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2024--2025 学年浙江省杭州市文海中学七年级（下）期末考试
数学模拟试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列方程中，是二元一次方程的是( )
A. + = 1 B. = 1 C. 1 = 1 D. 2 1 = 0
2.若要调查下列问题，你认为适合采用全面调查的是( )
A.对全国中学生每天睡眠时长情况的调查
B.对一批节能灯的使用寿命的调查
C.对北仑区城湾水库水质情况的调查
D.对载人航天飞船发射前各零部件质量情况的调查
3.下列运算正确的是( )
A. 2 4 = 6 B. 2 + 6 = 8 C. ( 2)4 = 6 D. 8 ÷ 4 = 2
4.随着半导体芯片市场的不断发展，手机芯片的工艺也从 7 到 5 ，再到如今最先进的 3 工艺，性能
也越来越强，已知 3 = 0.000000003 ，其中 0.000000003 用科学记数法表示为( )
A. 0.3 × 10 9 B. 3 × 10 9 C. 3 × 10 8 D. 0.3 × 10 8
5 .如果把分式 中的 和 都扩大为原来的 3 倍，那么分式的值( )
A.扩大为原来的 9 倍 B.扩大为原来的 3 1倍 C.不变 D.缩小为原来的3
6 1 1.下列各式：① 2 2；②1 2 2；③ 24 + +
2；④ 2 + 2 + 2；⑤ 2 + 4，可以用公式法
分解因式的有( )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
7.将一张两边平行的纸条如图折叠一下，若∠1 = 40 ，则∠2 的度数是( )
A. 50 B. 60 C. 70 D. 80
8.多项式 2 2 13 + 中，有一个因式为( 5)，则 的值为( )
A. 15 B. 3 C. 15 D. 3
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9.设 为某一自然数，代入代数式 3 计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( )
A. 521 B. 1413 C. 3721 D. 1716
10.如图，在线段 上取点 ，分别以 ， 为边在 的同侧作两个正方形，若 = 8， = ，则图中
阴影部分的面积为( )
A. 32 B. 2 + 32 C. 2 8 + 32 D. 2 + 16 31
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。
11 1.要使分式 5有意义，则 需满足的条件是 ．
12.运动会上将 20 名运动员按跳远成绩分组后，组界为 4.05～4.55 米的一组有 6 人，则该组的频率是 ．
13.若 3 = 6 2 15 2，则 代表的整式是 ．
14 = 2.若 = 1是关于 、 的方程 3 2 = 2 和 5 + = 3 的公共解，则 + = ．
15.已知 = 1，则 2 2 2 的值为 ．
16.图 1 的指甲剪利用杠杆原理操作，图 2 是使用指甲剪的侧面示意图，∠ = 90 ，杠杆 与上臂
重合；使用时， 刚好至 ′点，当 ′ ′// 时，恰好 ′′平分∠ ，若∠ ′ ′ = 129 ，则
∠ = ．
三、计算题：本大题共 2 小题，共 12 分。
17.计算
(1) 12 + ( 13 )
2 ( 1)0；
(2)( 3)2 ( + 4)( 4)．
18.解方程(组)
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3 + = 9
(1) 2 = 4；
(2) 2 1 5 + 5 = 1．
四、解答题：本题共 6 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题 8 分)
1 2 4 +4
先化简，再求值： 1 1 ÷ 2 4 ，其中 从 0，1，2 中选取一个合适的值代入．
20.(本小题 8 分)
某学习小组以“学生上学的主要交通方式”为主题，对全校学生进行抽样调查，根据结果绘制了如下不完
整的条形统计图和扇形统计图(每位同学必选且仅选一项)：
请根据图表信息，解答下列问题：
(1)求本次抽样调查的学生人数，并补全条形统计图．
(2)若该校有 1200 名学生，则以电瓶车为主要交通方式的学生约有多少人？
21.(本小题 8 分)
临近期末，某校七年级一班打算购买一些记录本和笔作为休学式当天班内学期表彰的奖品．已知一本记录
本的价格比一支笔的价格高 1 元，用 180 元可以购得的本子数量和用 150 元可以购得的笔的数量相同．
(1)求记录本和笔的单价．
(2)本次计划使用 120 元班费全部用于购买记录本和笔(经费无剩余且两种奖品都要购买)，请问有哪几种购
买方案？
22.(本小题 8 分)
如图，一束光线 射到平面镜 上，经平面镜 反射到平面镜 上，又经平面镜 反射得到光线 ，反射过程
中，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4．
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(1)若 / / ，且∠1 = 40 ，求∠4 的度数．
(2)探究∠2 与∠3 有什么关系时，光线 与光线 平行．
23.(本小题 8 分)
【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法
(1)填空：因式分解 3 2 6 + 3 =
(2)【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，
但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解
