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2025年初中学业水平考试
数学试题
本试卷共8页.满分120分.考试时长120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上.答案写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1.如图，数轴上表示的点是（ ）
A.M B.N C.P D.Q
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4.好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次.数据“9亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.某班学生到山东省博物馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品.若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ）
A. B. C. D.
8.在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形.若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系.在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是（ ）
A.当时，随的增大而减小 B.当时，有最大值
C.当时， D.当时，
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11.写出使分式有意义的的一个值______.
12.在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是______.
13.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______.
14.取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去.
按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______.
15.如图，在中，，，.点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是______.
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.（8分）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中.
17.（8分）在中，，的平分线交于点.如图1.
（1）求的度数；
（2）已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F.如图2，求DF的长.
18.（8分）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径.某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型.
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米.
（1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
（2）已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？
19.（10分）在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的pH值进行了整理、描述及分析.
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26.
乙基地水体的pH值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21.
【整理数据】
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【描述数据】
【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：b=______，c=______；
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体pH值的日变化量（pH值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求.
20.（10分）如图，在中，点在上，边交于点，于点.是的平分线.
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为2，，求的长.
21.（9分）
【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1.
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求.
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法.
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）.
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图4，分别与，相切于点，.用游标卡尺测量出的长度.
【问题解决】
已知，的长度要求是.
（1）求的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得.根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求.（参考数据：）
【结果反思】
（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，
能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由.
22.（11分）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数.
（1）当、时，求此函数图象的对称轴；
（2）当时，若该函数在时，的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由
23.（11分）
【图形感知】
如图1，在四边形中，已知，，.
（1）求的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究.
在线段上取一点，连接.将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点.
（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2.判断四边形的形状，并说明理由；
②乙：点恰好落在边上，如图3.求的长；
（3）如图4，连接交BE于点P，连接CP.当点E在线段CD上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由.

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