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福建省福州第三中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知等比数列，，，则公比等于（ ）
A． B． C． D．2
2．已知F为抛物线的焦点，A为C上的一点，中点的横坐标为2，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．在三棱柱中，设，，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知是函数在上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．将6本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，则不同的分法种数为（ ）
A．1440种 B．1560种 C．3960种 D．7200种
6．若函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．设F是双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆与x轴切于点B，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ）
A． B．只有第4项的二项式系数最大
C．各项系数之和为 D．的系数为560
10．已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则（ ）
A．数列为递增数列 B．
C．当且仅当时，取到最大值 D．
11．很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（ ）
A．平面
B．若是棱的中点，则与平面平行
C．点到平面的距离为
D．该半正多面体的体积为
三、填空题
12．已知随机变量X的方差，则 ．
13．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 .
14．设O为坐标原点，若曲线和曲线（）上分别存在A，B两点，使得，则a的取值范围为 ．
四、解答题
15．在数列中，
(1)证明：数列是等比数列．
(2)求数列的前n项和．
16．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，，，，．
(1)证明：平面平面ABCD.
(2)求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值．
17．已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球.
(1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率.
18．已知函数．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调区间；
(3)当时，关于x的不等式恒成立，求整数a的最大值．
19．已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求.
福建省福州第三中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B C B A ACD BC
题号 11
答案 AC
1．C
【详解】因为，，所以，解得.
故选：C
2．B
【详解】由题意得：，准线方程为，
设，则中点的横坐标为，
故，解得：，
由抛物线的焦半径可知：.
故选：B
3．C
【详解】连接，如图，
因为为的中点，
所以．
故选：C．
4．C
【详解】由题意可得，而且在点的左侧附近，，此时，排除B、D；
在点的右侧附近，，此时，排除A，
所以函数的图象可能是C．
故选：C
5．B
【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有1，1，2，2和1，1，1，3两种情况，
其中分为1，1，2，2的情况有种，
分为1，1，1，3的情况有种，
故不同的分法种数为，
故选：B．
6．C
【详解】由题意在上恒成立，
所以，又时，是减函数，（时取得），
所以．
故选：C.
7．B
【详解】圆的圆心到直线的距离为，

所以，
记点到直线的距离为，则的面积，
所以，
又圆心到直线的距离为，所以，
又，所以，
故选：B
8．A
【详解】双曲线的渐近线方程为：，即，
到渐近线的距离为，
，则直角三角形的内切圆的半径，
如图，设三角形的内切圆与切于，则，，
可得，，
即，则，
所以，
由，，，.
故选：A.
9．ACD
【详解】对于A：由题意可知，解得，故A正确；
对于B：，
因为，则第4项和第5项的二项式系数最大，故B错误；
对于C：令可得各项系数之和为，故C正确；
对于D：因为二项展开式的通项为，，1，2，…，7，
令，解得，
所以的系数为，故D正确；
故选：ACD.
10．BC
【详解】A.由题意得，，
∴，故等差数列为递减数列，A错误.
B.由得，，
∴，
∴，故B正确.
C.由B得，，
∵等差数列为递减数列，∴，
∴当时，，当时，，
∴当且仅当时，取到最大值，C正确.
D.由题意得，，D错误.
故选：BC.
11．AC
【详解】由题意，可作图如下：

对于A，根据正方体的几何性质，易知平面，故A正确；
对于B，根据正方体的几何性质，易知平面.
若与平面平行，则有，而是棱的中点，所以在正方形中这是不可能的，故B是错误的；
对于C，建立空间直角坐标系，如下图：

因为该半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为.
由图可知，，，，
在平面内取，，
设平面的法向量，由，
可得，化简可得，令，则，，
所以平面的一个法向量.
因为
设点到平面距离，故.C正确
对于D，该半正多面体可看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，
所以该立体图形的体积，故D是错误的.
故选：AC.
12．12
【详解】，
故答案为：12．
13．
【详解】由直线l：，得直线l恒过定点，
由圆C：，得，圆心，半径为，
又，即点在圆内，
当直线l经过圆心时，，
当直线时，，则，
所以的取值范围是.
故答案为：.
14．
【详解】设，当时，直线的倾斜角为，
当时，直线的斜率，
当时，当且仅当时取等号，此时直线的倾斜角大于，
当时，当且仅当时取等号，此时直线的倾斜角为钝角，
设，则直线的斜率，
记，求导得，当时，；时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
由函数图象知：要使得曲线和曲线上分别存在两点，
使得，则需要满足在第一象限，直线斜率最小，斜率最大时，的大小不超过，
此时，，，解得，
所以a的取值范围为.
故答案为：
15．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）由得，，
所以数列为首项为1，公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，则，
.
16．(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）证明：取棱CD的中点G，连接EG，
因为，故，
又，，
所以四边形为平行四边形，则，
因为，所以，所以，故，
因为四边形ABCD是矩形，所以，
因为AD，平面ADE，且，
所以平面ADE，
因为平面ABCD，
所以平面平面ABCD.
（2）取棱BC的中点M，AD的中点O，连接OM，则OA，OM，OE两两垂直，
以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，
则，，
设平面BCF的法向量为，
则，则，
令，可得，
所以为平面BCF的一个法向量，
平面ADE的一个法向量为．
设平面ADE与平面BCF所成的角为，
则．
即平面ADE与平面BCF所成角的余弦值是.
17．(1)分布列见详解；
(2)
【详解】（1）由题意可知：随机变量的可能取值为0，1，2，则有：
，
可得随机变量的分布列为
0 1 2
所以随机变量的期望.
（2）记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件，
第二次摸到的是3号球为事件B，
则，
所以.
18．(1)
(2)答案见解析
(3)-2
【详解】（1）定义域为，，
当时，，，
则曲线在点处的切线为．
（2）因为定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，
x
0
极大值
综上：当时的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时的单调递减区间为，单调递增区间为；
（3）依题知，恒成立，即恒成立，
设，
则，
当时，令，解得
x
0
极大值
则恒成立，
整理得．
设，，则恒成立，
所以在上单调递增，又且，
且，，
故整数a的最大值为．
19．(1)
(2)直线EG过定点.
(3).
【详解】（1）设双曲线的方程为，
将点代入得，即，双曲线的方程为
（2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程为，，，.
由消去整理得，
依题意得：，且，即且，
，.
易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为.
令，得
.
直线EG过定点.
当直线DG的斜率为0时，直线EG的方程为，过点，
综上，直线EG过定点.
（3）考虑以为圆心的“子圆”，
由的方程与的方程消去，得关于的二次方程.
依题意，该方程的判别式，.
对于外切于点的两个“子圆”，，显然点在轴上，
设，，的半径分别为，，
不妨设，的圆心分别为，.
则，.
两式相减得：，而，.
，整理得：.
，点.
，故.

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