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2024-2025学年四川省达州市大竹县石河中学八年级（下）月考数学试卷（6月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
2.若，则下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
3.在下列手机手势解锁的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，BD为的角平分线，于点E，，，则的面积是( )
A. 5
B. 7
C.
D. 10
5.如图，中，E是BC的中点，AD平分，于点D，若，，则DE等于( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
6.《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
7.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.如图，在和中，，，于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为( )
A.
B.
C.
D.
9.关于x的分式方程无解，则a的取值是( )
A. 4 B. 0或 C. 或4 D. 0或或4
10.如图，已知是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且，以AD为边作等边，过点E作，交AC于点F，连接BF，CE，则下列结论：
①≌；②四边形BDEF是平行四边形；③；④其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.约分：______.
12.若，，则______.
13.若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围为______.
14.如图，在平行四边形ABCD中，，，角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则______
15.如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为______.
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题8分
解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.
；
17.本小题8分
解方程：
；
18.本小题8分
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，都在格点上.
若平移得到，当的坐标为，画出，则、的坐标分别是______、______.
将绕原点顺时针旋转得到，画出，则点的坐标是______.
求的面积.
19.本小题8分
在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE、BF，求证：
20.本小题8分
如图，在中，，，垂足为已知，设CD长为
根据勾股定理，得______用含x的代数式表示，结果需化简
求x的值.
21.本小题8分
2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕.在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息：
①A型无人机模型的单价比B型贵800元；
②用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同.
求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？
若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍.请求出航模小组所有可能的购买方案.
22.本小题8分
如图，在等腰三角形ABC中，，，于点D，将线段CD绕点C顺时针旋转角后得到线段CE，连接
求的度数；
若，，求BD的长.
23.本小题8分
如图，是等腰三角形，，点D是AB上一点，过点D作交BC于点E，交CA的延长线于点
证明：是等腰三角形；
若，，，求EC的长.
24.本小题8分
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化.如图1，可以表示为公式①：
观察下列图形，将它们与下列公式对应起来填写对应公式的序号
公式②：
公式③：
公式④：
图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______填序号；
如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长x的值.
为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程：
如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形ABCD与正方形EFGH的面积之和为173，求正方形ABCD与正方形EFGH的面积之差.
25.本小题8分
课本再现：
在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.
如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：，
知识应用
在中，点P为BC的中点.延长AB到D，使得，延长AC到E，使得，连接如图2，连接BE，若，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系.写出你的结论，并加以证明.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：
根据平方差公式、完全平方公式、提公因式法分解因式即可．
本题考查了因式分解：提公因式法、运用公式法，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、若，则，原变形错误，不符合题意；
B、若，，正确，符合题意；
C、若，，原变形错误，不符合题意；
D、若，，原变形错误，不符合题意；
故选：
根据不等式的性质即可判断．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
D、图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意，
故选：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：过D点作于H，如图，
为的角平分线，，，
，
故选：
过D点作于H，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
5.【答案】D
【解析】解：延长BD交AC于F，
平分，
，
于点D，
，
，
，
平分，
是BF的中点，
是BC的中点，
是的中位线，
，
，
故选：
延长BD交AC于F，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出，得到，由等腰三角形的性质推出D是BF的中点，判定DE是的中位线，推出，求出，即可得到DE的长．
本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，关键是判定DE是的中位线．
6.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，根据等量关系：，由题意得等量关系：慢马速度快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】
解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得：
，
故选：
7.【答案】B
【解析】解：由图象知：不等式的解集为，
故选：
根据图象利用一次函数与一元一次不等式的关系即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握利用图象获取信息的能力．
8.【答案】C
【解析】解：如图，连接CF，
，，
，
，
，，
，
，
，，
是线段BC的垂直平分线，
，
，即，
故选：
由题意可得，由可得，由，可得AE是BC的垂直平分线，可得，根据勾股定理可求的值．
本题主要考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线得出是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：根据分式有意义，，，
将分式方程化为整式方程为：，整理得，
分式方程无解，
，
故选：
根据分式有意义的条件可知，，将分式方程化为整式方程后将，代入求出a的值即可．
本题考查了分式方程的解，掌握分式有意义的条件是解答本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：作于
，都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
≌，故①正确；
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
，故③正确，
，，
，，
，
，故④错误，
①②③都正确，
故选：
连接EC，作于首先证明≌，根据SAS可证明≌，再证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
11.【答案】
【解析】解：利用平方差公式把分子分解因式，再约去分子、分母的公因式可得：
故答案为：
化简分式就是把分式的分子、分母分别分解因式，再约去它们的公因式即可，本题中利用平方差公式把分子分解因式，再约去分子、分母的公因式即可．
本题考查了分式的化简，正确进行计算是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
故答案为：
先提公因式，再代入计算即可．
本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：关于x的不等式组的解集是，
，
即m的取值范围是，
故答案为：
根据不等式组的解集，可判断m与5的大小．
此题考查求不等式的解集，熟知同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：在平行四边形ABCD中，，
，
的角平分线交AD于点E，
，
，
，
，，
故答案为：
利用平行四边形的性质得出，进而得出，再利用角平分线的性质得出，进而得出，即可得出AE的长，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出是解题关键．
15.【答案】18
【解析】解：连接BF，过点C作，交BF的延长线于H，
是等边三角形，点F是DE的中点，
，
点F在射线BF上运动，
当点F与点H重合时，CF最小，
，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
的周长为：18，
故答案为：
连接BF，过点C作交BF的延长线于H，由等边三角形的性质可知，则点F在射线BF上运动，当点F与点H重合时，CF最小，从而解决问题．
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，垂线段最短，含角的直角三角形等知识，确定点F的运动路径是解题的关键．
16.【答案】，解集表示见详解；
无解，解集表示见详解．
【解析】，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以，得；
解集在数轴上表示为：
，
解：由①得
，
由②得
，
原不等式组无解．
解集在数轴上表示为：
按步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1，进行求解即可．
分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解．
本题考查了解一元一次不等式组；掌握不等式组的解法是解题的关键．
17.【答案】；

