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辽宁省大连市2025年中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．家庭记录收支账目，若收入500元记作元，则支出300元应记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．实数在数轴上对应点的位置如图所示，则实数可能是（ ）
A． B． C．0 D．
4．如图，在四边形中，，，，则的值是（ ）
A．60 B．65 C．75 D．130
5．第33届夏季奥林匹克运动会上，中国体育健儿展现了强大的中国自信与中国力量，共获得40枚金牌．下列体育运动图标中，不是中心对称图形的是（ ）
A．自由式小轮车 B．游泳
C．乒乓球 D．网球
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，小明用两根木棍，制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径的长．若与交于点，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形中，，点是对角线的中点，点，分别在，上，将沿翻折，得到，当点与点重合时，的长是（ ）
A． B．2 C．3 D．6
9．抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
10．用相同的时间，某次列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，若平均提速，提速前列车的平均速度为多少 设提速前这次列车的平均速度为，根据行驶时间的等量关系，可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若分式有意义，则实数的取值范围是 ．
12．一个不透明袋子中装有2个红球和1个黑球，除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球后，放回并摇匀，再随机摸出1个球，两次都摸出红球的概率是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线，分别在轴和轴上，点的坐标为．则线段的长是 ．
14．一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位：），分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，则这所住宅的建筑面积为 （用含x的代数式表示）．
15．如图，在中，，对角线，以点为圆心，的长为半径作弧交于点；再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，射线交于点．若，则的长是 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分．
信息一：
初中组A队伍的各项成绩如下表所示：
编程 调试 搭建 讲解
A队伍成绩/分 8 8 7 5
信息二：
为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下：
初中和高中组各20支队伍搭建项目的成绩分析统计表
平均数 中位数 众数 方差
初中组 10
高中组 9
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：_____，_____，搭建项目成绩更稳定的是_____（填“初中组”或“高中组”）；
(2)比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩；
(3)本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀．
18．某公司准备采购办公电脑，若采购1台A型电脑和2台B型电脑，需花费1.32万元；若采购3台A型电脑和1台B型电脑，需花费1.46万元．
(1)求A、B两种型号电脑每台的售价各是多少万元？
(2)若该公司采购A、B两种型号的电脑共30台，且总费用不超过14.1万元，求该公司至少要采购多少台A型电脑．
19．如图，建筑物分别与地面垂直，两建筑物之间的水平距离为，一架无人机以的速度从处起飞，沿射线方向飞行，飞行方向与水平线的夹角为，无人机飞行后到达处，此时从距地面的处观测无人机的仰角为，求处到地面的距离（结果精确到，参考数据：）．
20．如图，是的直径，点在上，是的切线，，垂足为．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
21．甲、乙两车沿同一路线，从A地出发，匀速驶向B地，甲车出发后，乙车出发．当甲车行驶时，两车在C地相遇；乙车在C地停留一段时间后继续以原速度匀速行驶，当甲车行驶时，两车同时到达B地．甲、乙两车行驶的路程y（单位：）与甲车行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示．
(1)求B、C两地之间的路程；
(2)乙车出发后，当两车之间的路程为时，求甲车行驶的时间．
22．综合与实践
【了解定义】
如图1，在和中，，点在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线．
【探究性质】
小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．
小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明．
（1）已知：如图1，和是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线．
【辨析理解】
（2）如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与相交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是同位等腰三角形．
【拓展应用】
（3）如图3，和是同位等腰三角形，，点在的延长线上，且的延长线与分别交于点，点在上，．若，，求的长．
23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，连接．
(1)如图1，求的长．
(2)点的坐标为，点在轴正半轴上，且．以点为中心，把线段顺时针旋转得到线段，点的对应点为．
①如图2，将线段沿轴向上平移，平移后点与原点重合，点的对应点为，点在反比例函数的图象上．当时，求证：点在该反比例函数图象上；
②当线段与抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围；
(3)约定：抛物线上，两点之间的图象（包括点，）的最高点与最低点纵坐标的差叫做这两点间的图象界差，记为．点都在抛物线上，它们的横坐标分别为，，其中；是否存在的值，使得 若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
