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2024-2025 学年浙江省杭州市滨江区七年级（下）4 月期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列各式中，属于二元一次方程的是( )
A. 2 + = 0 B. 3 2 = 0 C. = 2 + 1 D. +
1
2
2.图中∠1 与∠2 为同位角的是( )
A. B. C. D.
3.太空中微波理论上可以在 0.000006 秒内接收到相距约 2 的信息，数据 0.000006 用科学记数法表示应
为( )
A. 0.6 × 10 6 B. 0.6 × 10 5 C. 6 × 10 7 D. 6 × 10 6
4.以下现象属于平移的是( )
A.钟摆的摆动 B.电风扇扇叶的转动
C.分针的转动 D.滑雪运动员在平坦的雪地上沿直线滑行
5.下列各组数中不是方程 2 3 = 1 的解的是( )
A. = 1 = 1 = 2 = 5 = 1 B. = 1 C. = 1 D. = 3
6.下列计算正确的是( )
A. 3 3 = 6 B. 3 + 3 = 2 6 C. 3 3 = 2 6 D. 2 3 = 6
7.如图，∠1 = ∠2，∠4 = 130 ，则∠3 等于( )
A. 30 B. 35 C. 50 D. 40
8.某出租车起步价所包含的路程为 0～2 ，超过 2 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了
7 ，付了 16 元；盼盼乘坐这种出租车走了 13 ，付了 28 元．设这种出租车的起步价为 元，超过 2
后每千米收费 元，则下列方程正确的是( )
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+ 7 = 16
A. B. + 7 2 = 16 + 13 = 28 + 13 = 28
+ 7 = 16 + 7 2 = 16
C. + 13 2 = 28 D. + 13 2 = 28
9.设 = ， = + ， = 2 + 2， = 2 2，且 = 2，①当 = 3 时， = 6. 29 21②当 = 2时， = 4 .
则下列正确的是( )
A.①正确②错误 B.①正确②正确 C.①错误②正确 D.①错误②错误
10.如图， // ，一块三角板的顶点 在直线 上，边 、 分别交直线 于 、 两点．∠ = 60 ，
∠ = 90 ，∠ = 30 .点 在∠ 的平分线上，连接 ，且∠ : ∠ = 1: 3，若∠ = 32 ，则∠ 的度
数为( )
A. 32 B. 38 C. 42 D. 44
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。
11.计算： 3 0 + 2 1 = ．
12.已知二元一次方程 2 + = 4，用含 的代数式表示 ，则 = ．
13.如图，将 沿 方向平移 2 个单位长度得到 ，已知 = 5，则 的长为 ．
2 + = 3 + 2
14.已知关于 , 的方程组 4 3 = + 5，若 2 = 1，则 的值为 ．
15.已知在 2 + + 1 的积中，含 2项的系数为 2，不含 项，则 + 的值为 ．
16.如图，长方形 3的顶点 , 分别在正方形 的边 , 上，点 在正方形内．若 = 1， = 2，
长方形 的面积为 ( 是正数)，设 + = ，用含 的代数式表示 2为 ．
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三、计算题：本大题共 3 小题，共 18 分。
17.计算：
(1)3 4 2 2 ；
(2)12 2 ÷ 3
(3) 3 2 2
(4) 3 + 2 ÷ ；
18.计算：
(1) 2 3 ；
(2) 1 2 + 3 ；
(3) + 1 2 + 2 + 1 ；
(4) 1 2 + 3 3 ．
19.解下列方程(组)：
2 = 1
(1) = 1
(2) 2 3 = 14 2 = 2
(3) 3 5 + 16 = 02 + 3 2 = 0
四、解答题：本题共 5 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题 8 分)
如图所示，在每个小正方形边长均为 1 个单位长度的方格内，有一个 ，且 的每个顶点均与小正
方形的顶点重合．
(1)在方格内，将 向下平移 4 个单位长度得到 ，请画出 ，
(2)求三角形 平移到 的过程中， 所扫过的面积．
21.(本小题 8 分)
如图，已知 ， 分别是射线 , 上的点．连接 ， 平分∠ ， 平分∠ ，∠2 = ∠3．
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(1)试说明 // ；
(2)若∠ ∠2 = 30 ，求∠ 的度数．
22.(本小题 8 分)
计算：
(1)若 2 + 2 = 0，求32 3 的值；
(2) 1 1若 = 3，求
2 + 2的值．
(3)已知 2 2 + 3 4 = 0，求代数式 3 2 + 1 2 + 1 2 1 的值．
23.(本小题 8 分)
一张如图 1 的长方形铁皮，四个角都剪去边长为 30 厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒
如图 2，铁盒底面长方形的长是 4 ，宽是 3 ，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．
(1)请用 的代数式表示图 1 中原长方形铁皮的面积；
(2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每 50 元钱可漆的面积为 2 ，则油漆这个铁盒需要多少钱
(用 的代数式表示)？
(3)是否存在一个正整数 ，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个 ，若不存在，请
说明理由．
24.(本小题 8 分)
如图 1， 为线段 上一点，以 、 为一边，在 同侧作长方形 和长方形 ，且满足 = 2 ，
= 2 ，记 = 2 ， = 2 >
(1)记长方形 的面积为 1，长方形 的面积为 2，若 = 6， = 2 ，求 1 2．
