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限时训练1（统计+立体+解三角）
一、单选题：本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若数据，，，的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是
A. 数据，，，的平均数为13 B. 数据，，，的方差为12
C. D.
2.已知，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
3.下列命题是真命题的有( )
A. 分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
B. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间内的频率为
C. 甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，标准差分别为和2，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为66，方差为
D. 一组数6，4，3，5，3，3，2，2，2，1的分位数为5
4.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险;乙，两全保险;丙，理财类保险;丁，定期寿险;戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是( )
A. 周岁人群参保总费用最少 B. 30周岁以上的参保人群约占参保总人群的
C. 54周岁以上的参保人数最少 D. 丁险种更受参保人青睐
5.某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动满分为100分现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是( )
A. 图中x的值为 B. 估计该校高一大约有的学生竞赛得分介于60至90之间
C. 该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人
D. 该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
6.本小题12分
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩满分100分，成绩均为不低于40分的整数分成六段：…，，得到如图所示的频率分布直方图.
求频率分布直方图中a的值；
求样本成绩的第75百分位数；
已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差
7.本小题12分
如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．
求证：平面；
求异面直线与所成角的正弦值．
8.本小题12分
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
求a的值； 求； 求的值
答案和解析
1.
解：依题意，，，对于A，，故A正确；
对于B，依题意，，所以数据，，，的方差为：，故B错误；对于C，，故C正确；
对于D，由，解得，故D正确.故选：
2.解：，，，故选
3. 【解析】解：对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A错误；
对于选项B：样本数据落在区间内的有120，122，116，120共4个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选项B正确；对于选项C：设甲队人数为n，乙队人数为3n平均数：甲队体重总和60n，乙队体重总和，两队总体重264n，总人数4n，则两队平均体重为，与题目中平均数相符；
方差：甲队方差，乙队方差，两队总体重方差，与题目中方差一致，故选项C正确；对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，
由，则该组数据的分位数是第9个数，该数为5，故选项D正确．故选：
4.解：对于选项A，由饼状图及折线图可知，，即，
故周岁人群参保总费用最少，故A正确；对于选项B，由饼状图可知，30周岁以上的参保人群约占参保人群的，故B错误；对于选项C，由饼状图可知，54周岁以上的参保人数约占，人数最小，故C正确；对于选项D，由柱状图可知，丁险种更受参保人青睐，故D正确；故选
5.解：A选项：，故A错误.
B选项：得分介于60到90之间的学生频率估计为故估计该校大一约有的学生竞赛分数介于60至90之间，所以B正确.
C选项：该校高一学生竞赛得分不小于90的学生频率估计为
因此人数估计为人，所以C正确.
D选项：该校高一学生竞赛得分介于50到80之间的学生频率估计为
而得分介于50到90之间的学生频率估计为
，所以该校高一学生竞赛得分的第75位百分数估计大于80，故D正确.
6.解：每组小矩形的面积之和为1，，
成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为m，由，
得，故第75百分位数为
由图可知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，
故设成绩在中10人的分数分别为，，，，成绩在中20人的分数分别为，，，，，则由题意可得，，，即，，
，所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是
7.【答案】解：连接，设与交点为E，连接DE，四边形为正方形，是的中点，是AB的中点，又平面，平面，平面
，是异面直线与所成的角，直三棱锥各棱长均为4，，，，，，中，由余弦定理得，，
异面直线与所成角的正弦值是
8.【答案】解：由余弦定理得 ，整理得 ，解得 ．
由正弦定理得 ．由余弦定理得 ，所以 ，
．所以
．
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