD﹣E的余弦值；
（3）在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明：连接FG，在△SBD中，F，G分别为SD，SB的中点，
所以FG∥BD，
又因为FG 平面AEG，BD 平面AEG，
所以BD∥平面AEG．
（2）因为SA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，
所以SA⊥AB，SA⊥AD，又，所以AB⊥AD，
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1），E（0，2，1），
，，，
设平面SCD的法向量为，
则即
令x＝1，得y＝1，z＝2，
所以平面SCD的一个法向量为，
又平面ESD的一个法向量为，
所以，
由图形可知，二面角C﹣SD﹣E的余弦值为．
（3）假设存在点H，设，
则．
由（2）知，平面SCD的一个法向量为，
则，
即（λ﹣1）2＝0，所以λ＝1，
故存在满足题意的点H，此时．
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