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石嘴山三中2025届高三年级第四次模拟考试
数 学
2025.5
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. “缤纷艺术节”的表演比赛中，某节目结束后，100位观众评委的打分情况如下图所示（仅有一个最低分）.计算该节目最终得分时，需去掉一个最高分和一个最低分，关于处理后的打分数据，下列说法一定正确的是（ ）.
A. 中位数不变，极差变小 B. 极差不变，平均数变小
C. 平均数变大，方差变小 D. 方差变小，中位数变大
4. 双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知且，则二项式的展开式中，常数项为（ ）
A B. C. 1 D. 24
6. 已知，函数值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为h，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，且，则下列可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 以下结论正确的是（ ）
A. 经验回归直线一定经过样本点的中心
B. 命题“，”为真命题，则a的取值范围是
C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1
D. 从4本不同的书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小值为
B. 函数的一个对称中心为
C. 函数在区间单调递减
D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
11. 已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（ ）
A.
B. 若，则M到x轴距离为4
C. 若，则
D. 的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，为单位向量，若与的夹角为，则__________．
13. 在△中，三个角的对边边长分别为,则的值为_________.
14. ，，且，不等式恒成立，则m的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记为数列的前n项和，且满足，．
（1）求；
（2）求；
（3）令，记数列的前n项和为，证明：．
16. 现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的．
（1）求比赛只需打两局的概率；
（2）求甲在比赛中获胜的概率；
（3）已知甲在第一局比赛中获胜，求甲在比赛中获胜的概率．
17. 设，两个点的坐标分别为，．动点P满足，其中O为坐标原点．记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点．
（ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程；
（ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列．
18. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）若函数在区间上单调递增．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：，．
19. 如图，在三棱柱中，侧面ABCD是边长为2的正方形，为等边三角形，M为边AD的中点，点N在线段PC上．
（1）证明：平面MPQ；
（2）若，证明：平面BDN；
（3）是否存在点P，使得二面角的正弦值为？如果存在，求出四棱锥的体积，如果不存在，说明理由．
石嘴山三中2025届高三年级第四次模拟考试
数 学
2025.5
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】1
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【17题答案】
【答案】（1）点P轨迹为椭圆，且其方程为．
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【18题答案】
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在，理由见解析，体积为或

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