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2025 年河南省郑州中学中考数学三模试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是( )
A. 3 B. 1 C. 2 D. 3
2.“古荥对花鼓”起源于20 世纪30 年代的荥泽县县府所在地古荥镇，表演人数通常为20 人，
每人各执大鼓、大锣等一件乐器，边击边舞.如图是“古荥对花鼓”的立体图形，该立体图形
的左视图是( )
A. B. C. D.
3.某种病毒的粒子形状不规则，其平均直径约是 0.0001 ，数据 0.0001 转化为以 为单位后(1 =
10 3 )，用科学记数法表示为( )
A. 1 × 10 4 B. 0.1 × 10 3 C. 1 × 10 7 D. 1 × 10 6
4.若 ， 是正整数，且满足4 + 4 + 4 + 4 = 2 × 2 × 2 × 2 ，则 与 的关系正确的是( )
A. = B. + 1 = 2 C. + 1 = 2 D. 2 = 2
5.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖直向下，摩擦力 1的方向与斜面平行，支
持力 2的方向与斜面垂直.若斜面的坡角∠1 = 30°，则支持力 2与重力 方向的夹角∠2 的度数为( )
A. 150°
B. 130°
C. 120°
D. 100°
6.若点( 2, 1)，(1, 2)，(3, 3)都在二次函数 = 2的图象上，则( )
A. 3 > 2 > 1 B. 2 > 1 > 3 C. 1 > 3 > 2 D. 3 > 1 > 2
7.如图，在正方形 中，点 在 边上，连接 ， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，若 = 4， = 9，
则 的长为( )
A. 5
B. 8
C. 12
D. 2
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8.为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图 1 为单车实物图，图 2 为单车示意图， 与地面平
行，坐垫 可沿射线 方向调节.已知∠ = 80°，车轮半径为 30 ，当 = 70 时，小明体验后觉得
骑着比较舒适，此时坐垫 离地面高度约为( )(结果精确到 1 ，参考数据： 80° ≈ 0.98， 80° ≈ 0.17，
80° ≈ 5.67)
A. 99 B. 90 C. 80 D. 69
9.风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成 120°角的叶片.如图以三
个叶片的重合点为原点，水平方向为 轴建立平面直角坐标系，点 的坐标为(4,3)，在一段时间内，叶片每
秒绕原点 逆时针转动 90°，则第 2025 秒时；点 的对应点的坐标为( )
A. ( 3,4) B. (3, 4) C. ( 4,3) D. (3,4)
10.如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻 2， 2与踏板上人的质量
之间的函数为 2 = 2 + 240(0 ≤ ≤ 120)，其图象如图 1 所示.图 2 的电路中，电源电压恒为 12 伏，
定值电阻 1的阻值为 40 欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为 安，该读数可以换算为人的质
量 ，电流表量程为 0～0.2 安.下列说法错误的是( )
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参考信息：①导体两端的电压 ，导体的电阻 ，通过导体的电流 ，满足关系式 = ；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值．
A. 6用 表示 为： = 140
B.电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大
C.当电流表显示 0.1 安时，踏板上人的质量为 80 千克
D.电子体重计可称的最大质量为 120 千克
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
11.若(1 ) ≤ 1 的解集为 ≥ 1，则 的取值范围是______．
12.已知关于 的一元二次方程 2 2 1 = 0 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是______．
13.开封是全国知名的文化旅游城市，七年级学生小明和小亮两个家庭均在 2025 年“五一”假期去开封游
玩，并约定好于 5 月 2 号上午在“清明上河园、龙亭公园、开封府、万岁山”四个景区中随机选择一个作
为游玩目的地，则两个家庭选择同一景区的概率为______．
14.如图，在菱形 中， = 2，∠ = 120°，点 是对角线 的中点，以点
为圆心， 长为半径作圆心角为 60°的扇形 ，点 在扇形 内，则图中阴
影部分的面积为______．
15.如图，在矩形 中， = 4， = 6，点 ， 分别在边 ， 上，且 = 2 .
