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2025年江苏省徐州市沛县汉源中学联盟学区中考数学三模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的绝对值是( )
A. B. 2025 C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.二次根式中字母x的取值可以是( )
A. B. C. 0 D. 3
4.实数a，b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为( )
A. B. C. b D.
5.以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表．则这组数据的中位数和平均数分别为( )
成绩/分 80 85 90 95
人数/人 1 2 5 2
A. 90，90 B. 90，89 C. 85，90 D. 85，90
6.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边长之比是2：1，若随机在大正方形及其内部区域投针，则针尖扎到小正方形阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
7.如图，AB切于点B，连结OA交于点C，交于点D，连接CD，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在边长为2的菱形ABCD中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AD于点E，连接若，则CE的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.2025年春节假期，徐州市共接待游客约8270000人次，游客接待总量创历史新高.将8270000用科学记数法表示为______.
10.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中.图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为______
11.用一张半径为10cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子接缝忽略不计，如果做成的圆锥形帽子的高为8cm，那么这张扇形纸板的圆心角______
12.设函数与的图象的交点坐标为，则的值是______.
13.如图，AB是的直径，CD是弦，过C作的切线交AB的延长线于点若，则的大小是______.
14.已知方程的两个解分别为，，则的值为______.
15.正六边形ABCDEF和正五边形DGHIJ的位置如图所示，其中点E，D，J在同一条直线上，则的度数为______.
16.如图，在矩形ABCD中，，M为BC的中点，将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则______.
17.如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N、点M分别为BC、DE的中点，，，绕点A旋转的过程中，MN的最大值为______，最小值为______.
18.如图，在扇形AOB中，，，点C为的三等分点，D为OA上一动点，连接DC，当的值最小时，图中阴影部分的面积为______结果保留
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
计算：
；
化简：
20.本小题8分
解方程或不等式组：
；
21.本小题8分
随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为此，孙老师设计了“5种你最喜欢的沟通方式”调查问卷每人必选且只选一种进行调查.将统计结果绘制成下面两幅不完整的统计图，其中A：电话，B：短信，C：微信，D：QQ，E：其它.请结合图中所给的信息解答下列问题：
这次参与调查的共有______人；将条形统计图补充完整；
在扇形统计图中，表示“C：微信”的扇形圆心角的度数为______；
如果我国有13亿人在使用手机，请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数.
22.本小题8分
2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：潍坊风筝；东明粮画青神竹编；延安剪纸.
小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“青神竹编”的概率是______.
小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传春晚中的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一幅图片的概率.
23.本小题8分
随着哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆.某文创店将进价为20元/个的哪吒钥匙扣以30元/个出售，平均每天能售出50个，该文创店通过两查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨1元，其每天的销售量就减少2个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为608元，且售价不能超过38元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？
24.本小题8分
如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA的延长线于点F，已知，
求证：≌；
若，求证：四边形ABCD为平行四边形．
25.本小题8分
如图，内接于，D为优弧AB上的点，弦CD与AB相交于点E，且，延长DC到点P，使得
求证：PB是的切线；
若E是PD的中点，，求PC的长.
26.本小题8分
已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架，，AB，DO均与地面平行，支架AC与BC之间的夹角
求两轮轴A，B之间的距离；
若OF的长度为，，求点F到AB所在直线的距离.
27.本小题8分
定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”.
如图1，中，点D是BC边上一点，连接AD，若，则称点D是中BC边上的“比中项妙点”.
①在中，，于点D，则点D ______填“是”或“不是”中AB边上的“比中项妙点”；
②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“比中项妙点”点的中点除外
如图3，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连接DE交对角线AC于点F，点F恰好是中AC边上的“比中项妙点”.
①求证：点F也是中DE边上的“比中项妙点”；
②连接BF并延长交CD于点G，若点F是中BG边上的“比中项妙点”，且，求的值.
