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2024-2025学年第二学期盐田高级中学高二数学期末考试模拟卷
考试时间：120分钟 分数：150分
一、单选题（共40分）
1．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．4
2．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．将4个不同的小球放入3个不同的盒子，则每个盒子中至少有1个小球的放法总数为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．72
4. 若等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．16 B．或 C． D．或
5. 椭圆的左右焦点分别是，离心率为，过原点的直线交椭圆与A，B两点，的周长最小值为12，则椭圆方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 从6名同学中选4人参加升旗校会，分别担任升旗，护旗，主持，演讲，要求每项工作有一人，每人只承担一项工作，且这6人中甲、乙两人不去升旗，则不同的选择方案共有（　　 ）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，以为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为，若为等腰三角形，则C的离心率是（ ）
A． B． C．3 D．5
8. 已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共18分）
9．函数的导函数的图像如图所示，给出下列判断正确的是（ ）
A.函数在区间内单调递增；B.函数在区间内单调递增；
C.当时，函数有极大值； D.当时，函数有极大值.
10．下列说法正确的有（ ）
A.随机变量,则 B. 随机变量,其中越小，曲线越“矮胖” C.从装有3个红球和4个白球袋中（球除颜色外完全相同），一次摸出3个球，则摸到红球个数X服从超几何分布 D. 从装有3个红球和4个白球袋中（球除颜色外完全相同），一次摸出3个球，摸到红球个数 ，则的期望
11．在中，.若，则的值可以等于（ ）
A． B． C．2 D．3
三、填空题（共15分）
12. 某类种子每粒发芽的概率都为0.8，现播种了500粒，没有发芽的种子数记为X粒，则X的数学期望为 .
13. 已知双曲线：，过左焦点的直线交双曲线于、 两点，的中点为，则双曲线方程为 .
14. 已知数列中，，其前项和为，且满足，则= .
四、解答题
15. （本小题满分13分）在二项式的展开式中，________．给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256；
③若展开式中第7项为常数项．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求的值；（2）求展开式中含的项．
（备注：如果多个条件分别解得，按第一个条件计分）
16.（本小题满分15分）在等差数列的前项和，且，
（1）求的通项；
（2）求数列的前项和.
17.（本小题满分15分）某商场对新购进的一种产品进行试销，得到如下数据及散点图：
定价x(元/kg) 10 20 30 40 50 60
年销量y(kg) 1150 643 424 262 165 86
14.1 12.8 12.1 11.1 10.1 8.8
其中
，
（Ⅰ）根据散点图判断，y与x, z与x哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程.
（Ⅲ）由（Ⅱ）的结果估计若年销量为500kg，定价大概为多少元/kg？（ ）
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
18．（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为，圆E：是以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆,且圆E与直线相切.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）动直线与圆E相切，且与椭圆C交于A,B两点，点,判断的面积值是变量还是常量？若是变量求出面积最大值，若是常量，求出这个常量。
19. （本小题满分17分）已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数a的取值范围.
2024-2025学年第二学期盐田高级中学高二数学期末考试模拟卷参考答案
1—4：ACCD 5—8：ABBA 9:BD 10:CD 11: AD
12:100 13： 14：
15. （1）；（2）
16. （1）
（2）
17.
（1）由散点图可知，Z与X具有较强的线性相关性。
（2）
（3）
所以估计定价为25.7元/kg--
18.
解:(1),,
又因为圆E与直线相切，即.
所以
所以椭圆的方程为：.
(2)由于直线与圆E相切，所以
,
得.
所以，,当且仅当时，取“=”,即.
19. (1)当a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(0)＝0，∴f(x)≥0.
(2)f′(x)＝ex－1－2ax，令h(x)＝ex－1－2ax，则h′(x)＝ex－2a.
①当2a≤1时，在[0，＋∞)上，h′(x)≥0，h(x)单调递增，h(x)≥h(0)，即f′(x)≥f′(0)＝0，
∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)≥f(0)＝0，∴当a≤时满足条件．
②当2a>1时，令h′(x)＝0，解得x＝ln2a，在[0，ln2a)上，h′(x)<0，h(x)单调递减，
∴当x∈(0，ln2a)时，有h(x)∴f(x)在区间(0，ln2a)上为减函数，
∴f(x)综上，实数a的取值范围为(－∞，]．

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