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姓
名
考场号
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)秘密★启用前
涪陵五中高2026届2025年春期末模拟考试
数学试卷
本试卷共4页，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知命题，，命题，，则
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
3．现有8名社工，参加两个社区工作，每个社区4人，其中甲、乙、丙、丁四人是好友关系。他们希望在工作时，至少有一名好友相伴，试问：这样的工作安排方案共有（ ）种？
A．20 B．38 C．70 D．74
4．的展开式中，含项的系数为
A．120 B．220 C．260 D．280
5．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是
A． B． C． D．
7．已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高一、高二年级学生的近视率分别为25%，35%．若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为40%，则高三年级学生的近视率为
A．54.5% B．52.5% C．50.5% D．50.25%
8．已知，，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知样本数据的均值和标准差都是10，下列判断正确的是
A．样本数据均值和标准差都等于10；
B．样本数据均值等于31、标准差等于30；
C．样本数据的标准差等于0.1，方差等于1；
D．样本数据的标准差等于2、方差等于4；
10．关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的取值可以是
A．5,6 B．6,7 C．7,8 D．8,9
11．已知函数及其导函数定义域均为，且满足，，则下列说法正确的有
A．函数在上单调递增
B．函数存在极小值
C．若，则
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了 %的学生（精确到0.1%）．（参考数据：，，）
13．已知，都是正数．若，且，则的最小值为 ．
14．已知函数及其导函数的定义域均为，且满足当时，．若不等式在上恒成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍．
（1）根据题中信息，完成下面列联表；
单位：人
性别 喜爱情况 合计
喜爱 不喜爱
男
女
合计
（2）根据（1）中的列联表，依据的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？
附：．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．（15分）
设，，．若，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求展开式中系数的绝对值最大的项.
17．（15分）
随着经济的发展某地居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款（年底余额）：
年份 2013 2014 2015 2016 2017
储蓄存款（千亿元） 5 6 7 8 10
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表：
时间代号 1 2 3 4 5
0 1 2 3 5
（1）求关于的经验回归方程；
（2）通过（1）中的方程，求出关于的经验回归方程；
（3）用所求经验回归方程预测到2021年年底，该银行储蓄存款可达多少？
附：对于经验回归方程，其中，．
18．（17分）
DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
19．（17分）
已知函数
（1）当时，求函数在区间上的最小值；
（2）试讨论函数的单调性；
（3）当时，不等式恒成立，求正整数的最大值.
涪陵五中高2026届2025年春期末模拟考试
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C B C B D B C BD BC ACD
8. 由题意得，，要比较与0的大小，即比较的大小. 由，，可得，故；又， 故，所以，故选：C. 另外本题还可以通过考虑函数的单调性来解决问题.
11. 由已知可得，构造函数，
则，所以，其中为常数，
所以，可得，故，所以，解得，故，A选项，函数在上单调递增，A正确；
B选项，，令，其中，则，令，则，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.
故，所以函数在上单调递增，即函数无极值，B错误；C选项，因为，所以，
则，当且仅当时，等号成立，故C正确；D选项，由，则，，故，
不等式，可化为，即，即，由，不等式又可化为，
令，即.下面证明：任意，.
证明：原不等式，令，即证，构造函数，，则，
故在单调递减，由，则，故得证.
因此，成立，故D项正确；故选：ACD.
12． 13．2 14．
14. 令，则，故为R上的偶函数，当 时，．所以在单调递减，在单调递增．等价于，即在上恒成立．所以，平方后化简得到．
由一次函数性质可得，解得，即.
15. （1）设喜爱该档节目的男性观众数为x，则喜爱该档节目的女性观众数为，不喜爱该档节目的女性观众数为， 则，得．
故列联表完成如下．
单位：人
性别 喜爱情况 合计
喜爱 不喜爱
男 30 70 100
女 40 60 100
合计 70 130 200
（2）零假设为：观众对该档节目的喜爱情况与性别无关．
根据（1）中列联表的数据，计算得到．
根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关．
16. （1）由二项式定理可得展开式的通项为，所以，
所以.
整理可得，解得或（舍去负值）.
（2）由（1）知，
令，可得.
(3)设展开式中第项系数的绝对值最大，则，
解得，又，所以，所以第三项系数的绝对值最大.
17. （1）设关于的线性回归方程为，经计算得：，，，
， ∴，，
∴；
（2）将，代入得：，即；
（3）时，（千亿元），
预测到年年底，该银行储蓄存款额可达千亿元．
18. （1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
0 1 2
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
19. （1）当时，，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
故在区间上的最小值为.
（2）
当时，由，得；由，得，
此时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
此时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，对任意的恒成立，此时，在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
此时，在上单调递减，在和上单调递增.
综上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增.
（3）当时，不等式恒成立，
整理可得，原题意等价于对任意恒成立，
令，则，
令，则，所以在区间上单调递增，因为，，所以在区间内存在唯一零点，即，所以，当时，，即；当时，，即；可知在区间上单调递减，在区间上单调递增；所以，因为，则，即，且为正整数，则，所以整数的最大值是.

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