28.本小题8分
如图，已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点是，且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作于点
求二次函数的解析式；
当点P运动到何处时，线段PG的长取得最小值？最小值为多少？
若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请你说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：的绝对值等于2025，
2.【答案】C
【解析】解：A、，无法合并，故原题计算错误；
B、，故原题计算错误；
C、，故原题计算正确；
D、，故此原题计算错误；
故选：
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：由题意，得，
解得
故x可以取3，
故选：
根据二次根式的被开方数是非负数得到，求解即可．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4.【答案】D
【解析】解：观察数轴可知：，，
，
，
故选：
先观察数轴判断a，b的正负，再根据有理数的加法法则判断的正负，最后根据绝对值的性质化简即可．
本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则和绝对值的性质．
5.【答案】B
【解析】解：共有10名同学，中位数是第5名和第6名成绩的平均数，
这组数据的中位数是：；
这组数据的平均数是：；
故选：
根据中位数的定义先把这些数从小到大排列，求出最中间的两个数的平均数，再根据平均数的计算公式进行计算即可．
此题考查了中位数和平均数，掌握中位数和平均数的计算公式和定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
6.【答案】B
【解析】解：大正方形与小正方形的边长之比是2：1，
大正方形与小正方形面积的比为4：1，
随机在大正方形及其内部区域投针，则针尖扎到小正方形阴影部分的概率是，
故选：
首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出针扎到小正方形阴影区域的概率．
此题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作，即有
7.【答案】B
【解析】解：连接OB，如图，
切于点B，
，
，
，
，
，
故选：
连接OB，如图，先根据切线的性质得，则利用互余可计算出，再根据圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和平行线的性质．
8.【答案】A
【解析】解：连接BE，如图：
由作图痕迹可知，MN垂直平分AB，
，
，
，
，
，
，
，
四边形ABCD为菱形，
，
，则：
故选：
连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出CE的长度．
本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识．
9.【答案】
【解析】解：
故答案为：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10.【答案】45
【解析】解：正八边形的每一个外角都相等，外角和为，
它的一个外角
故答案为
11.【答案】216
【解析】解：由题意可知圆锥形帽子的高为8cm，母线长为10cm，
则地面半径为，
设扇形纸板的圆心角是，
根据题意得：，
解得：，
所以扇形的圆心角为，
故答案为：
根据底面周长等于扇形的弧长列式计算即可．
本题考查了圆锥的计算，正确记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，其中将，代入两函数解析式得出关于a与b的关系式是解本题的关键．由两函数的交点坐标为，将，代入反比例解析式，求出ab的值，代入一次函数解析式，得出的值，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算后，把ab及的值代入即可求出值．
【解答】解：函数与的图象的交点坐标是，
将，代入反比例解析式得：，即，
代入一次函数解析式得：，即，
则，
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：如图，连接OC，
由圆周角定理得：，
是的切线，
，
，
故答案为：
连接OC，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再根据直角三角形的性质求出
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：方程的两个解分别为，，
，，
故答案为：
先根据根与系数的关系求出和的值，然后再对因式分解后代入计算即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，
15.【答案】
【解析】解：在正六边形ABCDEF和正五边形DGHIJ中，
，
，
，
故答案为：
根据正五边形和正六边形性质得出各外角度数，进而可得答案．
本题考查了正多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，过A作于Q，，
，
，
由旋转可得：，，
，M为BC的中点，
，
是矩形，
，
，
≌，
而，
，即，
，
，
故答案为：
如图，过A作于Q，，证明≌，而，可得，即，再利用勾股定理可得答案．
本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点，如图，
绕点A旋转，
点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，
，
当点M旋转到，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为，
和都是等边三角形，
点N，点M分别为BC，DE的中点，，，
，，，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
根据旋转的性质得，，
，，
即MN的最大值为，MN的最小值为，
故答案为：，
由题意可知，点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点，以此得到M、A、N三点共线时，MN的值最大，再根据勾股定理分别算出AM、AN的值，则MN的最大值，最小值为
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解题关键在于确定点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动．
18.【答案】
【解析】解：如图，作点B关于OA的对称点E，则点E在上，，
连接EC交OA于点D，则，此时当的值最小，
，点C为的三等分点，
，
，
，
作于F，
，
，
，，
故答案为：
作点B关于OA的对称点E，则点E在上，，连接EC交OA于点D，则，此时当的值最小，根据等边三角形的性质以及直角三角形的边角关系求出CF，OD，再由扇形面积、三角形面积的计算方法以及图形各个部分面积之间的和差关系进行计算即可．
本题考查了轴对称-最短路线问题，解直角三角形，求扇形面积，求三角形的面积，数形结合是解题的关键．