【解析】，
方程两边同时乘，得，
解得：，
检验：把代入，
分式方程的解为；
，
方程两边同时乘，得，
去括号，得，
解得：，
检验：把代入，
分式方程的解为
根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可；
根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
18.【答案】画图见解答；；
画图见解答；

【解析】如图，即为所求．
由图可得，，
故答案为：；
如图，即为所求．
由图可得，点的坐标是
故答案为：
的面积为
根据平移的性质作图，即可得出答案．
根据旋转的性质作图，即可得出答案．
利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
19.【答案】证明见解析．
【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
结合平行四边形的性质，证明≌，得出，，得出，进而可求证DE与BF平行．
本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的判定，难度一般，关键是能够运用其性质解决一些简单的证明问题．
20.【答案】；

【解析】解：，
，
，，
，
长为x，
，
故答案为：；
，，，，，
，
，，
，
解得
根据题意可知，，，，再根据勾股定理可以求得AD的长，然后根据和，即可用含x的代数式表示出；
根据和勾股定理，可以求得x的值．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
21.【答案】A型无人机模型的单价是2400元，B型无人机模型的单价是1600元；
航模小组共有2种购买方案，
方案1：购买4台A型无人机模型，6台B型无人机模型；
方案2：购买5台A型无人机模型，5台B型无人机模型．
【解析】解：设B型无人机模型的单价是x元，则A型无人机模型的单价是元，.
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
元
答：A型无人机模型的单价是2400元，B型无人机模型的单价是1600元；
设购买y台A型无人机模型，则购买台B型无人机模型，
根据题意得：，
解得：，
又为非负整数，
可以为4，5，
航模小组共有2种购买方案，
方案1：购买4台A型无人机模型，6台B型无人机模型；
方案2：购买5台A型无人机模型，5台B型无人机模型．
设B型无人机模型的单价是x元，则A型无人机模型的单价是元，利用数量=总价单价，结合用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即B型无人机模型的单价，再将其代入中，即可求出A型无人机模型的单价；
设购买y台A型无人机模型，则购买台B型无人机模型，利用总价=单价数量，结合总价不超过20000元且购买B型的数量不超过A型的2倍，可列出y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为非负整数，即可得出各购买方案．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22.【答案】

【解析】，
将线段CD绕点C顺时针旋转角后得到线段CE，
，，
，
≌，
将线段CD绕点C顺时针旋转角后得到线段CE，
，，
由知，，
，
由旋转得，，可得证明≌，可得
由旋转得，，则由勾股定理得，即可得
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】证明：，
，
，
，，
，
而，
，
，
是等腰三角形；
解：，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，

【解析】由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论；
根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出，即可推出结论．
24.【答案】③，④，②；
大正方形的边长x的值为10；
正方形ABCD与正方形EFGH的面积之差为
【解析】由题意知，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式，
故答案为：③，④，②；
设，，
，，
由题意知，，
，
由公式①，可得，即，
，
或，
或，
解得，或舍去，
大正方形的边长x的值为10；
由题意知，，，
或舍去，
，整理得，
，
或舍去，
，
正方形ABCD与正方形EFGH的面积之差为
由题意知，图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式，然后作答即可；
由，，可得，，由题意知，，由公式①，可得，可得的结果，计算求出满足要求的解即可；
由题意知，，，可得，，整理得，则，即，根据，代值求解即可．
本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式、平方差公式在几何中的应用是解题的关键．
25.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，，
≌，
，；
解：，证明如下：
如图所示，过点B作交DE于H，连接PH，CH，
，
，，
，即，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
，
又，
四边形ABHC是平行四边形，
点P为对角线BC的中点，
点P也是另一条对角线的中点，
、P、H三点共线，
，BC互相平分，
，
在和中，
，
≌，
，

【解析】由平行四边形的性质得到，，证明≌，即可证明，；
过点B作交DE于H，连接PH，CH，则，先证明是等边三角形，得到，，进而证明是等边三角形，得到，接着证明四边形ABHC是平行四边形，得到AH，BC互相平分，则，进一步证明≌，得到，则
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，添加辅助线构造平行四边形是解题的关键．

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