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2025年河北省中考数学模拟试卷（实战型）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最高的建筑物，总高米，如图所示，在埃菲尔铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构，你能从中推断出其运用的数学原理是( )
A. 三角形的不稳定性
B. 三角形的稳定性
C. 三角形两边之和大于第三边
D. 两点之间线段最短
2.如图是一个几何体的三视图，该几何体是( )
A. 球 B. 棱柱
C. 圆柱 D. 圆锥
3.“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行，且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则( )
A. B. C. D.
4.阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：
四个学生一起做乘法，其中是正数，那么最后得出的结果是( )
A. B.
C. D.
5.若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对如图，是甲、乙同学手中的扑克牌若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是( )
A. B. C. D.
6.如图，的值可能是( )
A.
B.
C.
D.
7.若的结果为整数，则整数的值不可能是( )
A. B. C. D.
8.如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
作线段，分别以，为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为；
以为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点；
连接，．
下列说法不正确的是( )
A. 是等边三角形
B.
C. 点在的中垂线上
D.
9.从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超次其中用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
10.如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，菱形的边长为，，点，在菱形的边上，从点同时出发，分别沿和的方向以每秒的速度运动，到达点时停止，线段扫过区域的面积记为，运动时间记为，能大致反映与之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴，与轴交于点，且，，则下列判断中正确的是( )
A. 此抛物线的解析式为
B. 当时，随着的增大而增大
C. 此抛物线与直线只有一个交点
D. 在此抛物线上的某点，使的面积等于，这样的点共有三个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若，则的值为______．
14.如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上分别过点，向轴，轴作垂线，若阴影部分的面积为，则______．
15.如图，在中，，，，，，点在上，交与点，交与点，当时， ______．
16.邻边长分别为，的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于的菱形称为第一次操作；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形称为第二次操作；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则的值______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，乙矩形的面积是甲矩形面积的，它们的长宽比也都是：，乙矩形的长是厘米．
求甲矩形的面积是多少？
把图中乙矩形向左平移得到图，重叠部分又是一个长宽比为：的矩形，这个矩形的面积域的面积是多少平方厘米？
如果把这两个矩形随意重叠放置，如图，求甲、乙两矩形未重叠部分的面积差．
18.本小题分
定义新运算“”：当时，；当时，．
当时，求的值．
若，求的值．
19.本小题分
某中学九年级组织了一次“汉字听写比赛”，每班选名同学参加比赛，成绩分为，，，四个等级，其中等级得分为分，等级得分为分，等级得分为分，等级得分为分语文教研组将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题．
把一班比赛成绩统计图补充完整．
填空：
班级 平均数 中位数 众数
一班
二班
表格中 ______， ______， ______；
请从以下给出的两个方面对这次比赛成绩的结果进行分析：
从平均数、众数方面来比较一班和二班的成绩；
从等级以上包括等级的人数方面来比较一班和二班的成绩．
20.本小题分
如图是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图、图是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．
如图，当支撑点在水平线上时，支撑点与前轮轴心之间的距离的长；
如图，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．参考数据：，，
21.本小题分
如图，直线与坐标轴分别交于点，，直线与关于轴对称．
求点、、的坐标；
若点在的内部不包含边界，求的取值范围；
为坐标原点，若过点的直线将分成的两部分面积之比为：，求该直线的解析式．
22.本小题分
如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于点，于点设点的运动时间为．
用含的代数式表示的长；
当点在边上时，求证：；
当与全等时，直接写出的值．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为点为该抛物线上一点，其横坐标为．
求该抛物线的解析式；
当轴时，求的面积；
当时，设该抛物线在点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，当时，直接写出的取值范围．
24.本小题分
如图，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点，交于，两点．
