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第七章《相交线与平行线》核心专题 一点通
(Ⅰ)高频考点
高频考点一 对顶角、邻补角
1.如图,直线AB 和CD 相交于点O.若∠AOD 与∠BOC 的和为236°,则∠AOC 的度数为 ( )
A.62° B.118° C.72° D.59°
2.如图,直线a,b,c 两两相交,∠1=80°,∠2=2∠3,则∠4=
高频考点二 垂线
3.过点 B 作线段AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为点A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有 ( )
A.2条 B.3条
C.4条 D.5条
5.如图,两直线 AB,CD 相交于点O,OE 平分∠BOD,∠AOC:∠AOD=7:11.
(1)求∠COE 的度数;
(2)若OF⊥OE,求∠COF 的度数.
高频考点三 同位角、内错角、同旁内角
6.根据图形填空：
(1)若直线ED,BC被直线AB 所截,则∠1和 是同位角；
(2)若直线ED,BC被直线AF 所截,则∠3和 是内错角；
(3)∠1和∠3是直线AB，AF 被直线 所截构成的内错角；
(4)∠2和∠4 是直线 , 被直线 BC 所截构成的同位角.
高频考点四 平行线与平行公理
7.下列说法错误的是 ( )
A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B.平行于同一条直线的两条直线平行
C.若a∥b,b∥c,c∥d,则a∥d
D.同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交
高频考点五 平行线的判定
8.如图，下列说法错误的是 ( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若∠1=∠2,则a∥c
C.若∠3=∠2,则b∥c D.若∠3+∠5=180°,则a∥c
9.如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是 ( )
A.∠DAC=∠BCA B.∠DCB+∠ABC=180°
C.∠ABD=∠BDC D.∠BAC=∠ACD
10.如图,∠1=115°,∠2=50°,∠3=65°,EG 为∠NEB 的平分线,那么AB∥CD,EG∥FH 吗 请说明理由.
高频考点六 平行线的性质
11.如图,点 D,E 分别在AB,BC 上,DE∥AC,AF∥BC,∠1=70°,则∠2= .
12.如图，一艘船从点 A 出发沿北偏东60°方向航行到点 B，再沿南偏西25°方向航行到点C，则∠ABC 的度数为 .
13.如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=65°,求∠2的度数.
14.如图是一个汉字“互”字,其中,AB∥CD,HF∥GE,∠HGE=∠HFE,M,H,G 三点在同一直线上,N,E,F 三点在同一直线上.
(1)求证:GH∥EF;
(2)求证:∠CMH=∠BNE.
高频考点七 命题、定理、证明
15.“直角都相等”的题设是 ，结论是 .
16.命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题吗 如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例.
高频考点八 平移
17.如图，由边长为1的小正方形组成的网格，三角形ABC 的顶点都在格点上.
(1)画出将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格所得到的三角形A B C ;
(2)在(1)中的平移过程中，线段AC 所扫过的面积为 .
核心题型一 推理填空
18.如图,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD∥BE.
证明:∵AB∥CD(已知),
).
∵∠3=∠4(已知),
∴∠3= (等量代换).
∵∠1=∠2(已知).
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF( ).即 = (角的和差),
∴∠3= .
∴AD∥BE( ).
核心题型二 用平行线的判定与性质证明
19.如图,AD⊥BC,EG⊥BC,垂足分别为点 D,G,∠E=∠3.请问：AD平分∠BAC吗 请说明理由.
核心题型三 用平行线的判定与性质求角度
20.如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF 折叠后，点 D，C 分别落在点D',C'的位置上,ED'与BC交于点G.若∠EFG=50°,求∠1,∠2的度数.
(Ⅱ)核心题型及方法
21.如图,AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2.
(1)求证:AB∥CD;
(2)∠D=∠3+60°,∠CBD=70°,求∠C的度数.
核心方法一 过拐点作平行
22.如图,已知AB∥CD,EF⊥AB 于点E,∠AEH=∠FGH=20°,∠H=50°,则∠EFG 的度数是 ( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
23.如图,AB∥CD,EF平分∠BED,∠DEF+∠D=66°,∠B-∠D=28°,则∠BED 的度数为 .
24.如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母A~H表示，得到如图2的几何示意图，已知AB∥GF.试说明:∠ABC=∠BCF+∠CFG.
核心方法二 方程思想
25.如图1,点E在AC上,∠B=∠D,∠ACB+∠AED=180°.
(1)求证:AB∥CD;
(2)如图2,AG 平分∠BAC,直线 AG 与∠CDE 的邻补角∠FDE的平分线交于点 H.若∠AED---∠H=60°,求∠AED的度数.
核心方法三 参数思想
26.如图1,已知AB∥CD,BN∥AP,DN∥PC.
(1)求证:∠BND=∠APC;
(2)如图2,若 且∠AMD=150°,求∠APC 的度数.
