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2025年上海市中考数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
2.下列代数式中，能表示“与的差的平方”的是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，是正比例函数的是( )
A. B. C. D.
4.如图是某校体育组人的某科成绩，下列说法中正确的是( )
A. 中位数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 众数是
5.在正方形中，：的值是( )
A. B. C. D.
6.在锐角三角形中，，，它的外接圆的半径长为，若点是边的中点，以点为圆心的圆和相交，那么的半径长可以是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.分解因式：______．
8.不等式组的解集是______．
9.方程的解为______．
10.一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是______．
11.抛物线向下平移两个单位所得的抛物线解析式为______．
12.已知一个反比例函数，在每个象限内，函数值随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是______只需写出一个
13.小明手中有、、、四张牌，小军手中有、、、四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为______．
14.如图，某公司安装了一个人脸打卡器，是高的门框，某人高，只有当时，他才能开门，那么长为______参考数据：，，，保留位小数
15.某高铁站出站后有出租车、地铁、汽车、公交等出行方式，高铁站为调查各个出行方式的人流，先对人展开调查，结果如图所示，那么某日高铁站出站客流约为万人，其中有约______人选择出租车．
16.已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要皮秒，已知皮秒等于秒，那么这个工具秒可以擦除______次用科学记数法表示．
17.已知矩形中，点在边上，是点关于直线的对称点，联结、、，若四边形是菱形，那么的值为______．
18.已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为______度
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
解方程：．
21.本小题分
某品牌储水机的容量是升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量升和时间分钟的图象如图所示，加水过程中，水的温度摄氏度和分钟的关系：．
求与的函数关系式，并写出定义域；
求储水机中的水加满时，储水机内水的温度．
22.本小题分
某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究．
如图，梯形中，，，点是中点，是梯形的顶点，将绕旋转得到，若，且此时，求的长用含的代数式尝试表示；
如图，梯形，，，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图中画出图形，要求：所得的部分不重叠，不间隙地拼；在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点模仿中的表述：点是中点，是梯形的顶点
23.本小题分
如图，在中，和是弦，半径、分别交于点、，且．
求证：；
若，求证：．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，顶点为点，抛物线于轴交于点．
求和的值．
另一条抛物线也经过点和，顶点为点，与轴交于点．
求的值；
当四边形是直角梯形，求其最小内角的正弦值．
25.本小题分
如图，平行四边形中，点、分别是边、上的点．
若是中点；
若，求证：；
若，联结交于，求：的值；
如图，若，，，，求的长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.万
16.
17.
18.或
19.解：原式
．
20.解：方程两边同乘，
得：，
解得：或，
检验：当时，，
当时，，
原方程的解为．
21.每分钟加水量为升，
则，
当时，解得，
与的函数关系式及定义域为．
当时，，
储水机中的水加满时，储水机内水的温度为摄氏度．
22.如图中，过点作于点．
，，
，
，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
，，
≌，
，
，，
，
；
图形如图所示．
方法：取，，的中点，，，连接，延长交的延长线于点，连接，延长交的延长线于点，
23.证明：连接，，
，
，
，
≌，
，
，
，
；
≌，
，
，
，
，
连接，
，
≌，
，
，，
∽，
，
，
∽，
，
．
24.将，代入中，
，
；
将，代入中，
，
，
抛物线解析式为，
抛物线与轴交于点，
，顶点，
由可知：，
，，
，，
；
当时，如图所示，，
，
，
，
为最小内角，
过点作于点，
，
，，，
；
当时，如图所示，，
，
，
，
为最小内角，
过点作于点，
，
，，，
；
综上所述：最小的角的正弦值为或．
25.证明：如图所示，延长，交于，
四边形是平行四边形，
，
，，
是边中点，
，
≌，
，，
，
，
，
；
解：如图所示，延长，交于，
四边形是平行四边形，
，，
∽，∽，
，，
，，
是边中点，
，
设，则，
，
，，
，
，，
设，则，，
，
；
解：如图所示，延长，交于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
∽，
，，
，
∽，
，
∽，
，
，
，
设，，
∽，
，即，
，，
，即，
，，
，
∽，
，即，
，
解得或舍去，
．
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