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第二十二章四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（ ）
A．这个多边形是一个五边形
B．从这个多边形的顶点出发，最多可以画4条对角线
C．从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形
D．以上说法都不正确
2．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．不确定
3．如图4-2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（ ）
A．只有三角形 B．只有三角形和四边形
C．只有三角形、四边形和五边形 D．只有三角形、四边形、五边形和六边形
4．将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（ ）.
A．2 B．3 C．6 D．8
5．菱形的周长为20cm，那么菱形的边长是（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．8cm
6．从十边形的一个顶点出发，作这个十边形的对角线可作（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
7．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB=57°，则∠AGD=（　　）
A．108° B．36° C．129° D．72°
8．用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
9．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，则的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
10．如图，在 ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形是矩形 B．矩形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直 D．矩形的对角线不一定相等
12．我们用的数学教科书的封面是长为26cm，宽为18.5cm的矩形，设想一百万本这样的书镶嵌在一起，面积最接近于（　　）
A．普通教室的面积（64.8m2）
B．篮球场的面积（420m2）
C．南昌八一广场的面积（3.4万m2）
D．北京天安门广场的面积（44万m2）
二、填空题
13．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是 ；若AC＝5 cm，则BD＝ ．
14．如图 ，在平面直角坐标系中 ，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，则顶点B的坐标为
15．如图，在平行四边形中，的平分线交线段于点，若，则 ．
16．如图，矩形的对角线相交于点O，，则的长度为 ．
17．如图，AB=BC=CD，AB⊥BC，∠BCD=30°，则∠BAD= °．
三、解答题
18．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．
19．在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
20．如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的周长小，求的长．
21．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE+CD=AD．连接CE，求证：CE平分∠BCD．
22．对于平面直角坐标系中的两点和，给出如下定义：若，是某个矩形对角线的顶点，且该矩形的每条边均与轴或轴垂直，则称该矩形为点，的“对角矩形”，下图为“对角矩形”的示意图．已知点的坐标为，点的坐标为．
(1)①当时，点，的“对角矩形”的面积的值为______；
②若点，的“对角矩形”的面积是8，则的值为______；
(2)若点，的“对角矩形”是正方形，求直线的解析式．
23．如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角A、B、C、D处均有一棵大桃树、田村准备开挖养鱼，想使池塘的面积扩大一倍，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想 若能，画出图形，说明理由．
24．已知：如图，在中，E，F分别是，的中点．求证：．
《第二十二章四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C B B B C B D B
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】本题考查了多边形的对角线个数问题及被对角线分割成的三角形数目问题，解题关键是找出其中的规律．根据选项一一对照判断即可．
【详解】解：A、这个多边形是一个六边形，故错误，不符合题意．
B、从这个多边形的顶点出发，最多可以画3条对角线，故错误，不符合题意，
C、从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形，正确，符合题意，
D、以上说法C正确．
故选∶C．
2．A
【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可．
【详解】解：在平行四边形中，，
∴，
∵M，N分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：A
3．C
【分析】由正五边形的性质和五角星的特点得出五角星含有的多边形中，有三角形、四边形和五边形.
【详解】解：根据题意得：在五角星含有的多边形中,有三角形、四边形和五边形,故选C．
【点睛】本题考查了正五边形的性质、五角星的特点,熟练掌握正五边形的性质是解决问题的关键．
4．B
【分析】如图：连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，易证≌，可得的面积是正方形的面积的，即每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，即可解答.
【详解】解：如图，
连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，
则，，
，
，
≌，
四边形AENF的面积等于的面积，
而的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，
四边形AENF的面积为，三块阴影面积的和为．
故选B．
【点睛】本题主要考查了正方形的特性及面积公式，由图形的特点可知，每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，据此解题解答本题的关键是发现每个阴影部分的面积都等于正方形面积的．
5．B
【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：根据菱形的性质可知，菱形的四个边长相等，
菱形的边长为，
故选B．
6．B
【分析】n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，由此可得出对角线的条数．
【详解】由题意得，10-3=7．
故从十边形的一个顶点出发共有7条对角线．
故选B.
