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2025届光山县一高、二高二模联考
高三数学试题
注意事项:
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。交卷时只交答题卡。
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若是周期为π的奇函数，则可以是（ ）
A． B． C． D．
4．在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，则（ ）
A．直线∥平面PCD B．直线AF与平面PBC所成角的最小值是
C．直线直线PC D．三棱锥的体积随BF的增大而减小
5．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比是（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线和直线，点为抛物线C上任意一点，设点P到直线的距离为d，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地改造为绿化公园，并拟计划修建主干路与.为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，平分，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17
B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好
D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2
10．在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥的体积为
C．点N的轨迹长度为 D．的取值范围为
11．如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，，，则（ ）
A．存在使得
B．存在使得平面
C．若长度为定值，则时三棱锥体积最大
D．当时，直线与所成角的余弦值的最小值为
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12．以抛物线的焦点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知，则 ．
13．已知 ，则
14．如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．(13分)已知向量，，，图象上相邻的最高点与最低点之间的距离.
(1)求的值及在上的单调递增区间；
(2)设的内角，，的对边分别为，，，且，求的值域.
16．(15分)对于各项均不为零的数列，我们定义：数列为数列的“比分数列”.已知数列满足，且的“比分数列”与的“2-比分数列”是同一个数列.
(1)若是公比为2的等比数列，求数列的前项和；
(2)若是公差为2的等差数列，求.
17．(15分)已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且．
(1)求的方程；
(2)过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：．
18．(17分)已知双曲线的离心率，，分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于，两点，在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．(17分)若数列若满足递推关系其中为常数，我们称该数列为k阶常系数齐次线性递推数列，并称方程为递推关系式（*）的特征方程，该方程的根称为数列的特征根.我们有以下结论：对于k阶常系数齐次线性递推数列，若其不同的特征根为，，…，，且特征根的重数为，则数列的通项公式为
其中，，这里都是常数，它们由数列初始值可以确定.
(1)若数列满足，且，，，求数列的通项公式；
(2)若数列满足对于所有非负整数m，n（），都成立，且，求数列的通项公式；
(3)设边长为1的正六边形ABCDEF，O是六边形的中心，除了六边形的每一条边，我们还从点O到每个顶点连一条线段，共得到12条长度为1的线段，一条路径是指动点沿着上述线段（全部或部分）移动，始点终点均为点O的一条移动路线.求长度为2024的路径共有多少条？（注：根的重数就是方程中同样根的数量）
试卷第1页，共3页
2025届光山县一高、二高二模联考
高三数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C A B A B BCD BD
题号 11
答案 BCD
12．
13．/
14．
15．（1）依题意可得
，
由条件图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为，设函数的最小正周期为，
则，解得（负值已舍去），则，解得.
.
令，
解得，
所以的单调递增区间为，
又，故在上的单调递增区间为.（8分）
（2）因为，，
由余弦定理，
又且，所以，当且仅当时取等号，
所以，又，所以，
所以，则，
则，所以的值域为.（5分）
16．（1）由题意知，
因为，且是公比为2的等比数列，所以，
因为，所以数列首项为1，公比为4的等比数列，
所以；（7分）
（2）因为，且是公差为2的等差数列，所以，
所以，
所以，
所以，因为，
所以.（8分）
17．（1）设．
因为点的坐标为，所以，
由得，
则，
从而
得，所以的方程为．（6分）
（2）证明：因为点的坐标为，直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为．
设，由可得，
则
所以．
由（1）可知，
因为点A，P的纵坐标分别为，且，所以
可得，即．（9分）
18．（1）由离心率，得，所以，则双曲线的渐近线方程为，
因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，，由于，则点为的中点，所以，
又点在双曲线上，所以，整理得：
因为的面积为8，所以，则，
故双曲线的方程为；（7分）
（2）由（1）可得，所以为
当直线的斜率存在时，设方程为：，，
则，所以，则
恒成立，所以，
假设在轴上是否存在定点，设，则
要使得为常数，则，解得,定点，；
又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得，不妨取，
若，则，符合上述结论；
综上，在轴上存在定点，使为常数，且.（10分）
19．（1）依题意，对应的特征方程为：，
即，其根为 (重数为2)和1(重数为1)，
设，即，由，
得，解得，
所以.（5分）
（2）由于所有非负整数成立，
令得，令得，
令得，得，
令得，
联立消去得，即有，
因此，对应的特征方程为，解得其根为1(重数为3)，
设，
由，得，解得，
所以.（6分）
（3）设表示从O到O的长度为的路径条数，表示从到O的长度为的路径条数，则有
，对任何正整数成立，显然，即，
其特征方程为，解得(重数为1)，
因此，由，
得，解得，
因此
所以长度为2024的路径共有条.（6分）
答案第1页，共2页

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