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期末真题重组过关卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 驻马店月考）已知向量，，若，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．（2025春 安徽月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝7，△ABC的面积为6，且acosCasinC﹣b﹣c＝0，则△ABC的周长为（　　）
A．15 B．16 C．18 D．20
3．（2025 三元区校级模拟）已知复数z在复平面内对应的点的坐标是（1，﹣2），则i（　　）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．﹣2+i
4．（2025 海门区校级模拟）在△ABC中，BD＝3DC，且AD＝3AE，则（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 桃城区校级三模）如图，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为α＝60°，β＝45°，γ＝30°，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知BC＝150m，AD＝30m，EB＝20m，则隧道DE的长度为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025 牡丹江校级模拟）如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R．若MN＝R＝2r，MN∥平面OAB，且AB的最小值为6，则该圆台的体积为（　　）
A． B．15π C．21π D．
7．（2024秋 铜仁市期末）在某校高一年级参加的一次质量检测中，共有1500名学生参加数学考试．为了解本次考试考生的数学成绩情况，本中抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，成绩均在[40，100）内，按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）的分组作出频率分布直方图（如图所示），据图中数据，则（　　）
A．该样本中学生成绩的中位数一定大于75
B．该样本中学生成绩的极差介于40至50之间
C．该样本中学生成绩的平均值介于70至80之间
D．若成绩不低于60分为及格，估计该校高一年级学生数学及格人数不超过1300
8．（2025春 河南月考）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝7，点M，N，G，H分别是DD1，C1D1，CC1，DC的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．此长方体的表面积为112
B．A1M与B1H是相交直线
C．A1N与B1G是异面直线
D．直线A1N与平面B1GH相交
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 常州月考）一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝．从袋中无放回地依次取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则（　　）
A． B．
C．A，B相互独立 D．
（多选）10．（2025春 湖北月考）已知平面向量（1，cosθ），（﹣2，sinθ），则（　　）
A． θ∈R，，不垂直
B． θ∈R，使得，共线
C．当时，||＝3
D．当θ＝0时，在方向上的投影向量为
（多选）11．（2025 红河州四模）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC 的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF翻折，使A，B，C三点重合于点P（如图2），下列选项正确的是（　　）
A．三棱锥P﹣EFD的表面积为16
B．PD⊥EF
C．直线DF与平面PEF所成角的正切值为
D．点P到平面EFD的距离为
三．填空题（共3小题）
12．（2025 浦东新区校级三模）复数，则|z|＝　 　 ．
13．（2025春 台州期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角△ABC中，AD为斜边BC上的高，AB＝6，AC＝8，现将△ABD沿AD翻折成△AB′D，使得四面体AB′CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 　 　 ．
14．（2025春 北仑区校级期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则的取值范围为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 崆峒区校级月考）已知向量满足．
（1）求与的夹角；
（2）求向量在向量上的投影向量．
16．（2025春 安徽校级月考）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B的大小；
（2）若，求△ABC周长的取值范围．
17．（2025春 萍乡期中）如图，游客从萍乡武功山旅游景区的金顶A处下至C处有两种路径：一种是先从A沿索道乘缦车到B，再从B沿直线步行到C：另一种是从A沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从金顶A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min；在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，AC＝1260m，AB＝1040m，cosA．
（1）乙在到达B之前，乘缆车出发多少分钟时，与甲的距离最短？
（2）若sinB，为使两位游客在C处互相等待的时间不超过5min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