当为中点时，求的长；
如图，当与边相切于点时，的长为______；
当时，通过计算比较弦和的大小关系；
当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】运用的数学原理是三角形的稳定性，
故选：．
2.【答案】
【解析】结合三视图与原几何体的关系可得：该几何体为圆锥，
故选：．
3.【答案】
【解析】如图，过点作，
，
，
，
，，
，，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】由题意得：，
，
，
由题意得：，
解得：，
，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】共张牌，其中能与手中牌组成一对的有，，共种情况，
；
故选：．
6.【答案】
【解析】两边长分别为，，
此时，
又两边长分别为，，
此时，
的取值范围为：．
的值可能是．
故选D．
7.【答案】
【解析】原式
，
A、当时，，是的因子，可使结果为整数，故选项A不符合题意；
B、当时，，是的因子，可使结果为整数，故选项B不符合题意；
C、当时，，是的因子，可使结果为整数，故选项C不符合题意；
D、当时，，不是的因子，不可使结果为整数，故选项D符合题意；
故选：．
8.【答案】
【解析】由作图可知：，
是等边三角形，故A正确，不符合题意；
是等边三角形，
，
由作图可知：，
，故B正确，不符合题意；
是等腰三角形，
点在的中垂线是上，故C正确，不符合题意；
，，
，，
，故D错误，符合题意，
故选：．
9.【答案】
【解析】．
故选：．
10.【答案】
【解析】如图，作于，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
≌，
同理，≌，
设的面积为，由题意得，
，
解得，
即的面积为，
故选：．
11.【答案】
【解析】解析：当时，过点作于，如图，
，，
则，
线段扫过区域的面积，图象是开口向上，位于轴右侧的抛物线的一部分，
当时，
如图，过点作于，则，
，
线段扫过区域的面积，
图象是开口向下，位于对称轴直线左侧的抛物线的一部分，
故选：．
12.【答案】
【解析】，而，，
，，即，，，
二次函数的解析式为，故A错误．
二次函数的对称轴为，
当时，随着的增大而先减小再增大，故B错误．
此二次函数的最小值为，
此抛物线与直线只有一个交点，C正确．
要使的面积等于，须使到轴的距离为，这样的点共有个，故D错误．
故选：．
13.【答案】
【解析】，
，，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．
，，
阴影部分的面积为，
，
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】如图作于，于．
，
四边形是矩形，
，
，
∽，
，
，
，
：：：：：：，
设，则，，，
，
，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
四边形为菱形，
，
，
四边形为菱形，
，
，
四边形为菱形，
，
，
四边形为菱形，
，即，
解得：；
如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
四边形为菱形，
，
，
四边形，，都为菱形，
，
解得：；
综上：的值为．
故答案为：．
17.【答案】平方厘米； 平方厘米； 平方厘米．
【解析】乙长方形的宽为：厘米，
乙长方形的面积：平方厘米，
根据题意得甲长方形的面积平方厘米，
答：甲长方形的面积是平方厘米．
厘米，
平方厘米，
答：重叠部分长方形的面积是平方厘米．
假设重叠部分的面积是平方厘米，
平方厘米，
答：甲乙两长方形未重叠部分的面积之差是平方厘米．
18.【答案】因为，且，，
所以，，
所以．
当，即时，
由得，
，
解得舍去．
当，即时，
由得，
，
解得，舍去，
综上所述：的值为或．
19.【解析】一班等级的学生有：，
补全的条形统计图如图所示；
一班的平均数是：，中位数是，
二班的众数是，
故答案为：、、；
从平均数、众数方面来比较，二班成绩更好；
从级以上包括级的人数方面来比较，一班成绩更好．
20.【答案】如图，过点作于点，
由题意知，
，
．
如图，过点作于，过点作于点，
由题意知四边形是矩形，
，
在中，，，
在中，，
由勾股定理可得，
则，
原来，
，
变形前后两轴心的长度增加了．
21.【解析】在中，令得，令得，
，，
直线与直线关于轴对称，
点与点关于轴对称，
；
设直线的解析式为，把点和点的坐标代入得：
，解得：，
直线的解析式为；
当点在直线上时，，
解得，
当点在直线上时，，
解得，
当点在的内部时，的取值范围是；
，，，
；
设直线交于，：：，过作于，如图：
，
，
则，
在中，令，
即，
解得：，
设直线解析式为，
，
解得，
直线解析式为；
设直线交于，：：，过作于，如图：
同理可得：，
解得：，
在中，令得，
则点，
则直线解析式为；
综上所述，直线的解析式为或．
22.【解析】当点到点时，，当点到点时，．
当时，在上，，
；
当时，点在上，
，
；
的长为或；
证明：，，
，
，
，
，
；
当与全等时，的值为或或，理由如下：
当点到点时，，
当点到点时，，
当时，点在边上，点在边上，，，
此时，，，则有≌，
，
，
解得：；
当时，点，都在边上时，，，
点，重合，此时≌，
，
，
解得：；
当时，点到终点停止不动，点在边上此时两个三角形不全等；
当时，点到终点停止不动，点在边上，，，此时≌，
，
，
解得：；
综上所述，当与全等时，的值为或或．
23.【解析】把点，代入，
得
解得
该抛物线的解析式为；
由知，，
点的坐标为，
当轴时，点与点关于对称轴直线对称，
点，
，点到的距离为，
，
的面积为；
过点作轴交抛物线于点，如图所示：
此时点与点关于对称轴直线对称，，
当点在点和点之间时，即时，
，，
，
，
解得不合题意；
当点在点和点之间时，即时，
，，
符合题意，
；
当点在点下方时，即时，，
，
，
，
或，
解得或或，
，
；
综上所述，的取值范围为或．
24.【解析】如图，连接，
，，，
，
为中点，
，
在平行四边形中，，
，
是直径，
，
，
连接，
当与边相切于点时，则，即，
，
，
，
，
又，，
，
，
连接，，
，，
，
，，
，，
，
；
当与相切时，设切点为，如图，
由上述结果可知，，，
，
，
即当，与相切，与平行四边形的边的公共点的个数为，
过点，如图，与平行四边形的边的公共点的个数为，
在平行四边形中，，
，
是直径，此时，
当时，点在圆内，与平行四边形的边的公共点的个数为，
综上所述，的值的取值范围是或．
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