《辽宁省大连市2025年中考二模数学试题 》参考答案
1．A
解：若收入500元记作元，则支出300元应记作元．
故选：A．
2．D
解：从上面看到的图形是：
故选：D．
3．B
解：，
即，
，
故选：B．
4．B
已知在四边形中，，，．
根据四边形内角和定理得：，
．
解得；．
所以x的值是65；
故选：B．
5．A
解：根据中心对称图形的定义可知：
A．不是中心对称图形，符合题意；
B．是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
6．C
解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算正确，符合题意；
D．，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
7．B
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
8．C
解：连接，
∵四边形是菱形，
∴， ．
∵点是的中点，
∴是、交点（菱形对角线互相平分）．
由于沿翻折得到，点与点重合，
∴， ．
∵
∴，
∴，
∴，
∴、
故选：C．
9．A
解：∵当时，抛物线对应的方程为，
∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标．
∴点和点的横坐标分别为和，
∴关于的一元二次方程的根是，，
答案选A．
10．B
解：设提速前这次列车的平均速度为，可列方程，
故选：B．
11．
解：要使分式有意义，则，
即，
故答案为：．
12．
解：红色小球用数字1、2表示，黑色小球用3表示，列表得：
1 2 3
1
2
3
由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4个，
∴两次都摸到红球的概率为，
故答案为：．
13．4
解：∵点的坐标为，
∴，
∵正方形的对角线，分别在轴和轴上，
∴，
故答案为：．
14．
解：这所住宅的建筑面积为：
．
故答案为：．
15．
解：由作图可知，垂直平分线，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
故答案为：．
16．（1）；（2）
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
当时，原式．
17．(1)8，10，初中组
(2)A队的平均成绩为7分
(3)估计本次比赛高中组约有33支队伍在搭建项目中获得优秀
（1）解：初中组共20个数据，将初中组搭建项目成绩从小到大排列，第10、11个数据都在成绩为分的组中，
∴中位数，
由高中组搭建项目成绩扇形统计图可知，100分所占比例为，是占比最高的，
∴众数，
∵初中组方差小于高中组方差，
∴搭建项目成绩更稳定的是初中组，
故答案为：8，10，初中组．
（2）解：已知编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比确定平均成绩，
A队伍编程分、调试分、搭建分、讲解分，
（分），
∴A队的平均成绩是7分．
（3）解：在抽取的20支高中组队伍样本中，搭建项目成绩不低于分的包括分和10分的队伍，
分的占，10分的占，
∴不低于分的队伍所占比例为，
∵高中组共60支队伍参赛，
∴估计获得优秀（搭建项目成绩不低于分）的队伍有（支）．
18．(1)A、B两种型号电脑每台的售价分别为0.32万元和0.5万元
(2)该公司至少要采购5台A型电脑
（1）解：设A、B两种型号电脑每台的售价分别为万元和万元．
解得．
答：A、B两种型号电脑每台的售价分别为0.32万元和0.5万元．
（2）解：设该公司要采购A型电脑a台．
．
解得．
答：该公司至少要采购5台A型电脑．
19．处到地面的距离约为
解：作，垂足为与的延长线相交于点．
由题意知．
四边形为矩形，四边形为矩形．
．
由题意．
在Rt中，，
．
．
．
．
，
．
．
．
．
答：处到地面的距离约为．
20．(1)
(2)
（1）解：连接，如图，
是的切线，
，
．
，垂足为，
，
．
，
，
，
，
，
，
．
，
．
．
（2）解：作，垂足为．
．
四边形为矩形．
．
在中，，
．
的长为．
21．(1)
(2)乙车出发后，当两车之间的路程为时，甲车行驶的时间为
（1）解：甲车的速度为：，
∴B、C两地之间的路程为：
；
（2）解：设直线的解析式为，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：；
乙车从C地到B地所用时间为：
，
，
则点C的坐标为，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：；
当甲、乙到达C地前，根据题意得：，
解得：，
，
∴乙车出发后，当两车之间的路程为时，甲车行驶的时间为，
乙车第二次出发前，甲、乙两车间的最大距离为：
，
∴当两车到达C地后，两车之间的距离不可能为；
综上分析可知：当乙出发后，两车之间的路程为．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
（1）证明：和是同位等腰三角形，
．
，
即．
，
点在线段的垂直平分线上．
，
点在线段的垂直平分线上．
直线是线段的垂直平分线．
（2）证明：如图，作射线交于点．
，垂足为，
．
．
，
．
．
．
，
．
．
，
．
．
．
，
．
．
和是同位等腰三角形．
（3）解：如图，作，垂足为，过点作的平行线与延长线于点．
．
和是同位等腰三角形，
垂直平分．
由题意知．
在中，．
在Rt中，，，
．
．
，
．
，
．
，
，
．
．
．
垂直平分，
．
，
．
，
．
．
，，
．
．
即．
解得．
．
23．(1)；
(2)①见解析；②或；
(3)当或时，使得．
（1）解：令，则，
解得，，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（2）①证明：∵将线段沿轴向上平移，平移后点与原点重合，点的对应点为，
∴，，
∵，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，点的坐标为，
∴，
在中，，，
∴，
连接，作轴于点，
∵以点为中心，把线段顺时针旋转得到线段，点的对应点为，
∴，，
∴，
∴，
∴点，
∵当时，，
∴点在该反比例函数图象上；
②∵线段与抛物线有公共点，点的坐标为，点在轴正半轴上，且，
∴，
由旋转的性质得，
∴点的运动轨迹为，
联立，
解得，，
即，，
解得，，
结合图象得或；
（3）解：由题意，点，，，，
对于抛物线，
顶点坐标为，对称轴为直线，
对于点，，
∵，
∴，
当即时，
，
当即时，，
对于点，，
当点在点左侧时，，即，
当点在点右侧时，，即，
当时，，
当时，，
当时，若有，
则，解得；
当时，若有，
则，
整理得，，方程无解，
∴当时，不存在的值，使得；
当时，若有，
则，
解得（舍去），；
综上，当或时，使得．

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