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函数与导数——高考数学一轮复习单元检测卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若函数在处可导，且，则( )
A. B. C.1 D.2
2.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则( )
A. B. C.2 D.
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则( )
A.3 B. C.1 D.
5.已知，且，函数在R上单调，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
7.函数在区间上单调递增，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数存在最小值，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数下列关于函数的结论正确的是( )
A.的定义域是R B.的值域是
C.若，则 D.的图象与直线有一个交点
10.若函数在上单调递减，则实数a的值可能为( )
A. B. C.3 D.4
11.已知（），则( )
A.当时，是的极值点
B.存在a使在上单调递增
C.直线是的切线
D.当时，的所有零点之和为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知函数.若是的极值点，则的极小值是__________.
13.若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______________.
14.已知函数若存在实数，，且，使得，则的最大值为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知函数在处取得极值7.
（1）求a，b的值;
（2）求函数在区间上的最值.
16.（15分）已知函数.
（1）求的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）求的值.
17.（15分）已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，并求其最大值与最小值.
18.（17分）已知函数，，.
（1）若在区间上单调递增，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若函数有3个零点，求m的取值范围.
19.（17分）已知函数，，.
(1)求的单调区间.
(2)若的最大值为1，证明：对任意的，.
(3)当时，若恒成立，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：.
故选：C.
2.答案：B
解析：因为曲线，所以
所以在点处的切线斜率为，
直线的斜率为2，又因为两直线垂直，所以，所以.
故选：B.
3.答案：A
解析：依题意，，
解得或，
所以的定义域为.
故选：A
4.答案：C
解析：令，则，故，则，又，故，解得.
5.答案：D
解析：当时，，因此在R上不可能单调递增，从而有在R上单调递减，所以解得.
6.答案：B
解析：易得函数的定义域为，且，故为偶函数，所以的图象关于y轴对称，故排除C.又，所以排除A，D.故选B.
7.答案：A
解析：因为函数在区间上单调递增，在上单调递增，所以由复合函数的单调性知在上单调递增，则，即.故选A.
8.答案：A
解析：由题意知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，且，
当时，，
要使存在最小值，则，即，所以实数a的取值范围是，故选A.
9.答案：BCD
解析：对于A，的定义域是，故A错误；
对于B，当时，，当时，，，所以的值域是，因此B正确；
对于C，由B的分析可知，若，则解得，因此C正确；
对于D，画出的图象如图所示，由图可知，选项D正确.
故选BCD.
10.答案：BCD
解析：根据题意可得函数的定义域为，
又，
若函数在上单调递减，可得在上恒成立;
即在上恒成立，所以，，
根据对勾函数性质可得在上单调递增，
当时，当时，所以，
所以，
结合选择可知B、C、D符合题意.
故选:BCD
11.答案：ACD
解析：A：，
当时，，
令，或，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
则是的极小值点，故A正确；
B：若在上单调递增，
则在上恒成立，
当时，不成立，
所以不存在a使得在上单调递增，故B错误；
C：设切点为，则，
所以切线为，
即，
若直线为切线，
则，
由解得，
此时切点为，故C正确；
D：当时，，
令，得或，
对于方程，，
方程有2个不同的实根，
由韦达定理得，
所以3个根之和为0，即所有的零点之和为0，故D正确.
故选：ACD
12.答案：
解析：，由题知，即，解得，经检验，符合题意.
则，，令，得或.
当时，，当时，，当时，，
所以当时，取得极小值.
13.答案：
解析： ， ，
设切点为，则，切线斜率，
切线方程为：，
切线过原点， ，
整理得：，
切线有两条， ，解得或，
的取值范围是，
故答案为：.
14.答案：
解析：作函数的图象，如图所示，
令，解得或，
令，解得或或，
由题意可知：直线与的图象有三个交点，则，
此时由二次函数图象的对称性知，
令，可得，
则，
令，，则，
可知在内单调递增，则的最大值为，
所以的最大值为.
15.答案：（1），;
（2）最大值为7，最小值为.
解析：（1）由题设，，又处取得极值7
所以，可得，.经检验，满足题意.
（2）由（1）知:，
在上，递增;在上，递减;
在上的最大值为，
而，，故在上的最小值为，
综上，上最大值为7，最小值为.
16.答案：（1）
（2）是偶函数.理由见解析
（3）
解析：（1）因为，
所以.
（2）是偶函数.理由如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
且，
因此，即为偶函数.
（3），由（2）可得是奇函数，
因此，
所以.
17.答案：（1）
（2）函数的单调增区间为和，单调减区间为；，
解析：（1）当时，，
，，故，
故曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由题意得，且，
故，解得，故，，
则，
令，得或；令，得，
故函数的单调增区间为和，单调减区间为.
所以的极大值为，的极小值为.
又当时，，故；
当时，，故，
，.
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）由得.
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
所以，即m的取值范围是.
（2）因为，
所以.
令，解得或.
当时，，在R上是增函数，不合题意.
当时，令，解得或，令，解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值，极小值.
若有3个零点，
则，，，解得，
所以m的取值范围是.
19.答案：(1)在单调递增，在单调递减
(2)证明见详解
(3)
解析：(1)的定义域为，，令得，
令得，令得，
在单调递增，在单调递减.
(2)由(1)知，，
，要证，即证，
即证，即证，
构造函数，，则，
令得，令得，
在单调递增，在单调递减，
，即恒成之，当且仅当时等号成立.
，，，使得，
恒成立，故对于任意的，.
(3)当时，，若恒式立，
即恒式立，即，即恒成立，
由(2)可知恒成立，当且仅当时等号成立，
令，，则恒成立，
在单调递增，
，，使得成立，
，，
所以.

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