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灌南县惠泽高级中学第二学期第一次月考
高二数学试题
考试时间120分钟 满分150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1．设随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．袋中共有个球，其中有个红球、个黄球和个绿球，这些球除颜色外完全相同，若从袋中一次随机抽出个球，则取出的个球颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
3． 的展开式中项的系数为（　　）
A． B． C．80 D．200
4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A．2004 B．2005 C．2025 D．2026
5．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路 计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，当电路运行一次时，的数学期望（ ）
A． B．2 C． D．3
6．已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（ ）
A． B． C． D．
7．为庆祝中国共产党成立100周年，重温党的光辉历程，歌颂党的伟大成就，继承和发扬党的优良革命传统，充分展现当代中学生爱党 爱国 爱社会主义的深厚情怀，我校计划举办2021年“荔枝杯”中学生演讲比赛，要求从5名男生，2名女生中随机选出4人进行现场比赛，且至少要选1名女生，如果2名女生同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序共有（ ）
A．120种 B．480种 C．600种 D．720种
8．设集合，设集合是集合的非空子集，中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为的子集的元素个数之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4题，每题5分，错选得0分，漏选得2分，共计20分）
9． 、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A．若、两人站在一起有种方法 B．若、不相邻共有种方法
C．若在左边有种排法 D．若不站在最左边，不站最右边，有种方法
10．一个袋中有大小 形状完全相同的3个小球，颜色分别为红 黄 蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ）
A． B．为互斥事件
C． D．相互独立
11．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，…10，用X表示小球落入格子的号码，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共4题，每题5分，共计20分）
13．若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为________.
14．若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为________．
X 0 1 2 3
P a b
15．已知的展开式中第三项的二项式系数比第二项的系数大，则展开式中的系数为________（用数字作答）．
16．在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则___________．
四、解答题（共6题，17题10分，其余每题12分）
已知
求（1） （2） （3）
18.（1）由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数共有几种？
（2）我校高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，求不同的选取法的种数.
19.已知数列是递增的等比数列且
求数列的通项公式
设是数列的前项和，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值
20.2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（ 也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划上要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中.
（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的范围.
21.函数
已知，求的值
锐角三角形中，若，求三角形周长的取值范围
22.已知函数，且曲线在处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求的取值范围．
灌南县惠泽高级中学第二学期第一次月考
高二数学试题答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1 , A 2, C 3, B 4, D 5, C 6, B 7, C 8, C
二、多项选择题
9,AC 10,AC 11,AC D 12,AD
三、填空题
13， 14， 15, 560 16，
四、 解答题
17. 解（1）1094 （2）2187 （3）
18.解（1）280 （2）472
19解（1）
（2）
对递增，的最小值为 所以的最大值为
20.解：（1）甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率分别为
（2）设该考生报考甲、乙大学通过的科目数分别为
则服从，
随机变量的分布列为
0 1 2 3
由得
21.解：（1）由得，由，
得
（2）由得，在锐角三角形中，，
由正弦定理
周长在上递减，
所以周长的取值范围为
22.解：（1）对于函数，当时，，
此时，切线的斜率为，
故此处的切线方程为，即．
再根据曲线在处的切线方程为，
可得，且，
，且．
（2）对任意，都有恒成立，
当时，恒成立．
，则，由于，，
而是上的增函数，
故存在实数，使，故在上小于零，在上大于零，
故在上递减，在上递增，故的最小值为．
而，故在上，恒成立，即在上单调递减．
当时，，故在上单调递增，故的最小值为，，故的范围为，．

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