法．例如：“ 2 2 + 3 + 3 ”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分
解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为
2 2 + 3 + 3 = 2 2 + 3 + 3 = + + 3 + = + + 3 ．
请在上述方法的启发下，分解下列因式：
① 2 + 6 6 ；
② 2 2 + 6 + 9．
(3)【应用尝试】已知实数 ， 满足 2 2 4 + 4 + 2 + 2 = 0，求 的值．
24.(本小题 8 分)
规定一种新的运算“ ”，其中 ≠ 0， 为正整数．其运算规则如下：
① = 1；② = 1(其中 为常数)．
(1)计算： 8 = ， = (其中 为常数)；
(2) 3 + 2 + 1 =
3 + 1 2 + 2 + 6 + 1 1 (其中 ， 均不为 0)．
①求 ， ， 的值；
5 2 +5
②化简并计算： 1 1 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. ≠ 5
12.0.3
13.2 5
14.7
15.1
16.12
17. 1（1）解： 12 + ( ) 23 ( 1)
0
= 1+ 9 1
= 7；
（2）解：( 3)2 ( + 4)( 4)
= 2 6 + 9 2 16
= 25 6 ．
18. 3 + = 9①（1）解：
2 = 4②
① × 2 +②得，7 = 14，
解得： = 2，
将 = 2 代入①得，6 + = 9
解得： = 3
∴ = 2原方程组的解为： = 3；
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2 1
（2）解： 5 + 5 = 1
∴ 2 1 = 5
解得： = 3，
经检验， = 3 是原方程的解
2
19.解：原式= 1 1 2 1 1 ÷ +2 2
2 + 2 2
= 1 × 2 2
+ 2
= 1
∵分式的分母不等于 0，
∴ ≠ 2， ≠ 1
把 = 0 代入得，原式= 2．
20.（1）解：本次抽样调查的学生人数为 24 ÷ 20% = 120(人)．
公共汽车的人数为 120 × 25% = 30(人)，
统计图补全如图所示．
36
（2）120 × 100% = 30%．
30% × 1200 = 360(人)．
答：以电瓶车为主要交通方式的学生人数约有 360 人．
21.（1）解：设笔的单价为 元，则记录本的单价为 + 1 元．
180 150
+1 =
180 = 150 + 1
180 = 150 + 150
180 150 = 150
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30 = 150
= 5 ，
经检验 = 5 是原方程的解，
记录本的单价为： + 1 = 5 + 1 = 6(元)
∴笔的单价为 5 元，则记录本的单价为 6 元；
（2）解：设购买记录本 本，购买笔 支．
6 + 5 = 120
= 120 6 5 = 24
6
5
因为 ， 为正整数，
所以 只能取 5 的倍数．
6×5
当 = 5 时， = 24 5 = 24 6 = 18；
当 = 10 6×10时， = 24 5 = 24 12 = 12；
当 = 15 时， = 24 6×155 = 24 18 = 6．
综上，有三种购买方案，分别为：方案一，购买记录本 5 本，笔 18 支；
方案二，购买记录本 10 本，笔 12 支；
方案三，购买记录本 15 本，笔 6 支．
22.（1）解∵ ∠1 = ∠2，∠1 = 40 ，
∴ ∠2 = ∠1 = 40 ．
∵ ∠1 + ∠2 + ∠ = 180 ，
∴ ∠ = 180 ∠1 ∠2 = 100 ．
∵ / / ，
∴ ∠ + ∠ = 180 ．
∴ ∠ = 180 ∠ = 80 ．
∵ ∠3 + ∠4 + ∠ = 180 ，
∴ ∠3 + ∠4 = 180 ∠ = 100 ．
∵ ∠3 = ∠4，
∴ ∠4 = 50 ．
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（2）当∠2 + ∠3 = 90 时，光线 与光线 平行．
理由如下：
∵ ∠1 = ∠2，∠1 + ∠2 + ∠ = 180 ，
∴ ∠ = 180 ∠1 ∠2 = 180 2∠2．
同理∠ = 180 ∠3 ∠4 = 180 2∠3．
∴ ∠ + ∠ = 180 2∠2 + 180 2∠3
= 360 2 ∠2 + ∠3 = 360 180 = 180 ，
∴ // ．
23.（1）3 1 2
（2）① 2 + 6 6
= 2 + 6 6
= + 6
= + 6 ．
② 2 2 + 6 + 9
= 2 + 6 + 9 2
= + 3 2 2
= + 3 + + 3 ．
（3）2 2 4 + 4 + 2 + 2
= 2 4 + 4 + 2 + 2 + 2
= 2 2 + + 2，
∵ 2 2 4 + 4 + 2 + 2 = 0，
∴ 2 2 + + 2 = 0，
∴ 2 = 0 + = 0 ,
∴ = 2 = 2 ,
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∴ = 2 2 = 2 + 2 = 4．
24.（1）8 7；
（2）①解：由题意知， 3 = 3 2， 2 = 2 ， = 1，
∴ 3 + 2 + 1 =
3 + 1 2 + 2 + 6 + 1 1 1 ，整理得，3
2 + 2 + =
3 +
1 2 + 2 + 6 + 1 1 ，
∴ = 0， 1 = 3 ，2 + 6 = 2 ，1 1 1 = ，
解得， = 1， = 4，
∴ = 0， = 1， = 4；
1 1
②解：由①可知，1 = ，整理得 + = ，
∴ 5 2 +5 = 5 + 2 = 5 2 1 1 + +1 +1 = 3，
∴ 5 2 +5 1 1 的值为 3．
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