18．（2025春 安徽月考）某地区在政府和有关部门的号召下，通过多样的科普宣传，充分调动了当地居民的运动热情．为了解当地居民每天的运动情况，从甲社区随机抽取了300人，从乙社区随机抽取了200人，对他们每天的运动时长（单位：min）进行统计，将所得数据按照[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]进行分组，得到样本数据的频率分布直方图如下．
（Ⅰ）若乙社区共有居民2万人，估计乙社区居民每天运动时长不少于60min的人数；
（Ⅱ）估计甲社区居民每天运动时长的中位数；
（Ⅲ）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计甲社区抽取的300人每天运动时长的平均值为μ1，乙社区抽取的200人每天运动时长的平均值为μ2，以及甲、乙两个社区抽取的500人每天运动时长的平均值为μ0，试比较μ0和的大小．
19．（2025春 苏州校级月考）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，点M，N分别是线段C1D1，CC1的中点．
（1）求证直线MN∥平面A1BC1；
（2）求三棱锥M﹣A1C1B的高；
（3）求证直线A1M、BN、B1C1三线共点．
期末真题重组过关卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D C A C C C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD ABD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 驻马店月考）已知向量，，若，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
【解答】解：由已知，，且，
根据平面向量数量积的坐标运算可得，
解得k＝2．
故选：B．
2．（2025春 安徽月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝7，△ABC的面积为6，且acosCasinC﹣b﹣c＝0，则△ABC的周长为（　　）
A．15 B．16 C．18 D．20
【解答】解：因为acosCasinC﹣b﹣c＝0，
所以由正弦定理可得sinAcosCsinAsinC＝sinB+sinC，
又因为sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
所以sinAcosCsinAsinC＝sinAcosC+cosAsinC+sinC，
所以sinAsinC＝cosAsinC+sinC，
又sinC＞0，可得sinA＝cosA+1，
可得sin（A），
因为A∈（0，π），可得A∈（，），
所以A，即A，
又a＝7，△ABC的面积为6bcsinAbc，可得bc＝24，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得49＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣3×24，
解得b+c＝11（负值舍去），
所以△ABC的周长L＝a+b+c＝7+11＝18．
故选：C．
3．（2025 三元区校级模拟）已知复数z在复平面内对应的点的坐标是（1，﹣2），则i（　　）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．﹣2+i
【解答】解：由已知可得z＝1﹣2i，
则ii（1+2i）＝i+2i2＝﹣2+i．
故选：D．
4．（2025 海门区校级模拟）在△ABC中，BD＝3DC，且AD＝3AE，则（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：△ABC中，BD＝3DC，且AD＝3AE，如图所示：
则（）．
故选：C．
5．（2025 桃城区校级三模）如图，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为α＝60°，β＝45°，γ＝30°，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知BC＝150m，AD＝30m，EB＝20m，则隧道DE的长度为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，可得∠PAC＝α＝60°，∠PBA＝β＝45°，∠PCA＝γ＝30°，∠BPC＝β﹣γ＝15°．
所以sin∠BPC＝sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°．
在△BPC中，由正弦定理，可得PBm．
由∠PAC＝α＝60°，∠PBA＝β＝45°，可得∠APB＝180°﹣∠PAC﹣∠PBA＝75°，
所以sin∠APB＝sin75°＝sin（45°+30°）＝sin45°cos30°+cos45°sin30°．
在△APB中，由正弦定理，可得AB（）m，
所以DE＝AB﹣AD﹣EB30﹣20＝（）m．
故选：A．
6．（2025 牡丹江校级模拟）如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R．若MN＝R＝2r，MN∥平面OAB，且AB的最小值为6，则该圆台的体积为（　　）
A． B．15π C．21π D．
【解答】解：如图，
取圆台下底面圆心O′，令MO′∩AB＝C，连接ON，OO′，OC，则ON∥O′M，
由平面OO′MN∩平面OAB＝OC，MN∥平面OAB，MN 平面OO′MN，得MN∥OC，
则四边形OCMN为平行四边形，，
在△OO′C中，OO′⊥O′C，∠COO′＝30°，在圆O′中，当且仅当AB⊥O′M时，AB取最小值6，
由，解得，因此，圆台的高h＝OO′＝Rcos30°＝3，
故该圆台的体积V3＝21π．
故选：C．
7．（2024秋 铜仁市期末）在某校高一年级参加的一次质量检测中，共有1500名学生参加数学考试．为了解本次考试考生的数学成绩情况，本中抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，成绩均在[40，100）内，按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）的分组作出频率分布直方图（如图所示），据图中数据，则（　　）
A．该样本中学生成绩的中位数一定大于75
B．该样本中学生成绩的极差介于40至50之间
C．该样本中学生成绩的平均值介于70至80之间
