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三角函数与解三角形——高考数学一轮复习单元检测卷
【满分:150分】
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知在中,角A,B所对的边分别是a和b,若,则一定是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
2.已知锐角满足,则( )
A. B.13 C. D.
3.已知,,则( )
A. B.5 C. D.7
4.设函数的图像的一个对称中心为,则的一个最小正周期是( )
A. B. C. D.
5.将函数图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标变为原来的后,得到函数的图象,则( )
A. B. C. D.1
6.在中,,,,则的面积是( )
A. B. C.3 D.12
7.已知,则( )
A. B. C. D.
8.在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且,,面积为,D为边AB上一点,CD是的角平分线,则( )
A. B.1 C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数,则( )
A.的最小值为
B.的最小正周期为
C.的图像关于直线对称
D.将的图像向右平移个单位长度,得到的图像
10.已知函数的部分图像如图所示,下列说法正确的是( )
A.的图像关于直线对称
B.的图像关于点对称
C.将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D.若方程在上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是
11.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,则( )
A. B.
C.的面积为 D.的周长为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知,则___________.
13.已知函数在上单调递减,则的取值范围为_________________.
14.在锐角中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若,则的取值范围是__________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,已知.
(1)求A的大小;
(2)若,求的面积S.
16.(15分)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点D为线段AC的中点,A,C满足
(1)求B;
(2)若的面积为,,求中线BD的长.
17.(15分)函数(,,)的部分图像如图所示:
(1)求函数的解析式;
(2)求函数在上的单调区间;
(3)已知,,求.
18.(17分)在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知且.
(1)求角A的大小;
(2)若,求的面积;
(3)求的取值范围.
19.(17分)已知函数.
(1)求的单调递增区间;
(2)用五点法作出在区间内的图像;
(3)在中,若,求的最大值.
答案以及解析
1.答案:A
解析:由正弦定理得,,
由于,故必有,,即为等腰三角形.
故选:A.
2.答案:D
解析:由题意可得,解得或(舍去),
故.
故选:D.
3.答案:D
解析:因为,所以且,所以﹔
又,所以.
故选:D.
4.答案:C
解析:因为函数的图像的一个对称中心为,
则,
解得,
且,所以函数的最小正周期为,
对于选项A:若,此时,不合题意,故A错误;
对于选项B:若,此时,不合题意,故B错误;
对于选项C:若,解得,故C正确;
对于选项D:若,此时,不合题意,故D错误;
故选:C.
5.答案:A
解析:将函数图象上所有的点向左平移个单位长度,
得,
再把所有点的横坐标变为原来的后,得到函数,
所以,
故选:A.
6.答案:C
解析:由余弦定理,
得,解得,则.
所以的面积为.
故选:C.
7.答案:B
解析:
.
故选:B.
8.答案:B
解析:在中,,由余弦定理可得,
所以,所以,
又面积为,所以,所以,
所以,所以,
因为CD是的角平分线,,所以,
因为,
所以,
所以,
所以,所以,所以.
故选:B.
9.答案:BC
解析:对于A,由辅助角公式得,
因为,所以,
则最小值为-2,故A错误,
对于B,由正弦函数性质得最小正周期,故B正确,
对于C,由已知得,
令,,
解得,
当时,,则的图像关于直线对称,故C正确,
对于D,将的图像向右平移个单位长度,
则,
得到的图像,故D错误,
故选:BC.
10.答案:ACD
解析:由图可知:,的最小正周期,,
当时,,,,所以,;
对于A,,正确;
对于B,,错误;
对于C,将向右平移,
得到,正确;
对于D,的大致图像如下:
欲使得在内方程有2个不相等的实数根,
则,正确;
故选:ACD.
11.答案:ABD
解析:由,有,得,选项A正确.
因为,由正弦定理有,,得,选项B正确.
的面积为,选项C错误.
因为,由余弦定理,
解得,故的周长为,选项D正确.
故选:ABD.
12.答案:2
解析:,即,
.
故答案为:2
13.答案:
解析:由,得,则,
解得.
由,解得.因为,所以或1,则或,即的取值范围为.
故答案为:
14.答案:
解析:因为,
又由余弦定理得,
所以.
由正弦定理得,
又在中,,
所以,
所以或(舍去),
所以.
,,
,
则,
令,
设,易知其在区间上单调递增,
故的取值范围是.
故答案为:.
15.答案:(1)
(2)
解析:(1)由,
有.
又,
因为,所以.
(2)由,有,
可得,得.,
的面积为.
16.答案:(1)
(2)
解析:(1)因为,
所以,
又因为
所以,,
得,
所以,由余弦定理得,
又B为三角形内角,
所以,
(2)因为的面积为,,,
所以,,所以,又,
因为BD为的中线,所以,,
所以,,
所以.
17.答案:(1)
(2)答案见解析
(3)
解析:(1)由图像可得,设的最小正周期为T,
则,解得,
,故,解得,
所以,
将代入解析式,
,
故,解得,
又,故当时,满足要求,
所以;
(2)时,,
故当或时,
即或时,
单调递增,
当,即时,
单调递减,
故在上的单调递增区间为,,
单调递减区间为;
(3),即,
因为,所以,又,
所以,其中,
故,故,
所以
.
18.答案:(1)
(2)
(3)
解析:(1)因为
,
且,则,
可得,
整理得,所以.
(2)由余弦定理,
即,
解得或(舍去),
所以的面积.
(3)由正弦定理,
可得,
则
,
因为为锐角三角形,且,
则,
解得,
则,可得,
则,
所以的取值范围为.
19.答案:(1),
(2)图像见解析
(3)
解析:(1)由
可得
,
令,
解得,
故单调递增区间为,
(2)
0
x
0 1 0 -1 0
故在区间内的图像如下所示:
(3)由可得,
由于,则,
故,故,
因此
,
由于,则,
故当,即时,取最大值为.
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