连接 ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ，则 的长的最小值为______．
三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 10 分)
计算：
(1)2 1 + 116 (2025 )
0；
(2)( 1 1 1) ÷ 2 1．
17.(本小题 9 分)
某校为激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织了七、八年级学生参加了人工智能科普测
试.现从七、八两个年级各抽取 10 人记录下他们的测试得分并进行整理和分析(积分用 表示，共分为四组：
：90 ≤ ≤ 100， ：80 ≤ < 90， ：70 ≤ < 80， ： < 70)，下面给出了部分信息：
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七年级 10 人的得分：47，56，68，71，83，83，85，90，91，94；
八年级 10 人的得分在 组中的分数为：83，84，84，87；
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示
年级 平均数 中位数 众数
七 76.8 83
八 76.8 84
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： = ______， = ______， = ______；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由(一条理由即可)；
(3)若七年级有 2000 人参与测试，八年级有 1800 人参与测试，请估计七、八两个年级得分在 组的共有多
少人？
18.(本小题 9 分)
如图，已知平行四边形 ．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出∠ 的平分线 . (要求：不写作法，保留作图痕迹)
(2) 为 上一点，设(1)中∠ 的平分线 交 于点 ，连接 ，若 = ，判断四边形 的形状，
并说明理由．
19.(本小题 9 分)

如图，一次函数 = + 的图象与反比例函数 = 的图象相交于 ( , 1)， (2, 3)两点，与 轴交于点 ．
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(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 根据图象直接写出不等式 + > 的解集．
(3)设 为线段 上的一个动点(不包括 ， 两点)，过点 作 // 轴交反比例函数图象于点 ，当△
的面积最大时，求点 的坐标，并求出面积的最大值．
20.(本小题 9 分)
2025 年贺岁片《哪吒 2 魔童闹海》通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价
值观，是中国动画电影走向世界的标杆.某商店销售 ， 两款哪吒变脸摆件，每件 款摆件的利润比每件
款摆件的利润多 2 元，销售 20 件 款摆件和销售 30 件 款摆件的利润是 440 元．
(1)求 ， 两款摆件每个的利润分别是多少？
(2)若该商店计划购进 ， 两款摆件共 200 个进行销售，且 2款摆件的数量不超过 款摆件数量的3，商店购
进 ， 两款摆件各多少个，才能使销售完这 200 个摆件获得最大利润？最大利润是多少？
21.(本小题 9 分)
在学习完《直线与圆的位置关系》后，某位老师布置一道作图题如下：
已知：如图，⊙ 及⊙ 外一点 ．
求作：直线 ，使 与⊙ 相切于点 ．
小悦同学经过探索，给出了一种作图方法(如下)：
①连接 1，分别以 ， 为圆心，以大于2 的长为半径作弧，两弧分别交于 ， 两点(点 ， 分别位于直
线 的上下两侧)；
②作直线 交 于点 ；
③以点 为圆心， 为半径作⊙ ，⊙ 交⊙ 于点 (点 位于直线 的上侧)；④作直线 ， 交 于点
，则直线 即为所求作直线．
请根据小悦同学作图方法，解答下面问题：
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(1)完成作图，并准确标注字母(尺规作图，保留作图痕迹)；
(2)结合作图，请说明 是⊙ 切线；
(3)若⊙ 半径为 3， = 9，求 的长．
22.(本小题 10 分)
小云有一个圆柱形水杯(记为 1 号杯).在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水
杯，并将其制作出来.新水杯(记为 2 号杯)示意图如图．
当 1 号杯和 2 号杯中都有 水时，小云分别记录了 1 号杯的水面高度 1(单位： )和 2 号杯的水面高度
2(单位： )，部分数据如下：
/ 0 40 100 200 300 400 500
1/ 0 ______ 2.5 5.0 ______ 10.0 12.5
