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2024-2025学年上海市黄浦区格致中学高一（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设、，则“”是“”的条件.
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
2.下列说法正确的是( )
A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反
B. 若，且与的方向相同，则
C. 平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上
D. 若，则与方向相同或相反
3.正弦一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦，他是十五世纪西欧数学界的领导人物，今天我们所使用的符号：，，正割，，余切，余割，是经过了漫长的历史发展，直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，若，则( )
A. B. C. D. 或
4.已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.函数的最小正周期为______.
6.复数其中i为虚数单位的虚部是______.
7.已知平面向量，，则在方向上的投影向量为______.
8.设m为实数，点为角的终边上一点，且，则______.
9.已知i为虚数单位，设，，若z为纯虚数，则m的值为______.
10.不等式的解集为______.
11.已知i为虚数单位，若，则的取值范围为______.
12.已知是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为______.
13.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢+矢弧田是由圆弧及其所对的弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是______.
14.已知在中，E为AC的中点，D是线段BE上的动点，若，则的最小值为______.
15.若函数在上恰有一个零点，则实数a的值为______.
16.已知，且函数的图像关于点对称.若其中，则的最小值为______.
三、解答题：本题共5小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题13分
已知复数
若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求m的取值范围；
已知，若是关于x的方程、的一个根，求的值.
18.本小题13分
设在平面上有两个向量，
求证：向量与垂直；
当向量与的模相等时，求的大小．
19.本小题13分
在中，已知
求角B的大小；
设角A、B、C的对边分别为a、b、若，且AC边上的高为，求的周长.
20.本小题13分
已知函数的部分图像如图所示.
求函数的解析式；
将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，求函数的对称轴方程；
在的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由.
21.本小题14分
已知，定义函数表示不小于x的最小整数.例如：，
若，求实数x的取值范围；
求函数的值域，并求满足的实数x的取值范围；
设，，若对于任意的、、都有，求实数a的取值范围.
答案
1.A
2.B
3.C
4.A
5.
6.
7.
8.
9.3
10.
11.
12.
13.9
14.8
15.2
16.
17.解：复数z在复平面上的对应点落在第四象限，
则，，
解得，
故m的取值范围为；
由题意，，
则，解得，故，
又是关于x的方程、的一个根，
则，化简得，
即，，
解得，，
故
18.证明：
，
与垂直．
解：，
两边平方得，
又，，
，，
代入数据可得，即，
，即，
又，
或
19.解：，
，
，
，
或舍，
因为，所以，则，
则，故；
令，则，
由三角形面积公式，得，所以，
由余弦定理可，得，
则，解得，
从而，，，
故的周长为
20.解：根据函数的图象，且，解得，所以；且，由于，故，
故
的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，
令，整理得对称轴方程为：，
由得，由，
得，
所以，所以，
因为，
所以，所以
由题可知，
得，
解得，所以存在，使得成立．
21.解：定义函数表示不小于x的最小整数，若，
则；
函数定义域为
函数在上单调递增，值域为
显然
由，得，所以，
而时，不等式不成立，则，必有，所以，
所以，，解得，所以实数x的取值范围；
当时，，函数在上单调递减，
在是单调递增，因此函数在上单调递增，在是单调递减，
所以，而，
所以在上的值域为
依题意，即
当时，，显然当时，，则，，
当时，，而恒成立，则，
所以实数a的取值范围

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