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石家庄市第一中学2024级高一级部6月阶段检测数学学科试题
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列不是基本事实的是（ ）
A．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
D．经过两条平行直线，有且只有一个平面
3．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机抽了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩（单位：分），五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法是一种分层随机抽样
B．这种抽样方法是一种简单随机抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
4．用一个平行于圆雉底面的平面去截圆雉，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆雉的母线长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是△ABC的外心，且满足，若在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，将绘有函数（其中）的部分图像的纸片沿轴折成针二面角，此二面角的平面角为，此时之间的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知均为锐角，且，则下列格式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某次测验中，高一（1）班位同学参加考试，平均分为，方差为，高一（2）班位同学参加考试平均分为，方差为，两个班总的平均分为，方差为，则下列说法一定正确的是（ ）
（参考公式：
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知都是定义在上的函数，且为奇函数，图象关于直线对称，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．为偶函数
B．为奇函数
C．函数图象关于直线对称
D．为偶函数
11．如图，在三棱雉中，，为的中点，点是棱上的中点，则（ ）
A．与平面所成的角为 B．异面直线与所成角的正弦值为
C．二面角的余弦值为 D．点到平面的距离为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．甲同学自进入高一以来，前四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为116，第四次的分数为132，且中位数为120，则甲同学这四次数学考试的平均分为___________．
13．若向量与向量的夹角为，我们定义“”为向量与向量的“外积”．两个向量的外积是一个向量，它的长度定义为，在中，，则的最大值为___________．
14．一个水平放置的装有一定量水的四棱雉密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形，现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且分别为棱的中点，设棱雉的高为2，则图甲中，上方的小四棱雉的高为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，在长方体中，．
（1）设分别为和中点，求证：平行于平面；
（2）求异面直线与所成角的正切值．
16．（本小题满分15分）
某市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值以及所有样本的平均用电量（同组数据以这组数据的中间值作为代表）；
（2）假设该市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数，并说明理由；
（3）该市政府希望使的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值（保留整数），并说明理由．
17．（本小题满分15分）
记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为，求边上的高．
18．（本小题满分17分）
已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
19．（本小题满分17分）
如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为．
（1）求证：平面；
（2）若点为棱的中点，求三棱雉的体积；
（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由．
石家庄市第一中学2024级高一级部6月阶段数学检测参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．D 7．B 8．C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ABD 10．ACD 11．ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．122 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解答】解：（1）取中点，连接、，如图所示：因为为中点，所以，且，又是长方体，为中点，所以，且，即
，且，四边形为平行四边形，所以．
又在平面内，在平面外，因此，平面．
（2）连接，如图所示：
因为平面，平面，所以，
又，所以是异面直线与所成角（或其补角），
因此，异面直线与所成角的正切值为．
16．【解答】解：（1）由题意有，
解得，则所有样本的平均用电量为
千瓦时；
（2）由题意知，用电量不低于400千瓦时的频率为
，
∴估计人数为万人；
（3）∵前5组的频率和为，
前6组的频率和为，
∴，∴，解得．
17． 【解答】（1）由正弦定理及，得，
即，整理得，，即，
因为，所以，所以，即．
（2）因为的面积为，所以，即，
由余弦定理，得，所以，
设边上的高，
由，解得．
18．【解答】（1）因为是偶函数，所以恒成立，
即，化简得，解得；
（2）因为与的图象有且只有一个公共点，所以
只有一个解，由等式成立可得，
即方程有且只有一个解，
令，原方程化简为，在上只有一个解，
①当时，，所以成立；
②当时，若或此时的解分别为或
∴可取；
③当时，，所以在上只有一个解，所以成立；
④当时，对称轴，不合题意舍去．
综上：或．
19．【详解】（1）如图所示，连接，由题意可知面，四边形是菱形．
∵面，∴，
又∵是中点，是正三角形，∴，
显然面，∴面，
∵面，∴，在菱形中，有，
而分别是线段的中点，则，∴，
∵面，
∴面；
（2）如图所示，取的中点，连接，过作交于，
过作分别交、的延长线于、，
易知、分别是、的中点，
则由条件可得，面，面，故面，
即到面的距离等于到面的距离，
由（1）得，面，所以面，是直角三角形，
在菱形中，易得，
所以，即到面的距离为，
，所以，
（3）如图所示，假设存在点满足题意，取的中点，连接，过作交于，
连接，易得，面，面，故面，
又结合（1）的结论有，故二面角为，所以，
在菱形中，作，易得
，
易知为直角三角形，故．

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