2/ 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
(1)补全表格(结果保留小数点后一位)．
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画 1与 ， 2与 之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个
函数的图象．
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当 1 号杯和 2 号杯中都有 320 水时，2 号杯的水面高度与 1 号杯的水面高度的差约为______ ；(结
果保留小数点后一位)
②在①的条件下，将 2 号杯中的一部分水倒入 1 号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为
______ . (结果保留小数点后一位)
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23.(本小题 10 分)
【经典再现】人教版八年级数学下册教科书 69 页 14 题：如图 1，四边形 是正方形，点 是边 的中
点，且 交正方形外角的平分线 于点 .求证： = ．
【思考尝试】
(1)同学们发现，取 的中点 ，连接 可以解决这个问题.请在图 1 中补全图形，并解答老师提出的问题．
【类比探究】
(2)如图 2 ，四边形 是矩形，且 = ，点 是边 的中点，∠ = 90°，且 交矩形外角的平分线
于点 ，求 的值(用含 的式子表示)；
【综合应用】
(3)如图 3， 为边 上一点，连接 ， (2) = 3，在 的基础上，当 2，∠ = 45°， = 5时，请直接
写出 的长．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. > 1
12. > 1 且 ≠ 0
13.14
14. 32 4
15.2
16.(1)2 1 + 116 (2025 )
0
1 1
= 2 + 4 1
3
= 4 1
= 14；
1
(2)( 1 1) ÷ 2 1
1 1 ( + 1)( 1)
= ( 1 1 )
( + 1)( 1)
= 1
= ( + 1)
= 1．
17.(1)83 出现的次数最多，故众数 = 83．
八年级 组人数：10 × 30% = 3，
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八年级 组人数：10 × 10% = 1，
八年级 组人数：4，
故八年级 组人数：10 4 1 3 = 2，
% = 210 × 100% = 20%，即 = 20．
八年级成绩排在第 5 和第 6 位的是 83 和 84，故中位数 = (84 + 84) ÷ 2 = 83.5．
故答案为：83，83.5，20；
(2)八年级掌握垃圾分类知识比较好，理由如下：
虽然两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，说明八年级学生掌握的较好；
(3)2000 × 310 + 1800 × 20% = 960(人)，
答：估计七、八两个年级得分在 组的共有 960 人．
18.解：(1)如图：作出∠ 的平分线， 即为所求；
(2)四边形 是菱形，理由如下：
∵四边形 为平行四边形，
∴ // ， = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ = ，
∴ = ，
∵ // ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
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∴ = ，
∴四边形 是菱形．
19.解：(1) ∵ (2, 3)点在反比例函数图象上，
∴ = 6；
∴ 6反比例函数解析式为 = ，
∵ ( , 1)点在反比例函数图象上，
∴ 1 = 6 ，解得 = 6，
∴ ( 6,1)， (2, 3)，
∵ ( 6,1)， (2, 3)在一次函数 = + 的图象上，
6 + = 1 = 1
则 2 + = 3，解得： 2， = 2
∴ 1一次函数解析式为： = 2 2；
(2) 观察函数图象知，不等式 + > 的解集为： < 6 或 0 < < 2；
(3)由(1) 1 6可知 (0, 2)，设点 的坐标为( , 2 2)，则 ( , )，
∴ = 6 (
1
2 2) =
6 + 1 2 + 2，
∴ = 1 × ( ) × ( 6 + 1 + 2) = 1 2△ 2 2 4 ( + 2) + 4，
当 = 2 时， △ 最大值为 4，
∴ ( 2,3)．
20.解：(1)设 款摆件每个的利润是 元， 款摆件每个的利润是 元，
= 2
由题意得： 20 + 30 = 440，
= 10
解得： = 8 ，
答： 款摆件每个的利润是 10 元， 款摆件每个的利润是 8 元；
