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平面解析几何——高考数学一轮复习单元检测卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.3
2.已知两条直线，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.圆与圆的公切线条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知直线和圆，则“”是“直线l与圆O相切”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知O为坐标原点，，.若动点P满足，，则正数a的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的离心率为，点是C上一点，，分别是两个焦点，则的面积为( )
A. B. C.16 D.32
8.已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则( )
A.2 B.3 C.6 D.9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.对于直线，下列选项正确的是( )
A.直线l恒过点
B.当时，直线l在y轴上的截距为3
C.若直线l不经过第二象限，则
D.坐标原点到直线l的距离的最大值为
10.已知双曲线的方程为，则( )
A.渐近线方程为 B.焦距为
C.离心率为 D.焦点到渐近线的距离为8
11.抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当点P运动到时，.直线l与抛物线相交于A，B两点，点，则( )
A.抛物线的方程为
B.存在直线l，使得A，B两点关于对称
C.的最小值为6
D.当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知直线被动圆截得的弦长为定值，则直线l的方程为__________.
13.已知P，Q分别为双曲线右支与渐近线上的动点，F为左焦点，则的最小值为___________.
14.已知直线，，则直线与之间的距离的最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知直线与圆交于A，B两点.
（1）求线段AB的垂直平分线的方程；
（2）若，求m的值；
（3）在（2）的条件下，求过点的圆C的切线方程.
16.（15分）已知圆E过点，，.
（1）求圆E的方程;
（2）过点的直线l与圆E交于两点M，N，且，求直线l的方程.
17.（15分）已知点F是抛物线的焦点，点为C上一点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积.
18.（17分）已知椭圆（）经过点，.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过椭圆C的左焦点且与PQ平行的直线交椭圆C于M，N两点，求的长.
19.（17分）设，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆C上，点A关于原点的对称点为B，四边形的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过的直线l交椭圆C于M，N两点，证明：为定值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：双曲线的标准方程为．
因为，，所以，所以离心率为．
故选：B
2.答案：A
解析：当时，，则，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3.答案：B
解析：由，
可得：，
即，
结合倾斜角与斜率的变化关系可知取值范围为，
故选：B.
4.答案：C
解析：圆的方程等价于，
所以圆是以为圆心，为半径的圆，
圆是以为圆心，为半径的圆，
所以圆，圆的圆心距为，
圆，圆半径之和为，
即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，
所以圆，圆有3条公切线.
故选：C
5.答案：C
解析：由圆，可得圆心，半径，
若直线与圆相切，
则圆心O到直线l的距离，则，解得，
所以“”是“直线l与圆O相切”的充分不必要条件.
故选：C.
6.答案：D
解析：设，则，.
因为，所以，
化简得，故点P在以为圆心，为半径的圆上.
又因为，所以点P在以为圆心，a为半径的圆上.
结合题意可知两圆相交或外切或内切，所以，
解得，故正数a的最大值为.
故选：D.
7.答案：A
解析：由题意可得，解得，
所以，.
故选：A.
8.答案：C
解析：设焦点为F，点A的坐标为，由抛物线定义得，点A到y轴的距离为9，，，.故选C.
9.答案：AD
解析：已知直线，
则，
由，得，
所以直线l恒过点，故A正确；
当时，直线，令，，
故在y轴上的截距为-3，B错误，
当时，直线l的方程为，直线l不经过第二象限，故C不正确；
因为直线l过定点，
所以坐标原点到直线l的距离的最大值为，故D正确.
故选：AD
10.答案：BC
解析：易知双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，且焦点在y轴上.渐近线方程为，即A错误；焦距，即B正确；离心率，即C正确；焦点到渐近线的距离为，即D错误.
11.答案：ACD
解析：由，故，所以，所以，故A正确；设，.设AB的中点为，则两式相减，得，即.因为A，B两点关于直线对称，所以，故，则，点在抛物线上，不成立，故不存在，故B错误；过点P作PE垂直准线于点E，则，当点P，E，M共线时等号成立，故C正确；如图，G为AF的中点，过点A作AC垂直准线于点C，交y轴于点Q，取D为OQ的中点，连接GD，故.因为DG垂直于y轴，故以AF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选ACD.
12.答案：
解析：，即，由解得即直线l过定点，动圆的圆心为，半径为，动圆圆心C在定直线上，要使直线l被截得的弦长为定值，则动点C到l的距离为定值，则，故l的斜率为2，故直线l的方程为，即.
13.答案：4
解析：设双曲线的右焦点为，则，所以，所以，当且仅当Q，P，三点共线且P在线段上时，等号成立.
14.答案：5
解析：直线化为，令且，解得，，所以直线过定点.直线化为，令且，解得，，所以直线过定点.因为，所以当AB与直线，垂直时.直线，间的距离最大，且最大值为.
15.答案：（1）
（2）
（3）或
解析：，，，.
（1）线段AB的垂直平分线方程为，
.
（2）C到的距离，
，.
（3），易知P在圆外.
①当所求切线的斜率存在时，
设过P的圆C的切线方程为，
.
到l的距离，
，
.
②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为.
综上，所求切线方程为或.
16.答案：（1）
（2）或
解析：（1）设圆E的方程为，
所以解得，，，
所以圆E的方程为，即.
（2）由（1）可得:圆心，半径，
则圆心到直线l的距离.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意;
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
即，所以，
解得，所以直线l的方程为.
综上，直线l的方程为或.
17.答案：（1）
（2）12
解析：（1）因为，
所以，
所以抛物线C的方程为.
（2）设，，且.
由得，解得或，
所以，，
所以，，
所以.
易知，
则点F到直线的距离，
所以的面积为.
18.答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由椭圆经过点，，得，而，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）由（1）知，椭圆C的左焦点为，而直线的斜率为，
因此直线的方程为，
由消去y得，显然，设，，
则，，，
所以.
19.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设O为坐标原点，椭圆C的焦距为.
因为，，
所以四边形为平行四边形.
设平行四边形的面积为S，则，
所以，
所以.
将代入椭圆方程得，
所以，，
所以椭圆C的方程为.
（2）易知.
当直线l与x轴重合时，l的方程为，
此时不妨令，，则.
当直线l与x轴不重合时，设l的方程为，，，
由得，
则，.
易知，，
所以
.
综上，为定值4.

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