1. A 2.140° 3. C 4. D
5.解:(1)∵∠AOC:∠AOD=7:11,∠AOC+∠AOD=180°,
∴∠AOC=70°,∠AOD=110°,
∴∠BOD=∠AOC=70°,∠BOC=∠AOD=110°.
又∵OE 平分∠BOD,∴∠BOE=∠DOE= ∠BOD=35°,
∴∠COE=∠BOC+∠BOE=110°+35°=145°;
(2)∵OF⊥OE,∴∠FOE=90°,
∴∠FOD=∠FOE-∠DOE=90°-35°=55°,
∴∠COF=180°-∠FOD=180°-55°=125°.
6.(1)∠2 (2)∠4 (3)DE (4)AB AF 7. A 8. C 9. A
10.解:AB∥CD,EG∥FH.11.70°12.35°
13.解:∵AB∥CD,∠1=65°,∴∠ABC=∠1=65°.
∵BC平分∠ABD,∴∠ABD=2∠ABC=130°.
∵AB∥CD,∴∠ABD+∠BDC=180°,
∴∠2=∠BDC=180°-∠ABD=180°-130°=50°.
14.证明:(1)∵HF∥GE,∴∠HFE+∠GEF=180°.
又∵∠HGE=∠HFE,∴∠HGE+∠GEF=180°,∴GH∥EF;
(2)延长EF,与CD交于点I.
∵GH∥EF,∴∠CMH=∠MIF.
又∵AB∥CD,∴∠MIF=∠BNE,∴∠CMH=∠BNE.
15.两个角是直角 这两个角相等
16.解：是真命题，证明略.
17.解:(1)图略;(2)25.
18.∠EAB 两直线平行，同位角相等
∠EAB 等式的性质 ∠BAE
∠CAD ∠CAD 内错角相等,两直线平行
19.解:AD平分∠BAC.理由:∵AD⊥BC,EG⊥BC,
∴∠ADC=∠EGC=90°,∴AD∥EG,
∴∠3=∠2,∠E=∠1.
∵∠3=∠E,∴∠1=∠2,即AD 平分∠BAC.
20.解:∵AD∥BC,∠EFG=50°,
∴∠DEF=∠EFG=50°,∠2=∠GED.
由折叠知∠GEF=∠DEF=50°,∴∠GED=100°,
∴∠1=180°-∠GED=80°,∠2=∠GED=100°.
21.解:(1)∵AE⊥BC,FG⊥BC,
∴AE∥GF,∴∠2=∠A.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠A,∴AB∥CD;
(2)∵AB∥CD,∴∠D+∠CBD+∠3=180°.
∵∠D=∠3+60°,∠CBD=70°,
∴∠3=25°.∵AB∥CD,∴∠C=∠3=25°.
22. C 解:过点 H,F 分别向右作HM∥AB,FN∥AB,
∴∠AEH=∠EHM=20°,∵∠EHG=50°,
∴∠GHM=50°-20°=30°=∠HGC,
∴∠NFG=∠CGF=30°+20°=50°,∴∠EFG=140°.
23.80°
24.解:过点 C 向左作CQ∥AB.
∵AB∥GF,∴CQ∥AB∥GF,
∴∠BCQ+∠ABC=180°,∠FCQ+∠CFG=180°,
∴∠BCQ=180°-∠ABC,∠BCQ+∠BCF+∠CFG=180°,
∴180°-∠ABC+∠BCF+∠CFG=180°,即∠ABC=∠BCF+∠CFG.
25.解:(1)∵∠ACB+∠AED=180°,∠DEC+∠AED=180°,∴∠ACB=∠DEC,∴DE∥BC,∴∠D+∠DCB=180°.
∵∠B=∠D,∴∠B+∠DCB=180°,∴AB∥CD;
(2)过点 E 作EM∥AB,过点 H 作HN∥AB,点 M 在点 E 左侧,点N 在点 H 右侧,则EM∥AB∥CD,HN∥AB∥CD,易证∠AED=∠CDE+∠CAB,∠AHD=∠FDH-∠BAG.
∵AG平分∠CAB,DH 平分∠FDE,
∴设∠EAG=∠BAG=x,∠FDH=∠EDH=y,
∴∠AED=2x+180°-2y,
∠AHD=y-x.∵∠AED-∠AHD=60°,
∴2(x-y)+180°-(y-x)=60°,∴y-x=40°,
∴∠AED=180°-2×40°=100°.
26.解:(1)连 PN 并延长到点 E,
则∠BNE=∠APN,∠DNE=∠CPE,
∴∠BNE+∠DNE=∠APN+∠CPN,即∠BND=∠APC;
(2)过点 M 作MF∥CD,点 F 在点 M 的右侧,
过点 P 作PH∥CD,点 H 在点 P 右侧,
易证:AB∥MF∥CD∥PH,设∠BAP=3x,∠NDC=3y,
则∠AMD=180°-2x+2y=180°+2(y-x)=150°,
x-y=15°,∠APC=180°-3x+3y=180°+3(y-x)=
135°.

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