D．若成绩不低于60分为及格，估计该校高一年级学生数学及格人数不超过1300
【解答】解：由频率分布直方图得：
（0.004+a+0.022+0.028+0.022+…+0.018）×10＝1，
解得a＝0.006．
对于A，成绩在[40，70）内的频率为（0.004+0.006+0.022）×10＝0.32，
成绩在[40，80）内的频率为（0.004+0.006+0.022+0.028）×10＝0.6，
故中位数在[70，80）间，但样本成绩在[70，80）间的可能均为74分，
故中位数不一定大于75，故A错误；
对于B，由极差的定义知，学生成绩的极差介于40至60之间，故B错误；
对于C，由平均数的定义知，学生成绩的平均成绩为：
（45×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018）×10＝76.2，
∴该样本中学生成绩的平均值介于70至80之间，故C正确；
对于D，由于成绩不低于60分的频率为0.18+0.22×2+0.28＝0.9，
∴成绩不低于60分的人数是1500×0.9＝1350，
∴若成绩不低于60分为及格，估计该校高一年级学生数学及格人数超过1300，故D错误．
故选：C．
8．（2025春 河南月考）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝7，点M，N，G，H分别是DD1，C1D1，CC1，DC的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．此长方体的表面积为112
B．A1M与B1H是相交直线
C．A1N与B1G是异面直线
D．直线A1N与平面B1GH相交
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝7，
则该长方体的表面积S＝4×7×4+4×4×2＝144，故A错误；
对于B，连接MG，因为A1B1∥MG，A1B1＝MG，
所以四边形A1B1GM为平行四边形，所以A1M∥B1G，
因为A1M 平面A1MN，B1G 平面A1MN，所以B1G∥平面A1MN，
因为GH∥MN，MN 平面A1MN，GH 平面A1MN，
所以GH∥平面A1MN，又B1G∩GH＝G，GH，B1G 平面B1GH，
所以平面A1MN∥平面B1GH，又A1M 平面A1MN，B1H 平面B1GH，
所以A1M与B1H无公共点，故B错误；
对于D，又因为A1N 平面A1MN，所以直线A1N∥平面B1GH，故D错误．
对于C，因为A1N 平面A1B1C1D1，B1G∩平面A1B1C1D1＝B1，B1 A1N，
所以A1N与B1G异面，故C正确．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 常州月考）一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝．从袋中无放回地依次取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则（　　）
A． B．
C．A，B相互独立 D．
【解答】解：选项A，由题，，故A正确；
选项B，因为，，所以，故B正确；
选项C，因为，，，
所以A，B不互相独立，故C错误；
选项D，因为，所以，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2025春 湖北月考）已知平面向量（1，cosθ），（﹣2，sinθ），则（　　）
A． θ∈R，，不垂直
B． θ∈R，使得，共线
C．当时，||＝3
D．当θ＝0时，在方向上的投影向量为
【解答】解：∵（1，cosθ），（﹣2，sinθ），
∴，又[]，
∴0，即 θ∈R，，不垂直，故A正确；
若，共线，则sinθ+2cosθ＝0，即tanθ＝﹣2，则 θ∈R，使得，共线，故B正确；
当时，（﹣1，），||，故C错误；
当θ＝0时，（1，1），（﹣2，0），
在方向上的投影向量为，故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2025 红河州四模）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC 的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF翻折，使A，B，C三点重合于点P（如图2），下列选项正确的是（　　）
A．三棱锥P﹣EFD的表面积为16
B．PD⊥EF
C．直线DF与平面PEF所成角的正切值为
D．点P到平面EFD的距离为
【解答】解：对于A，根据题意得，三棱锥P﹣EFD的表面积S＝S△PED+S△PEF+S△DPF+S△DEF
＝S△AED+S△BEF+S△DCF+S△DEF＝S正方形ABCD＝4×4＝16，故A正确；
对于B，因为PD⊥PE，PD⊥PF，且PE，PF 平面PEF，PE∩PF＝P，
所以PD⊥平面PEF，
又因为EF 平面PEF，所以PD⊥EF，故B正确；
对于C，因为PD⊥平面PEF，
所以∠PFD 是直线DF与平面PEF所成的角，
在Rt△PFD 中，，故C错误；
对于D，设点P到平面EFD 的距离为h，
因为，
，
所以，即6×h＝2×4，
解得h，即点P到平面DEF的距离为，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 浦东新区校级三模）复数，则|z|＝　2　 ．
【解答】解：由复数模的公式可知，．
故答案为：2．
13．（2025春 台州期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角△ABC中，AD为斜边BC上的高，AB＝6，AC＝8，现将△ABD沿AD翻折成△AB′D，使得四面体AB′CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 　64π　 ．
【解答】解：根据题意可得AD⊥CD，AB′⊥CB′，
所以该鳖臑外接球的直径2R＝AC＝8，所以R＝4，
所以该鳖臑外接球的表面积为4πR2＝64π．
故答案为：64π．
14．（2025春 北仑区校级期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则的取值范围为 　　 ．
【解答】解：由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，又因为a2＝b2+bc，
所以b2+bc＝b2+c2﹣2bccosA，即bc＝c2﹣2bccosA，所以b＝c﹣2bcosA，
