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2025年四川省内江市中考数学试卷
A卷（共100分）
一、选择题：本大题共12小题，共36分。
1.中国是世界上最早使用负数的国家，负数早已广泛应用到生产和生活中例如，零上记作，则零下记作( )
A. B. C. D.
2.古钱币是我国珍贵的历史文化遗产下列选项是在中国古代钱币特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.年月日时分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有颗卫星，其中颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到字节，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.在函数中，自变量的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.某体育用品专卖店在一段时间内销售了双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如表所示：
尺码
销售量双
这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是( )
A. 安 B. 全
C. 校 D. 园
7.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
8.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物这一原理在生活中随处可见如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是( )
A. B.
C. D.
9.学校准备添置一批课桌椅，原订购套，每套元店方表示：如果多购，可以优惠结果校方购了套，每套减价元，但商店获得同样多的利润求每套课桌椅的成本设每套课桌椅的成本为元，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
10.按如下步骤作四边形：画；以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、；分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；连接、、若，则的度数是( )
A. B.
C. D.
11.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
12.对于正整数，规定函数在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标其中，均为正整数例如，点经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈按上述规定，将点经过第次运算后得到点是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，共16分。
13.分解因式： ．
14.在英文单词“”中任选一个字母，字母“”被选中的概率是______．
15.如图，是的弦，半径于点，且，则的长是______．
16.如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______．
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明或推演步骤。
17.计算：；
化简：．
18.如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：≌；
若，，求的长．
19.内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为、、、四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
等级 成绩 人数
根据统计图表中的信息解答下列问题：
表中 ______；扇形统计图中，表示成绩等级为的扇形圆心角为______度
若全校有人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为的学生大约有多少人？
现从成绩等级为的甲、乙、丙、丁人中随机选出人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
20.在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔的高度如图甲他们设计了如下方案：如图乙，点、、依次在同一条水平直线上，在处测得桥塔顶部的仰角为，在处测得桥塔顶部的仰角为，又测得，，垂足为，求桥塔的高度结果保留根号．
21.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
当时，请根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集；
过直线上的点作轴，交反比例函数的图象于点若点横坐标为，求的面积．
B卷（共60分）
四、填空题：本大题共4小题，共24分。
22.已知实数，满足，则______．
23.对于、定义了一种新运算，规定若关于的不等式组恰好有个整数解，则实数的取值范围是______．
24.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上将沿折叠，点落在点处若点的坐标为，则点的坐标为______．
25.如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是______．
五、解答题：本题共3小题，每小题12分，共36分。解答应写出文字说明或推演步骤。
26.年春节期间，我国国产动画电影哪吒之魔童闹海刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出、两款“哪吒”文旅纪念品已知购进款个，款个，需花费元；购进款个，款个，需花费元．
求、两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进、两款“哪吒”纪念品共个，那么至少需要购进款纪念品多少个？
在销售中，该商家发现每个款纪念品售价元时，可售出个，售价每增加元，销售量将减少个设每个款纪念品售价元，表示该商家销售款纪念品的利润单位：元，求关于的函数表达式，并求出的最大值．
27.如图，在中，，的平分线交于点，点是边上一点，以点为圆心、长为半径作圆，恰好经过点，交于点．
求证：直线是的切线；
若点为的中点，，求阴影部分的面积；
连接，若，求的值．
28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点．
求抛物线的表达式；
如图，过点的直线：与抛物线的另一个交点为点，点为抛物线对称轴上的一点，连接、，设点的纵坐标为，当时，求的值；
如图，点是抛物线的顶点，点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.原式
；
原式
．
18.证明：，
，
在和中，
，
≌；
解：由可知：≌，
，
，
，
，，
，
．
19.随机抽取的学生共有：人，
，人，
扇形统计图中，表示成绩等级为的扇形圆心角为：，
故答案为：，；
人，
答：若全校有人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为的学生大约有人；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人被同时选中的结果有种，
甲、乙两人被同时选中的概率为．
20.解：设，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
，
答：桥塔的高度为．
21.反比例函数的图象过点，
，
故反比例函数的表达式为，
把点代入反比例函数得，，
解得，
点的坐标为，
一次函数的图象经过、两点，
，解得，
故一次函数的表达式为；
，
，即一次函数图象在反比例函数图象的上方，
；
点横坐标为，代入，
解得：，
，
当时，代入，得，
解得：，
，
如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，
，，
，，，
，，
．
22.
23.
24.
25.
26.设款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元，
由题意得，
解得，
答：款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元；
设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个，
由题意得，，
解得，
的最小值为，
答：至少需要购进款纪念品个；
由题意得，
，
，，
当，即时，最大，最大值为．
27.证明：连接，如图所示：

，
，
是的平分线，
，
是的半径，恰好经过点，交于点，
，
，
，
，
，
又是半径，
直线是的切线；
解：设的半径为，
，
点是的中点，
，
，
由可知：，
在中，，
，
，
，
，
，
，，
阴影部分的面积为：；
是直径，
，
在中，，
设，，
由勾股定理得：，
，
，，
∽，
，
，
，，
由可知：，
∽，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
．
28.抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线的表达式为；
联立得：，
解得：，，
，
，
抛物线的对称轴为直线，顶点为，
设，
，
，
，
解得：，
的值为；
由得顶点，
设，由旋转得，，
当时，过点作轴的平行线，过点，分别作的垂线，垂足为点，，如图，
，
，
，
≌，
，，
，
将点代入，得，
整理得：，
解得：，
或；
当时，过点作轴的平行线，过点，分别作平行线的垂线，垂足为点，，如图，
，
，
，
≌，
，，
，
将点代入，得，整理得：，
解得：，
或；
综上，所有符合条件的点的坐标为：或或或．
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