19.【答案】6；
【解析】
；
先化简，然后计算乘法，再算加减法即可；
先通分括号内的式子，然后将除法转化为乘法，再约分即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】，；

【解析】，
，
，
，；
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：
利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程-公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】；
补全条形统计图如下：
；
亿人，
答：估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数为亿人．
【解析】解：这次参与调查的共有人，
用短信的人数为人，
补全条形统计图如下：
故答案为：2000；
在扇形统计图中，表示“C：微信”的扇形圆心角的度数为；
故答案为：；
亿人，
答：估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数为亿人．
先利用用电话的人数除以其人数占比求出总人数，然后求出用短信的人数，即可补全条形统计图；
用乘C所占百分比可得答案；
用13亿乘以样本中喜欢用“微信”的人数所占的百分比即可得到答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：；
根据题意，列表如下，
A B C D
A
B
C
D
由图表可知：共有16种结果，两人恰好选中同一幅图的结果有4种，
两人恰好选中同一幅图的概率为
【解析】【分析】
由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中“青神竹编”的结果有1种，根据概率公式计算即可；
列表得出所有等可能的结果以及两人恰好选中同一幅图的结果数，再利用概率公式计算即可．
本题考查了概率公式，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【解答】
解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中“背神竹编”的结果有1种，
小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“背神竹编”的概率是；
故答案为：；
见答案；
23.【答案】这种商品的售价应定为36元．
【解析】解：设这种钥匙扣的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为元，每天的销售量为个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：这种商品的售价应定为36元．
设这种钥匙扣的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为元，每天的销售量为个，根据每天销售这种钥匙扣的利润为608元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】证明：在和中，
，
≌；
≌，
，
，
，
四边形ABCD为平行四边形．
【解析】利用SAS定理证明≌；
根据全等三角形的性质得到，得到，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明结论．
本题考查的是平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
25.【答案】证明：连接OA，OB，OA与CD交与点F，如图，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线．
解：延长BO交于点G，连接CG，BD，
是的直径，
，
，
，
，
∽
是PD的中点，，
，
，

【解析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆的切线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
连接OA，OB，OA与CD交与点F，利用相似三角形的判定与性质得到，利用圆周角定理和垂径定理得到，利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
通过延长BO交于点G，连接CG、BD，可判断出∽，根据E是PD的中点，，即可求出答案.
26.【答案】解：支架AC与BC之间的夹角为，
，
即两轮轮轴A，B之间的距离为100cm；
过C点作于H，过F点作延长线与G，则扶手F到AB所在直线的距离为，
的长度为，，
，
，
，
由知 ，，，.
，即，
解得，

【解析】根据勾股定理求出AB的长度即可；
作辅助线，分别求出C点到AB的距离，F点到直线DO的距离，求和即可．
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
27.【答案】①是；②见解析；
①见解析；②
【解析】①解：如图4中，
在中，，于点D，
，
，，
，
∽，
，
，
点D是中AB边上的“比中项妙点”．
故答案为：是；
②解：如图2中，点M即为所求；
①证明：点F恰好是中AC边上的“比中项妙点”，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
点F也是中DE边上的“比中项妙点”；
②解：如图3中，
四边形ABCD是平行四边形，
，，，，
：：2，
：：2，
：2，
：2，
，
点F是中BG边上的“比中项妙点”，
是点F是中AC边上的“比中项妙点”，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
①证明∽，推出可得结论；
②取格点J，连接CJ交AB于点M，点M即为所求；
①证明即可；
②首先证明AB：：1，再证明即可．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题．
28.【答案】解：由题意得：抛物线为，
整理得，
故二次函数的解析式为；
把代入，得，
点B的坐标为
把代入，
得，
点A的坐标为
，
取AB的中点M，连接OM，则，
，
是等边三角形，
，
如图1，过点P作轴交AB于点H，
则有，
，
，
设点P的横坐标为m，则，，
，
，
当时，PH有最小值，最小值为，
此时PG有最小值，
当时，，
此时点P的坐标为；
存在，理由：
由题意知，抛物线的对称轴为，
把代入，
得或，
，
I.如图2，当以CD为菱形的边时，MN平行且等于
若点N在对称轴右侧，
，
，
把代入，得，
点N的坐标为
，
四边形MNDC为菱形．
即符合题意．
同理可知，当N的坐标为时，四边形MNCD也为菱形．
如图3，当CD为菱形的对角线时，
根据菱形的对角线互相垂直平分，可得对称轴垂直平分CD，
所以M，N在对称轴上．
又因为点N在抛物线上，
所以点N为抛物线的顶点，
所以点N的坐标为
综上所述，符合条件的点N的坐标为或或
【解析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
用待定系数法即可求解；
设点P的横坐标为m，得，则PH有最小值，进而求解；
分CD为菱形的边、CD为菱形的对角线两种情况，利用数形结合的方法分别求解即可．

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