由正弦定理得：sinB＝sinC﹣2sinBcosA，
即sinB＝sin（A+B）﹣2sinBcosA＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B），
因为A，B∈（0，），所以A﹣B∈（，），所以B＝A﹣B，所以A＝2B，
因为△ABC为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以
，
因为函数在单调递减，在单调递增，
所以当时，取得最小值为，
因为当时，5，当时，5，
所以的取值范围为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 崆峒区校级月考）已知向量满足．
（1）求与的夹角；
（2）求向量在向量上的投影向量．
【解答】解：（1）由，得，，
因此，
而，
所以向量与的夹角．
（2），，
则向量在向量上的投影向量为．
16．（2025春 安徽校级月考）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B的大小；
（2）若，求△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）∵，由正弦定理可得，
又sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴，
∵A∈（0，π），则sinA＞0，∴，
∵B∈（0，π），∴；
（2）设△ABC的外接圆半径为R，
∵b＝2，，
，
∵锐角△ABC，，
，，
周长．
17．（2025春 萍乡期中）如图，游客从萍乡武功山旅游景区的金顶A处下至C处有两种路径：一种是先从A沿索道乘缦车到B，再从B沿直线步行到C：另一种是从A沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从金顶A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min；在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，AC＝1260m，AB＝1040m，cosA．
（1）乙在到达B之前，乘缆车出发多少分钟时，与甲的距离最短？
（2）若sinB，为使两位游客在C处互相等待的时间不超过5min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【解答】解：（1）因为，sinB，
所以sinA，cosB，
故sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB（），
在△ABC中，AC＝1260m，AB＝1040m，
由正弦定理，
即，解得AB＝1040m，
设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为dm，由余弦定理得
d2＝（130t）2+（100+50t）2﹣2×130t×（100+50t），
即d2＝200（37t2﹣70t+50）＝200[37（t）2，
因为0＜t，即0＜t＜8，所以当t，即乘缆车出发分钟时，与甲的距离最短；
（2）由正弦定理可得，即，解得BC＝500m，
乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）＝550（m），还需走710m才能到达．
设乙步行的速度为vm/min，则||≤5，即﹣55，解得v，
故乙步行的速度的取值范围为[，]．
18．（2025春 安徽月考）某地区在政府和有关部门的号召下，通过多样的科普宣传，充分调动了当地居民的运动热情．为了解当地居民每天的运动情况，从甲社区随机抽取了300人，从乙社区随机抽取了200人，对他们每天的运动时长（单位：min）进行统计，将所得数据按照[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]进行分组，得到样本数据的频率分布直方图如下．
（Ⅰ）若乙社区共有居民2万人，估计乙社区居民每天运动时长不少于60min的人数；
（Ⅱ）估计甲社区居民每天运动时长的中位数；
（Ⅲ）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计甲社区抽取的300人每天运动时长的平均值为μ1，乙社区抽取的200人每天运动时长的平均值为μ2，以及甲、乙两个社区抽取的500人每天运动时长的平均值为μ0，试比较μ0和的大小．
【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可得，乙图中每天运动时长不少于60min的频率为（0.020+0.005）＝0.5，
则估计乙社区居民每天运动时长不少于60min的人数为10000人；
（Ⅱ）由甲图可得运动时长在[20，60）的频率为0.020×20＝0.4，运动时长在[60，80）的频率为0.020×20＝0.4，
则设中位数为x，则x在[60，80）中，则有（x﹣60）×0.020＝0.1，则x＝65；
（Ⅲ）μ1＝（30×0.005+50×0.015+70×0.020+90×0.010）×20＝64，
μ2＝（30×0.015+50×0.010+70×0.020+90×0.005）×20＝56，
则μ0＝645660.8，
又，
则μ0．
19．（2025春 苏州校级月考）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，点M，N分别是线段C1D1，CC1的中点．
（1）求证直线MN∥平面A1BC1；
（2）求三棱锥M﹣A1C1B的高；
（3）求证直线A1M、BN、B1C1三线共点．
【解答】（1）证明：连接MN，D1C，
由于M，N分别是线段C1D1，CC1的中点，所以MN∥D1C，
又正方体中，A1B∥D1C，故A1B∥MN，
而A1B 平面A1BC1，MN 平面A1BC1，
故直线MN∥平面A1BC1；
（2）解：设三棱锥M﹣A1C1B的高为h，
由等体积法可得，
即，
而SS2×2＝1，S（2）2＝2，
所以h；
（3）证明：由于A1B1∥MC1且A1B1＝2MC1，
故直线A1M，B1C1相交，设交于O，
则B1C1＝OC1，
同理可得直线B1C1，BN相交于点O′，则B1C1＝O′C1，
故O′与O重合，故直线A1M、BN、B1C1三线相交于点O，
故直线A1M、BN、B1C1三线交于一点．
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