【点睛】本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，注意n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．
7．C
【分析】过点D作交AB于点H，根据平行线的性质先求出，然后求出，最后利用平行线的性质求得即可．
【详解】解：过点D作交AB于点H，
，
，
在正五边形ABCDE中，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正五边形的性质，平行线的判定和性质，构造辅助线是解决本题的关键．
8．B
【详解】由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．故选B．
9．D
【分析】利用矩形的性质可知对角线互相平分且，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在矩形中，
故选D．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理求直角边是解决本题的关键．
10．B
【详解】试题分析：由在 ABCD中，O为AC的中点，易证得四边形AFCE是平行四边形；然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求得：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
①∵OE=OA，
∴AC=EF，
∴四边形AFCE是矩形；故错误；
②∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；故正确；
③∵AF平分∠BAC，AB⊥AC，
∴∠BAF=∠CAF=45°，
无法判定四边形AFCE是菱形；故错误；
④∵AC⊥AB，AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∵E为AD中点，
∴AE=CE=AD，
∴四边形AFCE是菱形；故正确．
故选B．
点睛：此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意首先证得四边形AFCE是平行四边形是关键．
11．B
【分析】利用矩形的性质判断得出即可．
【详解】A、平行四边形不一定是矩形，原说法错误，不合题意；
B、矩形是平行四边形，说法正确，符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，原说法错误，不合题意；
D、矩形的对角线一定相等，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题关键．
12．C
【分析】先计算一百万本这样的书镶嵌在一起的面积，再确定面积最接近的选项．
【详解】∵26×18.5×1000 000=481000000cm2=48100m2=4.81万m2，
∴面积最接近于南昌八一广场的面积（3.4万m2）．
故选C
【点睛】准确的计算面积和换算单位是解题的关键．
13． 矩形 5cm
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平时四边形是矩形，最后根据矩形的对角线相等，即可解决本题.
【详解】试题解析：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
∴AC=BD
∵AC=5cm
∴BD=5cm
【点睛】本题考查矩形的判定和矩形的性质.判断四边形ABCD是矩形是解题的关键.
14．
【分析】设点的坐标为，根据平行四边形的对角互相平分，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】解：设点的坐标为，
∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
15．/145度
【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
先根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．5
【分析】
本题主要考查了矩形的性质，直接利用矩形的性质对角线相等互相平分进而得出答案．
【详解】解：∵矩形的对角线相交于点O，，
∴，则．
故答案为：5．
17．15
【分析】把CD绕着点C逆时针旋转60°到达CE的位置，连接CE，DE，BE，可得△CDE是等边三角形，从而得到DE=CD=CE，∠DEC=60°，再由∠BCD=30°，可得BC⊥DE，然后根据AB=BC=CD，可得BC=CE，AB=DE，从而得到，进而得到∠BED=15°，再证得四边形ABED是平行四边形，即可求解．
【详解】解：如图，把CD绕着点C逆时针旋转60°到达CE的位置，连接CE，DE，BE，
∴∠DCE=60°，CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CD=CE，∠DEC=60°，
∵∠BCD=30°，
∴∠BCE=30°，
∴∠BCD=∠BCE，
∴BC⊥DE，
∵AB=BC=CD，
∴BC=CE，AB=DE，
∴，
∴∠BED=∠BEC-∠DEC=15°，
∵AB⊥BC，
∴AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠BAD=∠BED=15°．
故答案为：15
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）存在，
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，可得BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°，再由∠MBN＝60°，可推出∠MBA＝∠NBE，由此即可证明；
（2）将△BPC顺时针旋转60度得到，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M，可以推出当AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF，由此求解即可．