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(2)如图 2，点 是线段 上的动点，
①当点 从点 向左移 3 个单位后，求 与 的面积之差(结果用含 , 的代数式表示)．
②当点 从点 向左移动 0 < < 1 个单位后，求 与 的面积之差为 1.当点 从点 向左

移动 个单位后，求 与 的面积之差为 2，求 1 的值(结果用含 的代数式表示)．2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.32
12.4 2
13.7
14.14 /0.25
15.6
16.16 +14
17.（1）解：3 4 2 2 = 3 × 2 4 2 = 6 4+2 = 6 6
（2）解：12 2 ÷ 3 = 12 ÷ 3 2 ÷ = 4 2 1 = 4
（3）解：( 3 2 )2 = ( 3)2 ( 2)2 2 = 9 2×2 2 = 9 4 2
（4）解： 3 + 2 ÷ = 3 ÷ + 2 ÷ = 3 + 2
18.（1）解： 2 3
= 2 2 + 6
（2） 1 2 + 3
= 2 2 + 3 2 3
= 2 2 + 3
（3） + 1 2 + 2 + 1
= 2 + 2 + 1 + 2 2 + 2
= 3 2 + 4 + 1
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（4） 1 2 + 3 3
= 2 2 + 1 2 + 9
= 2 + 10
19. 2 = 1（1）解： = 1
把 = 1 代入 2 = 1，得：
2 1 = 1
2 + 1 = 1
= 2
把 = 2 代入 = 1，得 = 2 1 = 3
= 3
所以方程组的解为 = 2
（2
2 3 = 1①
）解：
4 2 = 2②
① × 2 得：4 6 = 2③
② ③得： 4 2 4 6 = 2 2
4 2 4 + 6 = 4
4 = 4
= 1
把 = 1 代入①得：2 3 × 1 = 1
2 + 3 = 1
2 = 2
= 1
= 1
所以方程组的解为 = 1
（3
3 5 = 16①
）解：原方程组整理为
2 + 3 = 2②
① × 2 得：6 10 = 32③
② × 3 得：6 + 9 = 6④
④ ③得：
6 + 9 6 10 = 6 32
6 + 9 6 + 10 = 38
19 = 38
= 2
把 = 2 代入②得：2 + 3 × 2 = 2
2 + 6 = 2
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2 = 4
= 2
= 2
所以方程组的解为 = 2
20.（1）解：如图所示： 即为所求．
（2）解： 所扫过的面积= 4 × 4 = 16．
21.（1）解：∵ 平分∠ ，
∴ ∠1 = ∠2，
∵ ∠2 = ∠3，
∴ ∠1 = ∠3，
∴ // ．
（2）解：∵ ∠ ∠2 = 30 ，∠2 = ∠3，
∴ ∠3 = ∠2 = ∠ 30 ，
∵ / / ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = 12∠ ，
∵ ∠3 + ∠ = 180 ，
∴ ∠ 30 + 2∠ = 180 ，
解得，∠ = 70 ，
∴ ∠ 的度数为 70 ．
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22.（1）解：由 2 + 2 = 0，得 2 + = 2
∴ 32 3 = 32 + = 32 = 9；
1
（2）解：∵ = 3，
1 1 2
∴ 2 + 2 = + 2 = 3
2
+ 2 = 9 + 2 = 11
（3）解：3 2 + 1 2 + 1 2 1
= 6 2 + 3 4 2 1
= 6 2 + 3 4 2 + 1
= 2 2 + 3 + 1
由 2 2 + 3 4 = 0，得 2 2 + 3 = 4
把 2 2 + 3 = 4 代入 2 2 + 3 + 1，原式= 4 + 1 = 5
23.（1）解：原铁皮的面积是 4 + 60 3 + 60 = 12 2 + 420 + 3600 2；
（2）油漆这个铁盒的表面积是：12 2 + 2 × 30 × 4 + 2 × 30 × 3 = 12 2 + 420 2 ，

则油漆这个铁盒需要的钱数是： 12 2 + 420 ÷ 50
50
12 2 + 420 ×
= 600 + 21000 元；
（3）铁盒的全面积是 4 × 3 + 4 × 30 × 2 + 3 × 30 × 2 = 12 2 + 420 2，
底面积是 12 2 2，
假设存在正整数 ，使 12 2 + 420 = 12 2 ，
则 1 = 35，
当 = 35 时， = 2；
当 = 7 时， = 6；
当 = 5 时， = 8；
当 = 1 时， = 36．
所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时 = 35 或 7 或 5 或 1．
24.（1）解：∵ = 2 ， = 2 ， = 2 ，
∴ = 2 ，
∵ = 6，
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∴ + = 6，即 3 = 6，
∴ = 2， = 4，
∴ = 2， = 1，
∴ 1 = 2 = 2 2 = 8， 2 = 2 = 2 2 = 2，
∴ 1 2 = 8 2 = 6；
（2）解：①由题意得： = 2 = 5 + = + 2 = +5 3 3 ， 3 3 ，
2 2
∴ =
1 5 + 1 +5 5 + 5 5 2 2
2 3 2 3 = 6 = 6 ；
②当点 从点 向左移动 (0 < < 1)个单位后，
由题意得： = 2 ， = + 2 ，
∴ = 1 1 1 2 21 = 2 2 + 2 + 2 = 2 2 ，
当点 从点 向左移动 个单位后， = 2 = + ， = 2 + = + ，
∴ = = 1 + 1 + = 1 2 22 2 2 2 ，
1
1 2 2
2 2
∴ = = 2 0 < < 1 ．2 1 22 2
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