(2)设购进 款摆件 个，则购进 款摆件(200 )个，销售总利润是 元，
2
由题意得： ≤ 3 (200 )，
解得： ≤ 80，
∵ = 10 + 8(200 ) = 2 + 1600，
∵ 2 > 0，
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∴ 随 的增大而增大，
∴当 = 80时， 取得最大值为：2 × 80 + 1600 = 1760(元)，
此时，200 80 = 120，
答：商店购进 款摆件 80 个、 款摆件 120 个，才能使销售完这 200 个摆件获得最大利润，最大利润是 1760
元．
21.解：(1)如图所示；
(2)理由：连接 ，
由作图知， 是⊙ 的直径，
∴ ∠ = 90°，
∵ 是⊙ 的半径，
∴ 是⊙ 切线；
(3)连接 ，由(2)知，∠ = 90°，
∵ = 3， = 9，
∴ = 0 2 2 = 92 32 = 6 2，
由作图知，直线 是 的垂直平分线，
∴ = 12 = 4.5，
在 △ 和 △ 中，
∵ tan∠ = tan∠ ，
∴ ： = ： ，
∴ ：4.5 = 3：6 2，
∴ = 9 2．8
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22.(1)设 1 = ，将(100,2.5)代入得：2.5 = 100
1
，解得 = 40．
∴ 11 = 40 ，
∴当 = 40 时， 1 = 1.0；当 = 300 时， 1 = 7.5．
故答案为：1.0；7.5．
(2)由题意，作图如下．
(3)①由题意，当 = 320 时， 1 = 8.0 ，由图象可知相差约为 1.2 ，如图所示．
故答案为：1.2．
②解法一：在①的条件下两杯相差 1.2 ，此时 1大约是 8.0，加上 0.6 约为 8.6 ．
解法二：观察图象可知，当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为 8.6 ．
23.解：(1)取 中点 ，连接 ．
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∵四边形 是正方形，
∴ = ，∠ = ∠ = 90°，
∵ 是 中点， 是 中点，
∴ = = = ，
则∠ = 45°，∠ = 135°．
∵ 是正方形外角平分线，
∴ ∠ = 45°，∠ = 135°，
∴ ∠ = ∠ ．
又∵ ∠ = 90°，∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ．
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
= ，
∠ = ∠
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ；
(2)如图 2，
在 上截取 = ，连接 ，
∵ 时 的中点，
∴ = ，
不妨设 = = = 1，则 = 2，
∵ = ，
∴ = 2 ，
∴ = 2 1，
由(1)得：∠ = ∠ ，∠ = ∠ = 135°，
∴△ ∽△ ，
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∴ = = 2 1；
(3)方法一如图 3，
∵ 3 = 2，
∴可设 = 6 ， = 4 ，
则 = = 2 ，
延长 ， ，交于点 ，作 ⊥ ，交 延长线于 ，交 的延长线与 ，作 ⊥ 于 ，
∵ ∠ = 90°，∠ = 45°，
∴△ 是等腰直角三角形，
∴ = ，
由(1)知：∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ = 90°，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = = 6 ， = = 2 ，
∴ = = = 6 2 = 4 ， = = 6 2 = 4 ，
∵ // ，
∴△ ∽△ ，
∴ = 1 = 2，
∴ = 12 = 2 ，
∴ = = 6 2 = 4 ，
(2) = 由 知： ，
∴ 2 2 =
4
2 = 2，
∴ = 2 ，
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∴ = = ，
∴ = = 3 ，
由 2 + 2 = 2得，(3 )2 + 2 = ( 5)2，
∴ = 21 2 ， 2 =
2
2 (舍去)，
∴ = 4 = 2 2．
方法二：延长 ， 交于点 ，过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，
证明△ ≌△ ，则 = ， = ，
设 = 3 ， = 2 ，可得出 = 2 ，
证明 1为 的中点， 是 的中点，则 = 2 ，
解直角三角形 可得出答案．
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