【详解】解：（1）由旋转的性质可得BN=BM，
如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，
∴BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°；
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN＝∠ABE，
∴∠MBA＝∠NBE；
在△AMB与△ENB中，
，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）将△BPC顺时针旋转60度得到，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M，
∴，，PC=EF，∠PBC=∠EBF，BC=BF
∴为等边三角形，
即得PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=BF，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=150°
∴∠BAF=∠AFB＝15°，
∴∠MBF=∠BAF+∠AFB=30°
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
19．最多能有三个钝角，最多能有三个锐角
【分析】四边形的四个内角和是360度，在这四个角中可以有3个钝角，则第四个角是一个锐角，但如果有四个钝角，则这四个角的和就大于360度，就不符合内角和定理．如果有三个角是锐角，但当四个角都是锐角时，四个角的和就小于360度，不符合内角和定理．
【详解】设四边形的四个内角的度数分别为，则．
的值最多可以有三个大于90度，
否则，若都大于90，则，
与矛盾；
则在四边形的四个内角中，最多能有三个钝角；
同理，的值最多可以有三个小于90度，
否则，若都小于90，则，
与矛盾；
则在四边形的四个内角中，最多也只能有三个小于90度．
【点睛】本题考查了多边形内角和定理，掌握四边形的内角和为360°是解题的关键．
20．
【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得，再由的周长比的周长小，可以求出，根据即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，．
的周长比的周长小，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是牢记平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分．
21．证明见解析
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，AD=BC，由平行线的性质得出∠E=∠DCE，由已知条件得出BE=BC，由等腰三角形的性质得出∠E=∠BCE，得出∠DCE=∠BCE即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，
∴∠E=∠DCE，
∵AE+CD=AD，
∴BE=BC，
∴∠E=∠BCE，
∴∠DCE=∠BCE，
∴CE平分∠BCD．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．
22．(1)①6；②5或-3
(2)直线AC的解析式为y=-x+2或y=x
【分析】（1）①求出C（4，-1），根据 “对角矩形”的定义得到B（1，-1），求出AB、BC，再根据公式计算面积；
②求出AB=1-(-1)=2，BC=，利用面积公式得到，求出t即可；
（2）根据正方形的性质得到AB=BC，列得方程，解得t=3或t=-1；利用待定系数法求出解析式．
【详解】（1）解：①当t=4时，C（4，-1），
∵四边形ABCD为“对角矩形”，A（1，1），
∴B（1，-1），
∴AB=1+1=2，BC=4-1=3，
∴“对角矩形”的面积==6，
故答案为：6
②∵点A的坐标为，点的坐标为．
∴AB=1-(-1)=2，BC=，
∵点A，的“对角矩形”的面积是8，
∴，解得t=5或t=-3；
故答案为：5或-3；
（2）∵点A，的“对角矩形”是正方形，
∴AB=BC，
∴，解得t=3或t=-1；
∴C（3，-1）或（-1，-1），
设直线的解析式为y=kx+b，将A（1，1），C（3，-1）代入得
，解得，
∴直线的解析式为y=-x+2；
设直线的解析式为y=mx+n，将A（1，1），C（-1，-1）代入得
，解得，
∴直线的解析式为y=x；
综上，直线AC的解析式为y=-x+2或y=x．
【点睛】此题考查了矩形的性质，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，解一元一次方程，正确理解矩形的性质及正方形的性质是解题的关键．
23．见解析
【分析】连接AC、BD，分别过A、B、C、D作BD、AC的两条平行线，相交于E、F、G、H，平行四边形EFGH即为所求．
【详解】解：能，如图所示，平行四边形EFGH即为所求：
理由如下：
∵EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
∵EF∥AC，HG∥AC，
∴EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
四边形EBDH和BFGD都是平行四边形，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理和性质定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
24．证明见解析
【分析】证明即可．
【详解】因为，
所以．
又∵E，F分别是的中点，
∴．
∴四边形是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）．
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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